Přednost operací, záporná a desetinná čísla

V jakém pořadí se počítá, jak sčítat a násobit záporná čísla a kam patří desetinná čárka. Pravidla z téhle kapitoly potřebuješ v každé další.

V testuSamostatně jako podúloha za 1 bod v úloze se zlomky: 2026 A 2.1 a D 2.1. Píše se jen výsledek a tvar výsledku pokyn neurčuje. Přednost operací a znaménka rozhodují i v každé úloze se zlomky.

Co potřebuješ znát

Pořadí operací

Ve výrazu s několika operacemi rozhoduje pořadí. Počítá se takhle:

závorky, od té nejvnitřnější,
mocniny a odmocniny,
násobení a dělení,
sčítání a odčítání.

Dělení a násobení jdou před odčítáním: $20 - 12 : 4 \cdot 2 = 20 - 3 \cdot 2 = 20 - 6 = 14$ .

Násobení a dělení mají stejnou přednost. Mezi sebou se počítají zleva doprava, ne „nejdřív násobení“: $24 : 4 \cdot 2 = 6 \cdot 2 = 12$ . Stejně sčítání a odčítání: $10 - 4 + 3 = 6 + 3 = 9$ .

Dělení za sebou počítej taky zleva: $36 : 6 : 2 = 6 : 2 = 3$ . Kdo začne zprava, spočítá ve skutečnosti $36 : (6 : 2) = 12$ , a to je jiný výraz.

TipNež začneš počítat, podtrhni si každé násobení a dělení. Ty spočítáš jako první.

Sčítání a odčítání záporných čísel

Představ si číselnou osu. Kladná čísla jsou vpravo od nuly, záporná vlevo. Přičíst kladné číslo znamená posunout se doprava, odečíst ho znamená posunout se doleva.

Z čísla −2 o tři doleva:

-2 - 3 = -5

. O tři doprava:

-2 + 3 = 1

Od záporného čísla odečítáš, takže se od nuly vzdálíš: $-3{,}4 - 2 = -5{,}4$ . Když k němu přičteš kladné číslo, k nule se přiblížíš, nebo ji přejdeš: $-3{,}4 + 2 = -1{,}4$ a $-0{,}6 + 2{,}5 = 1{,}9$ .

Odečíst záporné číslo je totéž jako přičíst kladné: $4 - (-3) = 4 + 3 = 7$ . Přičíst záporné číslo je totéž jako odečíst kladné: $4 + (-3) = 4 - 3 = 1$ .

Násobení a dělení se znaménky

Nejdřív urči znaménko, potom počítej s čísly bez znaménka. Dvě stejná znaménka dají plus, dvě různá dají minus:

minus krát minus je plus: $(-4) \cdot (-5) = 20$ a $(-12) : (-3) = 4$ ,
minus krát plus je minus: $(-4) \cdot 5 = -20$ a $12 : (-3) = -4$ .

U více činitelů spočítej minusy. Sudý počet dá plus, lichý minus: $(-1) \cdot (-2) \cdot (-3) = -6$ .

TipZáporné číslo za znaménkem operace piš do závorky: $5 \cdot (-2)$ , ne $5 \cdot -2$ .

Násobení a dělení desetinných čísel

Desetinná čísla násob jako celá čísla, bez čárky. Potom spočítej desetinná místa: součin jich má tolik, kolik jich mají oba činitelé dohromady.

0{,}3 \cdot 0{,}07 = 0{,}021

Spočítej $3 \cdot 7 = 21$ . Činitelé mají jedno a dvě desetinná místa, součin tedy tři.

Když součin celých čísel končí nulou, počítej desetinná místa i s ní. Nulu na konci škrtni až potom: $6 \cdot 5 = 30$ , činitelé mají dohromady tři desetinná místa, takže $0{,}6 \cdot 0{,}05 = 0{,}030 = 0{,}03$ .

Násobit deseti, stem nebo tisícem znamená posunout čárku o jedno, dvě nebo tři místa doprava: $1{,}07 \cdot 100 = 107$ . Dělit jimi znamená posunout čárku doleva: $4{,}5 : 100 = 0{,}045$ .

Když dělíš desetinným číslem, posuň čárku v obou číslech o stejný počet míst tak, aby byl dělitel celé číslo. Podíl se tím nezmění: $2{,}4 : 0{,}06 = 240 : 6 = 40$ .

TipVýsledek odhadni. Součin dvou kladných čísel menších než 1 je menší než každé z nich: $0{,}3 \cdot 0{,}07$ je méně než 0,07.

Jak na to

Najdi závorky a spočítej je jako první.
V závorce i mimo ni spočítej nejdřív násobení a dělení zleva doprava, potom sčítání a odčítání.
U každého součinu a podílu nejdřív urči znaménko, potom počítej s čísly bez znaménka.
U desetinných čísel spočítej desetinná místa a výsledek odhadni.
Zapiš výsledek. Když pokyn tvar neurčuje, smíš napsat desetinné číslo i zlomek.

Řešené příklady

Příklad 1: Součin dvou závorek

Vypočítej: $(1{,}2 - 3) \cdot (-0{,}5 + 0{,}2)$

Řešení

První závorka. Odečítáš víc, než máš, takže výsledek je záporný: $1{,}2 - 3 = -1{,}8$ .
Druhá závorka. K zápornému číslu přičítáš menší kladné číslo. K nule se přiblížíš, ale nepřejdeš ji: $-0{,}5 + 0{,}2 = -0{,}3$ .
Znaménko součinu. Obě čísla jsou záporná, minus krát minus je plus.
Součin. Spočítej $18 \cdot 3 = 54$ . Každé číslo má jedno desetinné místo, součin má dvě: $(-1{,}8) \cdot (-0{,}3) = 0{,}54$ .

OdpověďVýsledek je $0{,}54$ .

Příklad 2: Přednost a dělení desetinným číslem

Vypočítej: $0{,}7 - 0{,}6 \cdot (-4) : 0{,}8$

Řešení

Pořadí. Násobení a dělení mají přednost před odčítáním. Mezi sebou jdou zleva doprava, nejdřív je tedy násobení.
Násobení. Plus krát minus je minus: $0{,}6 \cdot (-4) = -2{,}4$ .
Dělení. Čárku posuň v obou číslech o jedno místo: $(-2{,}4) : 0{,}8 = (-24) : 8 = -3$ .
Odčítání. Odečíst záporné číslo znamená přičíst kladné: $0{,}7 - (-3) = 0{,}7 + 3 = 3{,}7$ .

OdpověďVýsledek je $3{,}7$ .

Časté chyby

Počítáš zleva doprava i tam, kde má přednost násobení: $0{,}7 - 0{,}6 \cdot (-4)$ spočítáš jako $(0{,}7 - 0{,}6) \cdot (-4)$ .
Násobení a dělení spočítej dřív než sčítání a odčítání. Podtrhni si je.
Dělení za sebou počítáš zprava: $36 : 6 : 2$ spočítáš jako $36 : 3$ .
Operace se stejnou předností jdou zleva doprava: nejdřív $36 : 6 = 6$ , potom $6 : 2 = 3$ .
Ztratíš znaménko při odčítání: $-3{,}4 - 2$ spočítáš jako $-1{,}4$ , jako by se dvojka přičítala.
Od záporného čísla odečítáš, na ose jdeš doleva a od nuly se vzdálíš: $-3{,}4 - 2 = -5{,}4$ .
Zapomeneš, že minus krát minus je plus: součin $(-1{,}8) \cdot (-0{,}3)$ napíšeš jako $-0{,}54$ .
Znaménko urči ještě před výpočtem. Dva minusy dají plus.
Desetinnou čárku dáš na špatné místo: $0{,}3 \cdot 0{,}07$ napíšeš jako 0,21.
Spočítej desetinná místa obou činitelů: $1 + 2 = 3$ . Správně je $0{,}3 \cdot 0{,}07 = 0{,}021$ .
Při dělení desetinným číslem posuneš čárku jen v děliteli: z $2{,}4 : 0{,}06$ uděláš $2{,}4 : 6$ .
Čárku posuň v obou číslech o stejný počet míst: $2{,}4 : 0{,}06 = 240 : 6 = 40$ .

Zkus si

Vypočítej: $(0{,}9 - 1{,}2) \cdot (-3 - 0{,}5)$

Ukaž řešení

Závorky. $0{,}9 - 1{,}2 = -0{,}3$ a $-3 - 0{,}5 = -3{,}5$ .
Součin. Minus krát minus je plus. Spočítej $3 \cdot 35 = 105$ a odpočítej dvě desetinná místa: $(-0{,}3) \cdot (-3{,}5) = 1{,}05$ .

Výsledek $1{,}05$

Vypočítej: $12 : (-0{,}4) + 0{,}3 \cdot 0{,}3$

Ukaž řešení

Dělení. Plus děleno minus je minus. Čárku posuň v obou číslech o jedno místo: $12 : (-0{,}4) = 120 : (-4) = -30$ .
Násobení. $0{,}3 \cdot 0{,}3 = 0{,}09$ .
Sčítání. $-30 + 0{,}09 = -29{,}91$ .

Výsledek $-29{,}91$

Procvič si to

Pět úloh tohoto typu, pokaždé s jinými čísly. Opraví se samy a u chyby uvidíš postup.