Matematika k přijímačkám

Zlomky: krácení, společný jmenovatel a čtyři operace

Co je zlomek v základním tvaru, jak zlomky sčítat, násobit a dělit, jak počítat se záporným zlomkem a se smíšeným číslem a jak převést desetinné číslo na zlomek.

V testuSamostatně jako podúloha za 1 bod: rozdíl dvou zlomků v závorce krát celé číslo, nebo děleno zlomkem (2025 A 2.1, B 3.1, D 3.1 a 2026 B 2.1). Píše se jen výsledek, zlomkem v základním tvaru. Pravidla z téhle kapitoly potřebuješ v každé úloze se zlomky.

Co potřebuješ znát

Zlomek jako díly celku

Zlomek 34\frac{3}{4} znamená: rozděl celek na 4 stejné díly a vezmi 3 z nich. Dolní číslo je jmenovatel, říká, na kolik dílů celek dělíš. Horní číslo je čitatel, říká, kolik dílů bereš.

Čára mezi nimi je zlomková čára. Znamená dělení: 34=3:4=0,75\frac{3}{4} = 3 : 4 = 0{,}75.

Krácení, rozšíření a základní tvar

1/41/41/41/43/46/8
Tři čtvrtiny jsou totéž co šest osmin: 34=68\frac{3}{4} = \frac{6}{8}.

Když čitatele i jmenovatele vynásobíš stejným číslem, zlomek rozšíříš. Když je stejným číslem vydělíš, zlomek zkrátíš. Hodnota se nezmění, jen jsou díly menší nebo větší.

68=6:28:2=34\frac{6}{8} = \frac{6 : 2}{8 : 2} = \frac{3}{4}
68=6:28:2=34\begin{aligned} \frac{6}{8} &= \frac{6 : 2}{8 : 2} \\ &= \frac{3}{4} \end{aligned}

Zlomek je v základním tvaru, když už zkrátit nejde. Krať největším číslem, které dělí čitatele i jmenovatele, nebo postupně: 3648=1824=34\frac{36}{48} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4}.

TipKrátit smíš jen činitele, nikdy sčítance. Ve zlomku 9+63⋅9\frac{9 + 6}{3 \cdot 9} devítky nevyškrtneš. Nejdřív sečti a vynásob: 9+63⋅9=1527=59\frac{9 + 6}{3 \cdot 9} = \frac{15}{27} = \frac{5}{9}.

Sčítání a odčítání

Sečíst jde jen stejné díly. Třetiny a čtvrtiny nejdřív převeď na dvanáctiny, potom sečti čitatele. Jmenovatel zůstane.

1/31/47/12
Sčítáš dvanáctiny: 13+14=412+312=712\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}.

Společný jmenovatel je číslo dělitelné oběma jmenovateli. Ber nejmenší takové číslo. Když je jeden jmenovatel násobkem druhého, je to ten větší: pro 4 a 12 je to 12. Pro 6 a 10 je to 30, ne 60.

56−710=2530−2130=430=215\frac{5}{6} - \frac{7}{10} = \frac{25}{30} - \frac{21}{30} = \frac{4}{30} = \frac{2}{15}
56−710=2530−2130=430=215\begin{aligned} \frac{5}{6} - \frac{7}{10} &= \frac{25}{30} - \frac{21}{30} \\ &= \frac{4}{30} \\ &= \frac{2}{15} \end{aligned}

Celé číslo zapiš jako zlomek se společným jmenovatelem: 2−38=168−38=1382 - \frac{3}{8} = \frac{16}{8} - \frac{3}{8} = \frac{13}{8}.

TipČitatele a jmenovatele nikdy nesčítej zvlášť: 13+14≠27\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \neq \frac{2}{7}. Dvě sedminy jsou dokonce méně než jedna třetina.

Násobení

Zlomek krát zlomek: čitatel krát čitatel, jmenovatel krát jmenovatel. Třeba 23⋅45=815\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} = \frac{8}{15}.

Krať dřív, než násobíš. Smíš krátit čitatele jednoho zlomku se jmenovatelem druhého, tedy do kříže:

910⋅512=9⋅510⋅12=3⋅12⋅4=38\frac{9}{10} \cdot \frac{5}{12} = \frac{9 \cdot 5}{10 \cdot 12} = \frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 4} = \frac{3}{8}
910⋅512=9⋅510⋅12=3⋅12⋅4=38\begin{aligned} \frac{9}{10} \cdot \frac{5}{12} &= \frac{9 \cdot 5}{10 \cdot 12} \\ &= \frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 4} \\ &= \frac{3}{8} \end{aligned}

Devítku a dvanáctku vydělíš třemi, pětku a desítku pěti.

Celé číslo krát zlomek: násob jen čitatele. Čtyřikrát pět šestin je dvacet šestin: 4⋅56=206=1034 \cdot \frac{5}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}.

Dělení zlomkem

Kolikrát se čtvrtina vejde do 32\frac{3}{2}? Jeden a půl celku má šest čtvrtin, vejde se tedy šestkrát.

11/23/21/41/41/41/41/41/43/2
Čtvrtina se do 32\frac{3}{2} vejde šestkrát: 32:14=32⋅4=6\frac{3}{2} : \frac{1}{4} = \frac{3}{2} \cdot 4 = 6.

Převrácenou hodnotu dostaneš, když prohodíš čitatele a jmenovatele. Převrácená hodnota k 23\frac{2}{3} je 32\frac{3}{2}, k číslu 5 je to 15\frac{1}{5}, k −14-\frac{1}{4} je to −4-4.

Dělit číslem znamená násobit jeho převrácenou hodnotou. Převrať jen dělitele, tedy číslo za dvojtečkou. Dělenec zůstane, jak je:

58:34=58⋅43=5⋅12⋅3=56\frac{5}{8} : \frac{3}{4} = \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{3} = \frac{5 \cdot 1}{2 \cdot 3} = \frac{5}{6}
58:34=58⋅43=5⋅12⋅3=56\begin{aligned} \frac{5}{8} : \frac{3}{4} &= \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{3} \\ &= \frac{5 \cdot 1}{2 \cdot 3} \\ &= \frac{5}{6} \end{aligned}

Dělit celým číslem znamená násobit zlomkem s jedničkou v čitateli: 47:2=47⋅12=27\frac{4}{7} : 2 = \frac{4}{7} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{7}.

Záporný zlomek

Minus u zlomku piš před zlomek: −34-\frac{3}{4}. Znamená totéž co −34\frac{-3}{4}.

Rozdíl vyjde záporný, když odčítáš větší zlomek. Který je větší, poznáš na společném jmenovateli: 23−34=812−912=−112\frac{2}{3} - \frac{3}{4} = \frac{8}{12} - \frac{9}{12} = -\frac{1}{12}.

Znaménko součinu a podílu určíš jako u celých čísel. Minus krát minus je plus: (−25)⋅(−56)=26=13\left(-\frac{2}{5}\right) \cdot \left(-\frac{5}{6}\right) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}.

Číslo krát závorka

Číslo před závorkou se zlomky: buď nejdřív spočítej závorku, nebo vynásob každý člen v závorce. Obě cesty dají totéž:

−6⋅(12−43)=−6⋅(36−86)=−6⋅(−56)=5-6 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{4}{3}\right) = -6 \cdot \left(\frac{3}{6} - \frac{8}{6}\right) = -6 \cdot \left(-\frac{5}{6}\right) = 5
−6⋅(12−43)=−6⋅(36−86)=−6⋅(−56)=5\begin{aligned} -6 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{4}{3}\right) &= -6 \cdot \left(\frac{3}{6} - \frac{8}{6}\right) \\ &= -6 \cdot \left(-\frac{5}{6}\right) \\ &= 5 \end{aligned}
−6⋅(12−43)=−6⋅12+6⋅43=−3+8=5-6 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{4}{3}\right) = -6 \cdot \frac{1}{2} + 6 \cdot \frac{4}{3} = -3 + 8 = 5
−6⋅(12−43)=−6⋅12+6⋅43=−3+8=5\begin{aligned} -6 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{4}{3}\right) &= -6 \cdot \frac{1}{2} + 6 \cdot \frac{4}{3} \\ &= -3 + 8 \\ &= 5 \end{aligned}

TipKdyž násobíš každý člen, nevynech žádný. Když je číslo před závorkou záporné, změní se znaménko obou členů.

Smíšené číslo

Smíšené číslo 2132\frac{1}{3} znamená dva celky a ještě třetinu, tedy 2+132 + \frac{1}{3}. Není to součin dvou a třetiny.

111/3
Dva celky a třetina jsou sedm třetin.

Na zlomek ho převedeš tak, že celou část vynásobíš jmenovatelem a přičteš čitatele: 2132\frac{1}{3} je 2⋅3+13=73\frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}.

Zpátky dělíš se zbytkem: 175\frac{17}{5} je 3253\frac{2}{5}, protože 17=3⋅5+217 = 3 \cdot 5 + 2.

TipNež se smíšeným číslem začneš počítat, převeď ho na zlomek. Výsledek nech jako zlomek, i když je větší než 1.

Desetinné číslo jako zlomek

Desetinné číslo přečti nahlas a zapiš zlomkem: 0,3 jsou tři desetiny, 0,45 je čtyřicet pět setin. Pak zkrať:

  • 0,3=3100{,}3 = \frac{3}{10},
  • 0,45=45100=9200{,}45 = \frac{45}{100} = \frac{9}{20},
  • 2,6=2610=1352{,}6 = \frac{26}{10} = \frac{13}{5},
  • −2,75=−275100=−114-2{,}75 = -\frac{275}{100} = -\frac{11}{4}.

Pozor: 0,3≠130{,}3 \neq \frac{1}{3}. Třetina je 0,333…0{,}333\ldots, desetinné číslo, které nemá konec.

TipZpaměti se hodí: 0,5=120{,}5 = \frac{1}{2}, 0,25=140{,}25 = \frac{1}{4}, 0,75=340{,}75 = \frac{3}{4} a 0,2=150{,}2 = \frac{1}{5}.

Jak na to

  1. Desetinná a smíšená čísla převeď na zlomky.
  2. Spočítej závorky: sčítej a odčítej na nejmenším společném jmenovateli.
  3. Násob a děl: dělitele převrať, krať do kříže a potom vynásob.
  4. Znaménko urči dřív než čísla.
  5. Výsledek zkrať na základní tvar.

Řešené příklady

Příklad 1: Rozdíl děleno záporným zlomkem

Vypočítej a výsledek zapiš zlomkem v základním tvaru: (56−98):(−712)\left(\frac{5}{6} - \frac{9}{8}\right) : \left(-\frac{7}{12}\right)

Řešení

  1. Závorka. Jmenovatelé jsou 6 a 8, nejmenší společný jmenovatel je 24: 56−98=2024−2724=−724\frac{5}{6} - \frac{9}{8} = \frac{20}{24} - \frac{27}{24} = -\frac{7}{24}.
  2. Dělení. Dělit zlomkem znamená násobit převrácenou hodnotou. Minus děleno minus je plus: −724:(−712)=724⋅127-\frac{7}{24} : \left(-\frac{7}{12}\right) = \frac{7}{24} \cdot \frac{12}{7}.
  3. Krácení. Sedmičky se zkrátí, dvanáctku a 24 vydělíš dvanácti: 724⋅127=1⋅12⋅1=12\frac{7}{24} \cdot \frac{12}{7} = \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}.

OdpověďVýsledek je 12\frac{1}{2}.

Příklad 2: Zlomek minus číslo krát závorka

Vypočítej a výsledek zapiš zlomkem v základním tvaru: 712−4⋅(310−715)\frac{7}{12} - 4 \cdot \left(\frac{3}{10} - \frac{7}{15}\right)

Řešení

  1. Závorka. Jmenovatelé jsou 10 a 15, nejmenší společný jmenovatel je 30: 310−715=930−1430=−530=−16\frac{3}{10} - \frac{7}{15} = \frac{9}{30} - \frac{14}{30} = -\frac{5}{30} = -\frac{1}{6}.
  2. Násobení má přednost před odčítáním. Celým číslem násob jen čitatele a zkrať: 4⋅(−16)=−46=−234 \cdot \left(-\frac{1}{6}\right) = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}.
  3. Odčítání. Odečíst záporné číslo znamená přičíst kladné. Společný jmenovatel je 12: 712−(−23)=712+812=1512=54\frac{7}{12} - \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{7}{12} + \frac{8}{12} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}.

OdpověďVýsledek je 54\frac{5}{4}.

Časté chyby

Zkus si

Vypočítej a výsledek zapiš zlomkem v základním tvaru: (56−38):1118\left(\frac{5}{6} - \frac{3}{8}\right) : \frac{11}{18}

Ukaž řešení
  1. Závorka. 56−38=2024−924=1124\frac{5}{6} - \frac{3}{8} = \frac{20}{24} - \frac{9}{24} = \frac{11}{24}.
  2. Dělení. 1124:1118=1124⋅1811=1824=34\frac{11}{24} : \frac{11}{18} = \frac{11}{24} \cdot \frac{18}{11} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4}.

Výsledek34\frac{3}{4}

Vypočítej a výsledek zapiš zlomkem v základním tvaru: 214⋅815−12\frac{1}{4} \cdot \frac{8}{15} - 1

Ukaž řešení
  1. Smíšené číslo na zlomek. 2142\frac{1}{4} je 2⋅4+14=94\frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}.
  2. Násobení. Krať do kříže: 94⋅815=3⋅21⋅5=65\frac{9}{4} \cdot \frac{8}{15} = \frac{3 \cdot 2}{1 \cdot 5} = \frac{6}{5}.
  3. Odčítání. 65−1=65−55=15\frac{6}{5} - 1 = \frac{6}{5} - \frac{5}{5} = \frac{1}{5}.

Výsledek15\frac{1}{5}

Procvič si to

Pět úloh tohoto typu, pokaždé s jinými čísly. Opraví se samy a u chyby uvidíš postup.