Celá úloha se zlomky: zápis postupu a body

Jak vypadá úloha se zlomky v testu, jak zapsat postup podúlohy za 2 body a kde se body ztrácejí. Na konci zlomky a jejich aritmetický průměr.

V testuÚloha se zlomky je v každém testu: v roce 2024 jako úloha 3 za 4 body (2 + 2), v roce 2025 jako úloha 3, v testu A jako úloha 2, za 3 body (1 + 2), v roce 2026 jako úloha 2 za 4 body (1 + 1 + 2), v testu A za 3 body. Test 2026 A měl navíc úlohu 1 se zlomky a jejich průměrem za 3 body.

Co potřebuješ znát

Jak úloha vypadá

2024: dvě podúlohy po 2 bodech, obě s postupem. Jedna je dlouhý výraz v řádku, druhá složený zlomek.
2025: podúloha za 1 bod (rozdíl zlomků krát číslo nebo děleno zlomkem, v testu C zlomek ze dvou odmocnin) a složený zlomek s mocninami a odmocninami za 2 body.
2026: dvě podúlohy za 1 bod (zlomky s předností operací, desetinná čísla) a za 2 body složený zlomek nebo podíl dvou závorek. V testu A je podúloha za 1 bod jen jedna.

Pokyn zní „Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru“ (v roce 2024 „Vypočítejte…“), v testech 2026 B a C „… nebo celým číslem“. U podúlohy s desetinnými čísly (2026 A 2.1, D 2.1) je jen „Vypočtěte“ a tvar výsledku je volný.

Kde se píše postup

V podúlohách za 1 bod píšeš do záznamového archu jen výsledek.
U podúlohy za 2 body zadání říká: „V záznamovém archu uveďte celý postup řešení.“ Bez postupu je to 0 bodů, i když je výsledek správně.
Poznámky v testovém sešitu se nehodnotí. Testy 2025 a 2026 doporučují řešit podúlohu s postupem rovnou v záznamovém archu.
Opravu udělej tak, že chybný zápis přeškrtneš a nový napíšeš do stejného pole.

Za co jsou body

2 body: správný výsledek a správný postup.
1 bod: postup má právě jeden nedostatek. Výsledek není v základním tvaru, jedna operace má numerickou chybu, výsledek má chybné znaménko, nebo po správném výsledku následuje zbytečná chybná úprava. V roce 2024 sem patřil i výsledek zapsaný jen desetinným číslem.
0 bodů: postup chybí, je v něm chybná operace se zlomky (sčítání čitatelů a jmenovatelů, dělení bez převrácení), výraz je vynásobený společným jmenovatelem, nebo jsou v postupu dvě chyby.

Klíč 2024 počítal nezkrácený výsledek s chybným znaménkem jako jeden nedostatek. Jiné dvě chyby stojí oba body.

TipPodúlohy za 1 bod dílčí body nemají. Nezkrácený zlomek tam pokyn nesplňuje.

Kde se ztrácejí body

Podúloha za 2 body: $\displaystyle \frac{\frac{1}{6} - \frac{3}{4}}{\frac{5}{6} : \frac{10}{9}}$ . Čitatel je $\frac{2}{12} - \frac{9}{12} = -\frac{7}{12}$ , jmenovatel $\frac{5}{6} \cdot \frac{9}{10} = \frac{3}{4}$ a výsledek $-\frac{7}{12} \cdot \frac{4}{3} = -\frac{7}{9}$ . Takhle by dopadla různá řešení:

Jen výsledek $-\frac{7}{9}$ bez postupu: 0 bodů.
Správný postup, ale výsledek zůstane $-\frac{28}{36}$ : 1 bod.
Správný postup, ale na konci se ztratí minus: 1 bod.
Správně $-\frac{7}{9}$ a potom chybný převod na desetinné číslo: 1 bod.
Jmenovatel spočítaný bez převrácení jako $\frac{5}{6} \cdot \frac{10}{9}$ : chybná operace se zlomky, 0 bodů.

TipKdyž máš výsledek v základním tvaru, skonči. Každá úprava navíc je riziko.

Aritmetický průměr dvou zlomků

Aritmetický průměr dvou čísel je jejich součet vydělený dvěma. Leží přesně v polovině mezi nimi.

\left(\frac{2}{5} + \frac{1}{2}\right) : 2 = \left(\frac{4}{10} + \frac{5}{10}\right) : 2 = \frac{9}{10} : 2 = \frac{9}{20}

\begin{aligned} \left(\frac{2}{5} + \frac{1}{2}\right) : 2 &= \left(\frac{4}{10} + \frac{5}{10}\right) : 2 \\ &= \frac{9}{10} : 2 \\ &= \frac{9}{20} \end{aligned}

Dělit dvěma znamená násobit polovinou. Když je čitatel sudý, vyděl ho dvěma. Když je lichý, zdvojnásob jmenovatele.

TipPodúlohy s průměrem na sebe navazují. Chyba v prvních dvou se přenese do třetí a za tu pak bod není. Každé číslo proto zkontroluj.

Jak na to

Přečti pokyn: zlomek v základním tvaru, nebo celé číslo, nebo tvar volný.
Podúlohy za 1 bod spočítej na papíře a do archu napiš jen výsledek.
Podúlohu za 2 body piš rovnou do archu, řádek pod řádkem, každý řádek jedna úprava.
Mezivýsledky krať hned. Výsledek zkrať a zkontroluj znaménko.
Po výsledku skonči. V aplikaci zapiš výsledek každé podúlohy do jejího políčka.

Řešené příklady

Příklad 1: Úloha za 4 body jako v roce 2026

Vypočítej a výsledek zapiš zlomkem v základním tvaru nebo celým číslem. U podúlohy c) napiš celý postup.

a) $10 \cdot \left(\frac{1}{6} - \frac{3}{8}\right)$

b) $1 - \frac{3}{10} : \frac{9}{5}$

c) $\displaystyle \frac{\frac{2}{3} - \frac{1}{4}}{\frac{5}{6} \cdot 3}$

Řešení

a) Závorka. Společný jmenovatel je 24: $\frac{1}{6} - \frac{3}{8} = \frac{4}{24} - \frac{9}{24} = -\frac{5}{24}$ .
a) Násobení. Desítkou násob jen čitatele a zkrať: $10 \cdot \left(-\frac{5}{24}\right) = -\frac{50}{24} = -\frac{25}{12}$ .
b) Dělení má přednost. $\frac{3}{10} : \frac{9}{5} = \frac{3}{10} \cdot \frac{5}{9} = \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6}$ .
b) Odčítání. $1 - \frac{1}{6} = \frac{6}{6} - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ .
c) Čitatel hlavního zlomku. $\frac{2}{3} - \frac{1}{4} = \frac{8}{12} - \frac{3}{12} = \frac{5}{12}$ .
c) Jmenovatel hlavního zlomku. $\frac{5}{6} \cdot 3 = \frac{15}{6} = \frac{5}{2}$ .
c) Dělení. $\frac{5}{12} : \frac{5}{2} = \frac{5}{12} \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$ .
c) Do archu. Tři řádky z podúlohy c) jsou celý postup. U podúloh a) a b) do archu napiš jen výsledek.

OdpověďVýsledky jsou a) $-\frac{25}{12}$ , b) $\frac{5}{6}$ a c) $\frac{1}{6}$ .

Příklad 2: Zlomky a průměr (3 podúlohy po 1 bodu)

Máš zlomky $\frac{9}{7}$ a $\frac{27}{28}$ . Zlomkem v základním tvaru zapiš:

a) jejich součet $S$ ,

b) podíl $P$ , když první zlomek vydělíš druhým,

c) aritmetický průměr čísel $S$ a $P$ .

Řešení

a) Společný jmenovatel. Číslo 28 je násobkem sedmi, takže je společným jmenovatelem: $\frac{9}{7} = \frac{36}{28}$ .
a) Součet. $\frac{36}{28} + \frac{27}{28} = \frac{63}{28} = \frac{9}{4}$ .
b) Dělení. Převrať dělitele a krať do kříže: $\frac{9}{7} : \frac{27}{28} = \frac{9}{7} \cdot \frac{28}{27} = \frac{1 \cdot 4}{1 \cdot 3} = \frac{4}{3}$ .
c) Součet. Počítej se zkrácenými čísly $S$ a $P$ . Jmenovatelé jsou 4 a 3, společný jmenovatel je 12: $\frac{9}{4} + \frac{4}{3} = \frac{27}{12} + \frac{16}{12} = \frac{43}{12}$ .
c) Dělení dvěma. Čitatel je lichý, zdvojnásob jmenovatele: $\frac{43}{12} : 2 = \frac{43}{24}$ .

OdpověďSoučet je $\frac{9}{4}$ , podíl $\frac{4}{3}$ a průměr $\frac{43}{24}$ .

Časté chyby

U podúlohy za 2 body napíšeš do archu jen výsledek, postup máš v testovém sešitu.
Hodnotí se jen záznamový arch. Bez postupu v archu je to 0 bodů.
Výsledek nezkrátíš.
U podúlohy za 2 body přijdeš o bod, u podúlohy za 1 bod o celou podúlohu. Na konci vždy zkus krátit.
Po správném výsledku pokračuješ: převádíš na smíšené nebo desetinné číslo a uděláš v tom chybu.
Úprava navíc stojí bod. Výsledek v základním tvaru je konec.
Výraz vynásobíš společným jmenovatelem, jako by to byla rovnice.
Tím se hodnota výrazu změní a klíč za to dává 0 bodů. Obě strany násobíš jen v rovnici.
U průměru zapomeneš dělit dvěma, nebo vydělíš dvěma jen jmenovatele: $\frac{7}{10} : 2$ napíšeš jako $\frac{7}{5}$ .
Průměr je součet děleno dvěma. Dělit dvěma znamená zdvojnásobit jmenovatele, nebo vydělit dvěma sudého čitatele: $\frac{7}{10} : 2 = \frac{7}{20}$ .
Při převodu na společného jmenovatele rozšíříš jen jmenovatele: $\frac{9}{7} + \frac{27}{28}$ spočítáš jako $\frac{9}{28} + \frac{27}{28}$ .
Čitatele rozšiř stejným číslem jako jmenovatele: $\frac{9}{7} = \frac{9 \cdot 4}{7 \cdot 4} = \frac{36}{28}$ .
Průměr spočítáš z původních zlomků místo ze součtu a podílu.
Čti zadání: průměr čísel $S$ a $P$ . Nejdřív obě čísla spočítej a zkrať.

Zkus si

Máš zlomky $\frac{7}{8}$ a $\frac{35}{24}$ . Zlomkem v základním tvaru zapiš jejich součet $S$ , podíl $P$ prvního a druhého zlomku a aritmetický průměr čísel $S$ a $P$ .

Ukaž řešení

Součet. $\frac{7}{8} + \frac{35}{24} = \frac{21}{24} + \frac{35}{24} = \frac{56}{24} = \frac{7}{3}$ .
Podíl. $\frac{7}{8} : \frac{35}{24} = \frac{7}{8} \cdot \frac{24}{35} = \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 5} = \frac{3}{5}$ .
Průměr. $\frac{7}{3} + \frac{3}{5} = \frac{35}{15} + \frac{9}{15} = \frac{44}{15}$ a $\frac{44}{15} : 2 = \frac{22}{15}$ .

Výsledek $S = \frac{7}{3}$ , $P = \frac{3}{5}$ , průměr $\frac{22}{15}$

Kolik bodů dostane podúloha za 2 body, když:

a) postup je správný, ale výsledek zůstane $\frac{10}{24}$ místo $\frac{5}{12}$ ,

b) v archu je jen správný výsledek,

c) ve jmenovateli jsou sečtené zvlášť čitatele a zvlášť jmenovatele a dál je všechno správně?

Ukaž řešení

a) Nezkrácený výsledek. Je to jeden nedostatek, proto 1 bod.
b) Bez postupu. Podúloha za 2 body chce celý postup, za samotný výsledek je 0 bodů.
c) Chybná operace. Sčítání čitatelů a jmenovatelů je chybná operace se zlomky, proto 0 bodů.

Výsledeka) 1 bod, b) 0 bodů, c) 0 bodů

Procvič si to

Pět úloh tohoto typu, pokaždé s jinými čísly. Opraví se samy a u chyby uvidíš postup.