Prvočísla a dělitelnost

Co je prvočíslo, jak poznat dělitelnost dvěma, třemi a pěti, jak rozložit číslo na součin prvočísel a jak z rozkladu najít všechny dělitele.

V testuV testech 2025: rozklad trojciferného čísla na součin tří prvočísel se třemi podúlohami po 1 bodu (B 6) a úloha o mocnině prvočísla za 1 bod (C 2). Píše se jen výsledek. Dělitelnost se hodí i ve slovních úlohách a v úloze 16.

Co potřebuješ znát

Dělitel a násobek

Číslo 4 je dělitelem čísla 12, protože 12 děleno čtyřmi vyjde beze zbytku: $12 : 4 = 3$ . Číslo 12 je násobkem čísla 4.

Prvočíslo

Prvočíslo je číslo, které má právě dva dělitele: jedničku a samo sebe. Prvočísla do 30 jsou 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 a 29.

Jednička prvočíslo není, má jen jednoho dělitele.
Dvojka je jediné sudé prvočíslo. Každé jiné sudé číslo je dělitelné dvěma, takže má aspoň tři dělitele.
Číslo, které má víc než dva dělitele, je složené, třeba $15 = 3 \cdot 5$ .

TipČíslo 91 vypadá jako prvočíslo, ale $91 = 7 \cdot 13$ . Než prohlásíš číslo za prvočíslo, zkus ho vydělit i sedmi, jedenácti a třinácti.

Znaky dělitelnosti

dvěma: číslo je sudé, končí cifrou 0, 2, 4, 6 nebo 8,
třemi: ciferný součet je dělitelný třemi. U čísla 285 je to $2 + 8 + 5 = 15$ , proto je 285 dělitelné třemi,
pěti: číslo končí cifrou 0 nebo 5,
sedmi, jedenácti a třinácti: tady nejrychleji zkusíš rovnou dělit.

Rozklad na součin prvočísel

Číslo děl postupně nejmenšími prvočísly: 2, 3, 5, 7… Každý podíl děl dál, dokud nezbude prvočíslo. Rozklad čísla 285:

Rozkladový strom:

285 = 3 \cdot 95 = 3 \cdot 5 \cdot 19

Číslo 285 je liché, dvěma dělitelné není. Ciferný součet 15 je dělitelný třemi: $285 : 3 = 95$ . Číslo 95 končí pětkou: $95 : 5 = 19$ . Číslo 19 je prvočíslo.

TipRozklad zkontroluj vynásobením: $3 \cdot 5 \cdot 19 = 285$ . Každé číslo má jen jeden rozklad na prvočísla, na pořadí činitelů nezáleží.

Všichni dělitelé z rozkladu

Každý dělitel čísla je součin některých prvočísel z jeho rozkladu. Pro $285 = 3 \cdot 5 \cdot 19$ to jsou:

jednička,
prvočísla 3, 5 a 19,
součiny dvou prvočísel: $3 \cdot 5 = 15$ , $3 \cdot 19 = 57$ a $5 \cdot 19 = 95$ ,
číslo 285 samo.

TipNejvětšího dělitele, který je menší než samo číslo, dostaneš, když číslo vydělíš nejmenším prvočíslem z rozkladu: $285 : 3 = 95$ .

Sudá a lichá čísla

Liché číslo plus liché číslo je sudé. Liché číslo krát liché číslo je liché, a proto je lichá i každá mocnina lichého čísla.

To pomůže, když má z mocniny prvočísla vyjít jiné prvočíslo. Liché prvočíslo na druhou je liché. Když k němu přičteš liché číslo, vyjde sudé číslo větší než 2, a to prvočíslo není. Zbývá jediné sudé prvočíslo, dvojka.

Úvaha funguje i obráceně. Když je mocnina lichého prvočísla o liché číslo větší než jiné prvočíslo, je to jiné prvočíslo sudé. Musí to tedy být dvojka.

Jak na to

Zkoušej dělit nejmenšími prvočísly: 2, 3, 5, 7, 11, 13.
Každý podíl rozkládej dál, dokud nezbudou jen prvočísla.
Rozklad zapiš jako součin a zkontroluj vynásobením.
Dělitele skládej z prvočísel rozkladu: po jednom, po dvou, všechna.
U úlohy s mocninou prvočísla zapiš vztah rovnicí: „mocnina je o 63 menší než $q$ “ je $p^2 + 63 = q$ .
Zkus nejdřív dvojku a pomoz si sudými a lichými čísly.

Řešené příklady

Příklad 1: Rozklad a dělitelé (3 podúlohy po 1 bodu)

Rozlož číslo 595 na prvočísla. Vyjde součin tří různých prvočísel.

a) Které z nich je největší?

b) Kolik dají všechna tři dohromady?

c) Najdi největšího dvojciferného dělitele čísla 595.

Řešení

Dvojka a trojka. Číslo 595 je liché, dvěma dělitelné není. Ciferný součet $5 + 9 + 5 = 19$ není dělitelný třemi, takže ani 595 není dělitelné třemi.
Pětka. Číslo končí pětkou: $595 : 5 = 119$ .
Rozklad dokonči. Číslo 119 prvočíslo není, je dělitelné sedmi: $119 = 7 \cdot 17$ . Tedy $595 = 5 \cdot 7 \cdot 17$ .
a) Největší prvočíslo. Z prvočísel 5, 7 a 17 je největší 17.
b) Součet. $5 + 7 + 17 = 29$ .
c) Dělitelé. Součiny dvou prvočísel jsou $5 \cdot 7 = 35$ , $5 \cdot 17 = 85$ a $7 \cdot 17 = 119$ . Číslo 119 je trojciferné. Dvojciferní dělitelé jsou 17, 35 a 85, největší z nich je 85.

OdpověďNejvětší prvočíslo je 17, součet je 29 a největší dvojciferný dělitel čísla 595 je 85.

Příklad 2: Mocnina prvočísla (1 bod)

Prvočíslo $q$ je o 63 větší než druhá mocnina jiného prvočísla $p$ . Kolik je $p + q$ ?

Řešení

Zapiš vztah. Číslo $q$ je o 63 větší než $p^2$ . Aby vyšlo $q$ , musíš k mocnině 63 přičíst: $p^2 + 63 = q$ . Stejně se zapíše i věta „mocnina je o 63 menší než $q$ “.
Zkoušej malá prvočísla. $2^2 + 63 = 67$ je prvočíslo. Čísla $3^2 + 63 = 72$ , $5^2 + 63 = 88$ ani $7^2 + 63 = 112$ prvočísla nejsou.
Proč jiné řešení není. Liché prvočíslo na druhou je liché. Liché číslo plus liché číslo 63 je sudé a větší než 2, takže to prvočíslo není. Proto $p = 2$ .
Součet. Prvočísla jsou 2 a 67: $2 + 67 = 69$ .

OdpověďSoučet obou prvočísel je 69.

Časté chyby

Vezmeš jedničku jako prvočíslo a přidáš ji do rozkladu nebo do součtu.
Jednička má jen jednoho dělitele, prvočíslo to není.
Nedokončíš rozklad: napíšeš $595 = 5 \cdot 119$ a číslo 119 považuješ za prvočíslo.
Každý podíl zkus vydělit i sedmi, jedenácti a třinácti. Číslo 119 je $7 \cdot 17$ .
Dělitele hledáš jen mezi součiny s nejmenším prvočíslem (35) a dělitele 85 přehlédneš.
Vypiš všechny součiny dvou prvočísel z rozkladu, ne jen ty s nejmenším.
Jako dvojciferného dělitele napíšeš číslo, které dvojciferné není, třeba 119 nebo 5.
Vypiš všechny dělitele a vyber z nich jen dvojciferné. Podíl $595 : 5 = 119$ je trojciferný.
Zkoušíš jen lichá prvočísla a dvojku vynecháš.
Dvojka je prvočíslo, a to jediné sudé. U úlohy s mocninou prvočísla ji zkus jako první.
Hledáš nejmenšího dvojciferného dělitele jen mezi součiny dvou prvočísel: u čísla 595 napíšeš 35 a přehlédneš prvočíslo 17.
Dělitelem je i každé samotné prvočíslo z rozkladu. Vypiš všechny dělitele, i prvočísla.
Obrátíš vztah: „mocnina je o 63 menší než $q$ “ zapíšeš jako $p^2 - 63 = q$ a žádné řešení nenajdeš.
Menší je mocnina, k ní se tedy 63 přičítá: $p^2 + 63 = q$ . Slova „o 63 větší než $q$ “ by znamenala $p^2 - 63 = q$ .
Odpovíš na jinou otázku: napíšeš mocninu $2^2 = 4$ nebo jen jedno z prvočísel místo jejich součtu.
Než odpověď zapíšeš, přečti si znovu otázku.

Zkus si

Číslo 322 je součinem tří prvočísel. Kolik je jejich součet a který dvojciferný dělitel čísla 322 je největší?

Ukaž řešení

Rozklad. Číslo 322 je sudé: $322 : 2 = 161$ . Číslo 161 není dělitelné třemi ani pěti, ale sedmi ano: $161 : 7 = 23$ . Tedy $322 = 2 \cdot 7 \cdot 23$ .
Součet. $2 + 7 + 23 = 32$ .
Dělitelé. Součiny dvou prvočísel jsou $2 \cdot 7 = 14$ , $2 \cdot 23 = 46$ a $7 \cdot 23 = 161$ . Dvojciferní dělitelé jsou 14, 23 a 46, největší je 46.

VýsledekSoučet je 32, největší dvojciferný dělitel je 46.

Když od třetí mocniny prvočísla $p$ odečteš 123, dostaneš prvočíslo $q$ . Které z čísel $p$ a $q$ je větší a jaké to je číslo?

Ukaž řešení

Vztah. Větší je mocnina, od ní se tedy 123 odečítá: $p^3 - 123 = q$ .
Malá prvočísla. Pro dvojku a trojku vyjde záporné číslo: $2^3 = 8$ a $3^3 = 27$ jsou menší než 123.
Sudé a liché. Třetí mocnina lichého prvočísla je lichá. Liché číslo minus liché číslo 123 je sudé, takže $q$ musí být jediné sudé prvočíslo 2.
Dosazení. $123 + 2 = 125$ a $5^3 = 125$ , takže neznámé prvočíslo je 5.
Větší prvočíslo. Prvočísla jsou 5 a 2, větší z nich je 5. Mocnina $5^3 = 125$ prvočíslo není.

Výsledek5

Procvič si to

Pět úloh tohoto typu, pokaždé s jinými čísly. Opraví se samy a u chyby uvidíš postup.