Krychle a kvádr: hrany, povrch a objem

Kolik má kvádr hran a stěn, jak spočítat povrch a objem a jak se ze součtu hran nebo z povrchu dostat zpátky k hraně.

V testuVýběr z pěti možností za 2 body (úloha 12), nebo úloha 7 se dvěma podúlohami za 1 a 2 body. Vzorce pro povrch a objem v tabulce v testovém sešitu nejsou.

Co potřebuješ znát

Stěny, hrany a vrcholy

Kvádr má tvar krabice. Má 6 stěn, 12 hran a 8 vrcholů. Stěny jsou obdélníky a protilehlé stěny jsou shodné.

Hrany vedou do tří směrů: do délky, do šířky a do výšky. V každém směru jsou čtyři stejně dlouhé hrany. Proto stačí znát tři rozměry kvádru: délku a, šířku b a výšku c.

Krychle je kvádr, který má všechny hrany stejně dlouhé. Má šest shodných čtvercových stěn.

Kvádr s hranami 7 cm, 4 cm a 2 cm. Každou z těch délek má kvádr čtyřikrát.

Součet délek hran

Sečti jednu hranu z každého směru a výsledek vynásob čtyřmi:

4 \cdot (a + b + c)

součet délek všech hran kvádru

Kvádr z obrázku: $4 \cdot (7 + 4 + 2) = 4 \cdot 13 = 52$ cm. Krychle má 12 stejně dlouhých hran, součet je $12a$ .

TipZe součtu hran krychle dostaneš hranu dělením dvanácti. Součet 180 cm dá hranu $180 : 12 = 15$ cm.

Povrch

Povrch je součet obsahů všech stěn. Představ si, že krabici rozstřihneš podél několika hran a rozložíš do roviny. Vznikne síť: šest obdélníků, vždy dva a dva shodné.

Síť kvádru 7 cm × 4 cm × 2 cm. Stejně vybarvené stěny jsou shodné.

S = 2 \cdot (ab + ac + bc)

povrch kvádru

Kvádr z obrázku: $S = 2 \cdot (7 \cdot 4 + 7 \cdot 2 + 4 \cdot 2) = 2 \cdot (28 + 14 + 8) = 2 \cdot 50 = 100$ cm².

S = 6a^2

povrch krychle: šest shodných čtverců

Objem

Objem říká, kolik místa těleso zabírá. Měří se krychličkami: 1 cm³ je krychlička s hranou 1 cm.

V jedné vrstvě je

5 \cdot 3 = 15

krychliček. Dvě vrstvy mají

15 \cdot 2 = 30

krychliček, kvádr má objem 30 cm³.

V = a \cdot b \cdot c

objem kvádru

V = a^3 = a \cdot a \cdot a

\begin{aligned} V &= a^3 \\ &= a \cdot a \cdot a \end{aligned}

objem krychle

Kvádr 7 cm × 4 cm × 2 cm má objem $7 \cdot 4 \cdot 2 = 56$ cm³.

Zpátky k hraně krychle

Ze součtu hran: vyděl ho dvanácti.
Z povrchu: vyděl ho šesti, dostaneš obsah jedné stěny. Hrana je číslo, které dá na druhou obsah stěny. Povrch 150 cm²: $150 : 6 = 25$ cm², hrana měří 5 cm, protože $5 \cdot 5 = 25$ .
Z objemu: hledej číslo, které dá na třetí objem. Objem 729 cm³ má krychle s hranou 9 cm, protože $9 \cdot 9 \cdot 9 = 729$ .

Číslu, které dá na druhou obsah stěny, se říká druhá odmocnina. Píše se $\sqrt{25} = 5$ . Stejný zápis uvidíš v postupu u úloh.

Třetí mocniny malých čísel se vyplatí znát: $2^3 = 8$ , $3^3 = 27$ , $4^3 = 64$ , $5^3 = 125$ , $6^3 = 216$ , $10^3 = 1\,000$ .

TipDruhé mocniny čísel 11 až 20 najdeš v tabulce v testovém sešitu. Povrch 1 176 cm² dá stěnu $1\,176 : 6 = 196$ cm² a z tabulky hned vidíš, že hrana měří 14 cm.

„O polovinu delší“

Zadání často řekne, že jedna hrana je o nějakou část delší než druhá. „O polovinu delší“ znamená, že k délce přičteš její polovinu. Výsledek je 1,5krát delší, ne poloviční ani dvojnásobný.

o polovinu delší než 12 cm: $12 + 6 = 18$ cm,
o třetinu delší než 12 cm: $12 + 4 = 16$ cm,
o tři čtvrtiny delší než 12 cm: $12 + 9 = 21$ cm,
o čtvrtinu kratší než 12 cm: $12 - 3 = 9$ cm.

Kvádr složený ze dvou dílů

Když dva díly leží za sebou nebo na sobě a dohromady tvoří kvádr, sečti jejich délky ve směru, kde leží za sebou. Ostatní dva rozměry mají oba díly stejné. Že má díl stejnou podstavu jako stěna krychle, často ukazuje jen obrázek. Proto se na něj vždy podívej.

Zadání může celé těleso nazvat velký hranol ABCDEFGH. Všechny jeho stěny jsou obdélníky, je to tedy kvádr a jeho objem je součin tří rozměrů. „Nejdelší hrana“ přilepeného hranolu je ta, která leží ve směru, kde díly leží za sebou.

Jak na to

Dopiš si do obrázku nebo do náčrtu všechno, co o tělese víš.
Ze zadaného údaje zjisti hranu: ze součtu hran dělením dvanácti, z povrchu přes obsah stěny.
S hranami spočítej, na co se ptají: povrch, objem, nebo jejich rozdíl.
Zkontroluj jednotku: povrch je v cm², objem v cm³.

Řešené příklady

Příklad 1: Dvě krabice tvaru krychle

Velká krabice tvaru krychle má součet délek všech hran 132 cm. Povrch malé krabice tvaru krychle je o 342 cm² menší než povrch velké krabice. O kolik cm³ je objem velké krabice větší než objem malé?

Řešení

Hrana velké krychle. Krychle má 12 stejně dlouhých hran: $132 : 12 = 11$ cm.
Povrch velké krychle. Šest čtverců se stranou 11 cm: $6 \cdot 11 \cdot 11 = 726$ cm².
Povrch malé krychle. Je o 342 cm² menší: $726 - 342 = 384$ cm².
Hrana malé krychle. Jedna stěna má $384 : 6 = 64$ cm². Hrana měří 8 cm, protože $8 \cdot 8 = 64$ .
Objemy. Velká krychle má $11 \cdot 11 \cdot 11 = 1\,331$ cm³, malá $8 \cdot 8 \cdot 8 = 512$ cm³.
Rozdíl. Otázka chce rozdíl objemů, ne objem jedné krabice: $1\,331 - 512 = 819$ cm³.

OdpověďObjem velké krabice je o 819 cm³ větší než objem malé.

Příklad 2: Podstavec pod sochu

Podstavec pod sochu má tvar kvádru a skládá se ze dvou dílů (viz obrázek). Dole je šedá kamenná krychle s povrchem 864 cm². Na ní stojí bílý dřevěný hranol, který je o třetinu vyšší, než je hrana krychle.

a) Jak dlouhá je hrana krychle?

b) Jaký objem má celý podstavec?

Řešení

a) Obsah stěny. Povrch krychle tvoří šest shodných čtverců: $864 : 6 = 144$ cm².
a) Hrana krychle. Hledáš číslo, které dá na druhou 144. Najdeš ho v tabulce: $\sqrt{144} = 12$ , protože $12 \cdot 12 = 144$ . Hrana měří 12 cm.
b) Výška hranolu. Je o třetinu vyšší než 12 cm. Třetina z 12 cm je $12 : 3 = 4$ cm, hranol je vysoký $12 + 4 = 16$ cm.
b) Rozměry podstavce. Z obrázku: hranol má stejnou podstavu jako horní stěna krychle, čtverec 12 cm × 12 cm. Díly stojí na sobě, podstavec je vysoký $12 + 16 = 28$ cm, široký i hluboký je 12 cm.
b) Objem. Objem kvádru je součin tří rozměrů: $12 \cdot 12 \cdot 28 = 4\,032$ cm³.

OdpověďHrana krychle měří 12 cm a podstavec má objem 4 032 cm³.

Časté chyby

Součet hran krychle vydělíš čtyřmi, šesti nebo osmi.
Krychle má 12 hran: 4 dole, 4 nahoře a 4 svislé. Součet hran děl dvanácti.
Z povrchu spočítáš obsah stěny a zapomeneš odmocnit. Hrana pak vyjde 144 cm místo 12 cm.
Povrch dělený šesti je obsah stěny v cm². Hrana je strana toho čtverce: druhá odmocnina z obsahu stěny, tedy číslo, které dá na druhou obsah stěny.
Povrch vydělíš čtyřmi nebo dvanácti, jako by krychle měla čtyři stěny, nebo jako by šlo o hrany.
Povrch je součet obsahů stěn. Krychle má šest stěn, proto se povrch dělí šesti.
Spleteš si povrch a objem.
Povrch je plocha. Počítá se ze stěn a má jednotky cm². Objem je prostor uvnitř. Počítá se jako součin tří rozměrů a má jednotky cm³.
Odpovíš objemem jedné krychle, i když otázka chce rozdíl objemů. Nebo odečteš hrany či obsahy stěn místo objemů.
Na konci si znovu přečti otázku. „O kolik se liší objemy“ znamená spočítat oba objemy a odečíst je.
„O polovinu delší“ přečteš jako polovinu, nebo jako dvakrát delší.
„O polovinu delší“ znamená přičíst polovinu: z 12 cm je 18 cm. Polovina by byla 6 cm, dvakrát delší 24 cm.

Zkus si

Krychle má povrch 294 cm². Jaký má objem?

Ukaž řešení

Stěna. $294 : 6 = 49$ cm².
Hrana. $7 \cdot 7 = 49$ , hrana měří 7 cm.
Objem. $7 \cdot 7 \cdot 7 = 343$ cm³.

Výsledek343 cm³

Kvádr má hrany 8 cm, 6 cm a 3 cm. Jaký je součet délek všech jeho hran a jaký má povrch?

Ukaž řešení

Součet hran. $4 \cdot (8 + 6 + 3) = 4 \cdot 17 = 68$ cm.
Povrch. $2 \cdot (8 \cdot 6 + 8 \cdot 3 + 6 \cdot 3) = 2 \cdot (48 + 24 + 18) = 2 \cdot 90 = 180$ cm².

Výsledek68 cm a 180 cm²

Procvič si to

Pět úloh tohoto typu, pokaždé s jinými čísly. Opraví se samy a u chyby uvidíš postup.