Hranol: objem, povrch a síť

Co je podstava a výška hranolu, jak spočítat objem a povrch, jak číst síť a jak rozdělit bazén se šikmým dnem.

V testuVýběr z pěti možností za 2 body (úlohy 12 a 14). V testech byl rozdíl povrchů dvou hranolů, objem hranolu ze sítě a objem bazénu se šikmým dnem. Vzorce pro objem a povrch v tabulce nejsou.

Co potřebuješ znát

Podstava a výška

Hranol má dvě shodné podstavy a mezi nimi boční stěny, které jsou obdélníky. Podstava může být trojúhelník, čtverec, kosočtverec nebo lichoběžník. Podle počtu jejích stran se hranol jmenuje trojboký, čtyřboký a tak dál. Kvádr je čtyřboký hranol s obdélníkovou podstavou. Pravidelný čtyřboký hranol má podstavu čtverec.

Výška hranolu je vzdálenost obou podstav. Je stejně dlouhá jako každá boční hrana.

Tentýž hranol jednou stojí a jednou leží. Šedá je vždy podstava. Když hranol leží na boční stěně, je podstava vpředu a výška hranolu vede do hloubky.

TipHranol nemusí stát na podstavě. Podstavu poznáš tak, že má naproti sobě shodnou stěnu a celé těleso je z ní „vytažené“.

Objem

Představ si podstavu jako vrstvu vysokou 1 cm. Hranol se skládá z takových vrstev a je jich tolik, kolik centimetrů měří výška. Proto je objem obsah podstavy krát výška:

V = S_p \cdot v

Podstava je pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami 3 cm a 4 cm, výška hranolu je 6 cm. Obsah podstavy je $3 \cdot 4 : 2 = 6$ cm², objem $6 \cdot 6 = 36$ cm³.

TipObsah podstavy počítáš jako v rovině: trojúhelník, kosočtverec, lichoběžník. Vzorce najdeš v kapitolách o geometrii v rovině.

Povrch a síť

Povrch tvoří dvě podstavy a plášť, tedy všechny boční stěny. Když plášť rozvineš do roviny, vznikne obdélník. Jedna jeho strana je obvod podstavy, druhá výška hranolu.

S = 2 \cdot S_p + o_p \cdot v

povrch: dvě podstavy a plášť (obvod podstavy krát výška)

Síť hranolu z předchozího příkladu: plášť je obdélník 12 cm × 6 cm, podstavy jsou trojúhelníky s obsahem 6 cm². Povrch je

2 \cdot 6 + 12 \cdot 6 = 12 + 72 = 84

cm².

Ze sítě poznáš i počet hran. Hranol, jehož podstava má n stran, má $3n$ hran. Čtyřboký hranol jich má 12: 4 v dolní podstavě, 4 v horní a 4 boční.

Síť čtyřbokého hranolu: řada čtyř čtverců je plášť, dva šedé kosočtverce jsou podstavy. Všech 12 hran hranolu je stejně dlouhých.

TipKdyž jsou boční stěny čtverce, je výška hranolu stejná jako hrana podstavy. Když je navíc podstava kosočtverec, mají všechny hrany hranolu stejnou délku. Jednu hranu pak dostaneš ze součtu hran dělením dvanácti.

Dva hranoly se stejnou podstavou

Dva hranoly mají stejnou podstavu a liší se jen výškou. Podstavy jsou u obou stejné, rozdíl povrchů je jen v plášti. Plášť vyššího hranolu je větší o obdélník: obvod podstavy krát rozdíl výšek.

\text{rozdíl povrchů} = o_p \cdot \text{rozdíl výšek}

Hraně podstavy říká zadání také podstavná hrana. Pravidelné čtyřboké hranoly s podstavnou hranou 2 cm mají obvod podstavy 8 cm. Když je jeden o 5 cm vyšší, má povrch větší o $8 \cdot 5 = 40$ cm².

Bazén se šikmým dnem

Bazén má zónu pro neplavce s rovným dnem a zónu pro plavce, kde dno šikmo klesá. Rozděl ho na tyhle dvě části. Zóna pro neplavce je kvádr. Zóna pro plavce je hranol ležící na boku. Jeho podstava je boční stěna, tedy lichoběžník, a výška hranolu je šířka bazénu.

S = \frac{(a + c) \cdot v}{2}

obsah lichoběžníku se základnami a, c a výškou v

Základny lichoběžníku jsou obě hloubky, jeho výška je délka zóny pro plavce. Lichoběžník uvidíš, když se na bazén podíváš z boku. Vzorec pro obsah lichoběžníku v tabulce není.

Délka zóny pro neplavce bývá jen v obrázku. Délku zóny pro plavce dopočítáš: od celé délky bazénu odečti zónu pro neplavce.

TipPrůměrná hloubka $(a + c) : 2$ platí jen pro zónu pro plavce. Zóna pro neplavce má hloubku všude stejnou, na celý bazén průměrnou hloubku nepoužívej.

Jak na to

Najdi podstavu: stěnu, ze které je hranol vytažený. U ležícího hranolu bývá vpředu.
Spočítej obsah podstavy a zjisti výšku hranolu, tedy délku boční hrany.
Objem je obsah podstavy krát výška. Povrch jsou dvě podstavy a plášť.
Složené těleso rozděl na kvádry a hranoly, každou část spočítej zvlášť a sečti.

Řešené příklady

Příklad 1: Bazén se šikmým dnem

Bazén je dlouhý 25 m a široký 12 m. V zóně pro neplavce má rovné dno a hloubku všude 0,8 m. V zóně pro plavce dno šikmo klesá z hloubky 0,8 m až na 1,8 m. Jak dlouhá je zóna pro neplavce, ukazuje obrázek. Kolik m³ vody se vejde do bazénu, když ho napustíme až po okraj?

Řešení

Délky zón. Z obrázku: zóna pro neplavce je dlouhá 10 m. Na zónu pro plavce zbývá $25 - 10 = 15$ m.
Zóna pro neplavce. Je to kvádr 10 m × 12 m × 0,8 m: $10 \cdot 12 \cdot 0{,}8 = 96$ m³.
Podstava zóny pro plavce. Z boku je to lichoběžník se základnami 0,8 m a 1,8 m (hloubky) a s výškou 15 m (délka zóny): $(0{,}8 + 1{,}8) \cdot 15 : 2 = 19{,}5$ m².
Zóna pro plavce. Je to hranol a jeho výška je šířka bazénu: $19{,}5 \cdot 12 = 234$ m³.
Celý bazén. Sečti obě zóny: $96 + 234 = 330$ m³.

OdpověďDo bazénu se vejde 330 m³ vody.

Příklad 2: Dvě krabice se stejným dnem

Dvě krabice tvaru kvádru mají stejné dno, obdélník 6 cm × 4 cm. Vyšší krabice má o 140 cm² větší povrch než nižší krabice. O kolik centimetrů se liší výšky krabic?

Řešení

Dno a víko. Obě krabice mají dvě stejné podstavy (dno a víko) s obsahem $6 \cdot 4 = 24$ cm². Na rozdílu povrchů se nepodílejí.
Plášť. Boční stěny tvoří obdélník, jehož jedna strana je obvod dna: $2 \cdot (6 + 4) = 20$ cm. Když je jedna krabice vyšší o $d$ cm, má plášť větší o $20 \cdot d$ cm².
Rozdíl výšek. $20 \cdot d = 140$ , takže $d = 140 : 20 = 7$ cm.

OdpověďVýšky krabic se liší o 7 cm.

Časté chyby

U bazénu vezmeš průměrnou hloubku pro celý bazén, nebo počítáš celou zónu pro plavce s největší hloubkou.
Rozděl bazén na zónu pro neplavce a zónu pro plavce. Zónu pro plavce počítej jako hranol s lichoběžníkovou podstavou.
Za výšku lichoběžníku vezmeš celou délku bazénu, i když šikmé dno má jen zóna pro plavce.
Výška lichoběžníku je délka zóny pro plavce: celá délka bazénu minus zóna pro neplavce.
U lichoběžníku zapomeneš dělit dvěma, nebo spočítáš jen trojúhelník pod šikmým dnem.
Obsah lichoběžníku je součet základen krát výška děleno dvěma. Musí vyjít mezi obsahem mělkého a hlubokého obdélníku.
Rozdíl povrchů dvou hranolů vydělíš obsahem podstavy, jako by šlo o objem.
Podstavy jsou u obou hranolů stejné. Rozdíl dělají jen boční stěny: obvod podstavy krát rozdíl výšek.
Započítáš špatný počet bočních stěn: tři, šest, nebo boční stěny obou hranolů.
Čtyřboký hranol má čtyři boční stěny. Rozdíl povrchů je jen to, o co je plášť vyššího hranolu větší.
Spočítáš špatně hrany hranolu, třeba jen hrany podstav.
Čtyřboký hranol má 12 hran: 4 v dolní podstavě, 4 v horní a 4 boční. Když jsou všechny stejné, dostaneš jednu hranu ze součtu dělením dvanácti.
Hranol se čtvercovými bočními stěnami počítáš jako krychli, nebo k objemu přičteš podstavy.
Objem je vždy obsah podstavy krát výška. Kosočtverec není čtverec, jeho obsah je zadaný.

Zkus si

Dřevěný sloupek tvaru čtyřbokého hranolu stojí na kosočtverci. Všechny čtyři boční stěny jsou čtverce. Kosočtverec dole má obsah 30 cm² a délky všech hran sloupku dají dohromady 72 cm. Kolik cm³ dřeva je ve sloupku?

Ukaž řešení

Všechny hrany jsou stejné. Boční stěny jsou čtverce a kosočtverec má všechny strany stejné. Všech 12 hran má tedy stejnou délku.
Hrana. $72 : 12 = 6$ cm. Výška hranolu je také 6 cm.
Objem. Obsah podstavy krát výška: $30 \cdot 6 = 180$ cm³.

Výsledek180 cm³

Podstava hranolu je pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami 6 cm a 8 cm a s přeponou 10 cm. Výška hranolu je 5 cm. Jaký má hranol objem a jaký povrch?

Ukaž řešení

Podstava. $6 \cdot 8 : 2 = 24$ cm².
Objem. $24 \cdot 5 = 120$ cm³.
Plášť. Obvod podstavy je $6 + 8 + 10 = 24$ cm, plášť má $24 \cdot 5 = 120$ cm².
Povrch. $2 \cdot 24 + 120 = 168$ cm².

Výsledek120 cm³ a 168 cm²

Procvič si to

Pět úloh tohoto typu, pokaždé s jinými čísly. Opraví se samy a u chyby uvidíš postup.