Plochy na krychli a krychle z krychliček

Jak spočítat část povrchu, když jsou na stěnách šedé čtverce nebo lichoběžníky, a jak spočítat krychličky ve velké krychli tak, aby žádná nebyla započítaná dvakrát.

V testuVýběr z pěti možností za 2 body (úloha 13), nebo úloha 7 se dvěma podúlohami za 1 a 2 body. Zlomek a poměr se píšou v základním tvaru, za nezkrácený výsledek body chybí.

Co potřebuješ znát

Stěnu rozděl na čtverečky

Na stěně jsou šedé čtverce podél úhlopříčky, dotýkají se vrcholy a vedou od rohu k rohu. Zadání říká, že čtverce úhlopříčku přelepují. Zbytek stěny je bílá nepolepená část. Když jsou čtverce tři, je strana každého z nich třetina hrany. Celou stěnu si pak rozděl na $3 \cdot 3 = 9$ stejných čtverečků. Šedé jsou 3, bílých je 6.

Bílá část je

\frac{6}{9} = \frac{2}{3}

stěny.

Obecně: když je na úhlopříčce n čtverců, má stěna $n \cdot n$ čtverečků a n z nich je šedých. Na celém povrchu je šest stěn. Z obsahu bílé plochy pak spočítáš obsah jednoho čtverečku, z něj jeho stranu a z ní hranu krychle.

Lichoběžník na stěně

Úsečka z rohu stěny do bodu na protější hraně rozdělí čtvercovou stěnu na pravoúhlý trojúhelník a lichoběžník. Trojúhelník je polovina obdélníku, jehož strany jsou odvěsny trojúhelníku.

Bod M je ve čtvrtině hrany. Bílý trojúhelník je polovina obdélníku, který zabírá čtvrtinu stěny.

Když je bod ve čtvrtině hrany, zabírá obdélník $\frac{1}{4}$ stěny a trojúhelník polovinu z toho, tedy $\frac{1}{8}$ stěny. Lichoběžník je zbytek: $1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$ stěny.

TipŠikmá úsečka nedělí stěnu napůl. Napůl ji dělí jen úhlopříčka z rohu do rohu.

Zlomek a poměr na celém povrchu

Plochy na povrchu počítej ve stěnách, krychle má 6 stěn. Když jsou na dvou stěnách lichoběžníky po $\frac{7}{8}$ stěny, je šedá plocha $2 \cdot \frac{7}{8} = \frac{7}{4}$ stěny a bílá $6 - \frac{7}{4} = \frac{17}{4}$ stěny.

Oba zlomky mají jmenovatel 4, poměr šedé a bílé plochy je proto stejný jako poměr čitatelů: $7 : 17$ . Nakonec poměr zkrať, pokud to jde.

TipPozor na pořadí: „šedé ku bílé“ znamená, že šedá je první. Zlomek i poměr piš v základním tvaru, třeba $\frac{6}{8}$ zkrať na $\frac{3}{4}$ .

Krychle z krychliček

Krychle, která má v každé řadě n krychliček, jich má celkem $n \cdot n \cdot n$ . Krychličky na povrchu se liší tím, na kolika stěnách leží:

Krychle 5 × 5 × 5. Rohové krychličky jsou tmavě šedé, krychličky na hranách světle šedé.

v rohu: leží na třech stěnách, rohových krychliček je vždy 8,
na hraně (mimo roh): leží na dvou stěnách,
ve stěně (mimo hrany): leží na jedné stěně,
uvnitř: nejsou vidět. Tvoří menší krychli, která má v každé řadě o dvě krychličky méně.

Krychle 5 × 5 × 5 má uvnitř $3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$ krychliček a na povrchu $125 - 27 = 98$ .

Šedé úhlopříčky: rohy nepočítej víckrát

Na každé stěně jsou šedé krychličky podél úhlopříčky. Když sečteš šedé čtverečky na šesti stěnách, krychličku v rohu započítáš na každé stěně, na které je vidět. Rohová krychlička leží na třech stěnách. Proto od počtu čtverečků odečti, co je navíc.

Krychle 6 × 6 × 6: na úhlopříčce každé stěny je 6 čtverečků, celkem $6 \cdot 6 = 36$ . Když se úhlopříčky setkávají ve čtyřech rozích, je každý z nich započítaný třikrát místo jednou. Šedých krychliček je $36 - 4 \cdot 2 = 28$ , bílých $216 - 28 = 188$ .

Když jsou šedé obě úhlopříčky stěny a krychle má v řadě lichý počet krychliček, kříží se úhlopříčky uprostřed stěny ve společném čtverečku. Ten na stěně počítej jen jednou. Při sudém počtu se úhlopříčky uprostřed stěny jen dotknou rohy čtverečků. Společný čtvereček nemají a nic neodečítáš.

Když jsou šedé úhlopříčky jen na třech viditelných stěnách, podívej se do obrázku, ve kterých rozích se potkávají. Krychličku, ve které se potkají dvě úhlopříčky, odečti jednou. Krychličku, ve které se potkají tři, odečti dvakrát.

TipPtají se na krychličky, nebo na čtverečky na povrchu? Na celou krychli, nebo jen na povrch? Přečti si otázku dvakrát.

Jak na to

Rozděl stěnu na stejné díly (čtverečky, obdélník a trojúhelník) a zjisti, jakou část stěny tvoří šedá a jakou bílá.
Sečti části na všech šesti stěnách, i na těch, které v obrázku nejsou vidět.
U krychliček zkontroluj, jestli některou nepočítáš víckrát: rohy, střed stěny.
Odpověz přesně na otázku: hrana, zlomek, poměr, nebo počet. Zlomek a poměr zkrať.

Řešené příklady

Příklad 1: Kostka se samolepkami

Bílá kostka má na každé stěně čtyři stejné šedé čtvercové samolepky. Leží v řadě podél jedné úhlopříčky stěny, sousední samolepky se dotýkají jen rohem a řada vede z rohu stěny do protějšího rohu (viz obrázek). Bílá část povrchu kostky má obsah 648 cm². Jak dlouhá je hrana kostky?

Řešení

Rozdělení stěny. Čtyři samolepky vedou od rohu do rohu, strana samolepky je čtvrtina hrany. Stěna má $4 \cdot 4 = 16$ čtverečků velkých jako samolepka, šedé jsou 4 a bílých je $16 - 4 = 12$ .
Bílé čtverečky na povrchu. Kostka má šest stěn: $6 \cdot 12 = 72$ bílých čtverečků.
Jeden čtvereček. $648 : 72 = 9$ cm². Strana čtverečku měří 3 cm, protože $3 \cdot 3 = 9$ .
Hrana kostky. Hrana je dlouhá jako čtyři strany čtverečku: $4 \cdot 3 = 12$ cm.

OdpověďHrana kostky je dlouhá 12 cm.

Příklad 2: Lichoběžníky na horní a pravé stěně

Krychle ABCDEFGH je bílá. Na horní stěně je šedý lichoběžník EFGP a na pravé stěně šedý lichoběžník BQGF (viz obrázek). Bod P leží na hraně GH a bod Q na hraně CG. Úsečky HP a CQ jsou dlouhé dvě třetiny hrany. Všechny ostatní plochy jsou bílé.

a) Jakou část horní stěny tvoří lichoběžník EFGP? Napiš zlomek v základním tvaru.

b) Jaký je v základním tvaru poměr obsahu šedé plochy ku obsahu bílé plochy na celém povrchu krychle?

Řešení

a) Bílý trojúhelník. Bílá část horní stěny je pravoúhlý trojúhelník EHP. Odvěsna EH je celá hrana, HP měří dvě třetiny hrany. Obdélník se stranami EH a HP zabírá $\frac{2}{3}$ stěny a trojúhelník je jeho polovina: $\frac{2}{3} : 2 = \frac{1}{3}$ stěny.
a) Šedý lichoběžník. Zbytek stěny je šedý: $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ stěny.
b) Šedá plocha. Na pravé stěně zbývá bílý trojúhelník BCQ se stejně dlouhými odvěsnami (celá hrana a dvě třetiny hrany), lichoběžník BQGF je také $\frac{2}{3}$ stěny. Šedé jsou $2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$ stěny.
b) Bílá plocha. Krychle má šest stěn: $6 - \frac{4}{3} = \frac{14}{3}$ stěny.
b) Poměr. Oba zlomky mají jmenovatel 3: $\frac{4}{3} : \frac{14}{3} = 4 : 14$ . Obě čísla vyděl dvěma: $4 : 14 = 2 : 7$ .

OdpověďLichoběžník EFGP tvoří 2/3 horní stěny. Poměr šedé a bílé plochy je 2 : 7.

Časté chyby

Rohovou krychličku započítáš víckrát, protože ji vidíš na třech stěnách.
Sečti šedé čtverečky na stěnách a pak odečti, co je navíc. Krychlička v rohu, kde se potkají tři šedé úhlopříčky, je započítaná třikrát, proto ji dvakrát odečti.
Počítáš jen tři stěny, které vidíš v obrázku.
Krychle má šest stěn. Na skrytých stěnách je to, co říká zadání, i když to v obrázku nevidíš.
Počítáš čtverečky na povrchu místo krychliček, nebo zapomeneš na krychličky uvnitř.
Krychliček je $n \cdot n \cdot n$ a počítají se i ty uvnitř. Čtverečky jsou jen jejich stěny na povrchu.
Zaměníš šedou a bílou plochu, nebo odpovíš stranou čtverečku místo hrany krychle.
Napiš si, kterou plochu zadání dává. Hrana krychle je několik stran čtverečku za sebou.
Myslíš si, že šikmá úsečka dělí stěnu napůl.
Napůl ji dělí jen úhlopříčka. Jinak spočítej trojúhelník jako polovinu obdélníku.
Poměr nezkrátíš, napíšeš ho obráceně, nebo porovnáš šedou plochu s celým povrchem.
Pořadí je podle otázky: šedá ku bílé. Bílá plocha je povrch bez šedé. Nakonec poměr zkrať.

Zkus si

Krychle 3 × 3 × 3 je složená z bílých a šedých krychliček. Na každé stěně jsou šedé krychličky podél obou úhlopříček, ostatní krychličky jsou bílé. Kolik bílých krychliček je v krychli?

Ukaž řešení

Všechny krychličky. $3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$ .
Šedé čtverečky na stěnách. Obě úhlopříčky mají po 3 čtverečcích a kříží se v prostředním. Na stěně je $3 + 3 - 1 = 5$ šedých čtverečků, na šesti stěnách $6 \cdot 5 = 30$ .
Rohy. Úhlopříčky vedou do všech 8 rohů. Každá rohová krychlička leží na třech stěnách a je započítaná třikrát místo jednou: $30 - 8 \cdot 2 = 14$ šedých krychliček.
Bílé krychličky. $27 - 14 = 13$ .

Výsledek13

Na krychli je šedá celá přední stěna a polovina horní stěny. Ostatní plochy jsou bílé. Jaký je v základním tvaru poměr šedé plochy ku bílé ploše?

Ukaž řešení

Šedá plocha. $1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ stěny.
Bílá plocha. $6 - \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$ stěny.
Poměr. $\frac{3}{2} : \frac{9}{2} = 3 : 9 = 1 : 3$ .

Výsledek1 : 3

Procvič si to

Pět úloh tohoto typu, pokaždé s jinými čísly. Opraví se samy a u chyby uvidíš postup.