Složená tělesa: řez, slepení a výřezy

Jak se změní povrch, když těleso rozřízneš, díly slepíš jinak, nebo z něj vyřízneš krychličku. A proč se objem přitom nemění.

V testuVýběr z pěti možností za 2 body (úloha 11 nebo 13), nebo tři tvrzení ano/ne za 4 body (úloha 11). Jak jsou díly složené nebo kde jsou výřezy, bývá jen v obrázku. Objemy těles z kvádrů byly jednou i v přiřazovací úloze 15 o procentech.

Co potřebuješ znát

Povrch je všechno, co jde natřít

Představ si, že těleso natíráš barvou. Povrch je všechno, kam se štětec dostane. Plochy, kterými jsou díly slepené k sobě, natřít nejde. Na povrchu nejsou.

Řez přidá dvě plochy

Když těleso rozřízneš, vzniknou dvě nové stěny, na každém dílu jedna. Obě mají tvar řezu. Povrch obou dílů dohromady je proto o dvě plochy řezu větší než povrch celého tělesa.

Slepení ubere dvě plochy

Když dva díly slepíš, zmizí z povrchu styčná plocha (plocha styku), a to u obou dílů. Povrch slepeného tělesa je součet povrchů dílů minus dvakrát styčná plocha.

S = S_1 + S_2 - 2 \cdot S_{\text{styk}}

Styčná plocha je jen ta část, kterou se díly opravdu dotýkají. Když jeden díl přečnívá, je styčná plocha menší než celá stěna. Najdi ji v obrázku.

Horní kvádr přečnívá doprava o 2 cm. S dolním se dotýká jen obdélníkem 2 cm × 5 cm, styčná plocha má

2 \cdot 5 = 10

cm².

TipV úloze s tvrzeními o slepených kvádrech bývá i součet délek hran kvádru. Kvádr má 12 hran, po čtyřech od každé délky: $4 \cdot (a + b + c)$ .

Rozřízni a slep jinak

Krychli rozřízneš na dva díly a složíš je do nového tělesa. Řez přidá dvě plochy řezu, slepení ubere dvakrát styčnou plochu:

\text{změna povrchu} = 2 \cdot S_{\text{řez}} - 2 \cdot S_{\text{styk}}

Když se díly dotýkají menší plochou, než je plocha řezu, povrch se zvětší. Stejný zůstane jen tehdy, když je styčná plocha stejně velká jako plocha řezu, třeba když díly slepíš zpátky.

Řez bývá vodorovný, nebo svislý. Díly pak leží vedle sebe, tvoří schod, stojí jeden na druhém, nebo tvoří tvar L: jeden díl leží a druhý stojí vedle něj. Jak přesně, ukazuje jen obrázek.

Vyříznutá krychlička

Když z krychle vyřízneš malou krychličku, část povrchu zmizí a uvnitř výřezu se objeví nové stěny. Kolik jich je, záleží na tom, odkud krychličku vyřízneš:

Výřez v rohu, na hraně a ve stěně.

z rohu: zmizí 3 čtverečky a 3 přibudou (dno a dvě boční stěny výřezu). Povrch se nezmění.
z hrany: zmizí 2 čtverečky a 4 přibudou. Povrch se zvětší o 2 stěny krychličky.
ze stěny: zmizí 1 čtvereček a 5 přibude. Povrch se zvětší o 4 stěny krychličky.

Objem se nemění

Řezem ani přeskládáním dílů se objem nezmění. Objem složeného tělesa je součet objemů jeho dílů. Vyříznutou krychličku nebo otvor odečti.

Tělesa postavená ze stejných kvádrů porovnáš podle počtu kvádrů. Když se ptají, o kolik procent je jedno těleso větší nebo menší než druhé, je základem (100 %) těleso za slovem „než“. Těleso z 8 kvádrů je o $(8 - 5) : 5 = 0{,}6$ , tedy o 60 % větší než těleso z 5 kvádrů. Těleso z 5 kvádrů je o $(8 - 5) : 8 = 0{,}375$ , tedy o 37,5 % menší než těleso z 8 kvádrů.

TipKdyž počítáš díly v obrázku, počítej i ty, které jsou vidět jen shora nebo z boku. Díly vzadu bývají schované za předními.

Jak na to

Prohlédni si obrázek: jak velké jsou díly, kde se dotýkají a kde jsou výřezy.
Spočítej, co na povrchu přibude: plochy řezu, stěny uvnitř výřezu.
Spočítej, co z povrchu zmizí: dvakrát styčná plocha, čtverečky na místě výřezu.
Podle otázky odpověz změnou povrchu, nebo ji přičti k původnímu povrchu.

Řešené příklady

Příklad 1: Špalek rozříznutý na dvě desky

Dřevěný špalek tvaru krychle s hranou 16 cm rozřízneme svislým řezem na dvě shodné desky. Jednu desku položíme na zem a druhou postavíme k její pravé stěně (viz obrázek). O kolik cm² má nové těleso větší povrch než špalek?

Řešení

Desky. Řez vede v polovině šířky: $16 : 2 = 8$ cm. Každá deska měří 8 cm × 16 cm × 16 cm.
Nové stěny z řezu. Řez je čtverec 16 cm × 16 cm. Vzniknou dvě nové stěny: $2 \cdot 16 \cdot 16 = 512$ cm².
Styčná plocha. Z obrázku: ležící deska se stojící dotýká jen svou pravou stěnou, která je vysoká 8 cm a hluboká 16 cm: $8 \cdot 16 = 128$ cm². Tahle plocha zmizí z povrchu obou desek: $2 \cdot 128 = 256$ cm².
Změna povrchu. $512 - 256 = 256$ cm².
Zkouška. Špalek má povrch $6 \cdot 16 \cdot 16 = 1\,536$ cm². Každá deska má povrch $2 \cdot (8 \cdot 16 + 8 \cdot 16 + 16 \cdot 16) = 1\,024$ cm², nové těleso $2 \cdot 1\,024 - 256 = 1\,792$ cm². Rozdíl je $1\,792 - 1\,536 = 256$ cm².

OdpověďNové těleso má o 256 cm² větší povrch než špalek.

Příklad 2: Krychle se třemi výřezy

Z krychle s hranou 12 cm vyřízneme tři krychličky s hranou 3 cm. Kde jsou výřezy, ukazuje obrázek. Jaký je povrch nového tělesa?

Řešení

Povrch krychle. $6 \cdot 12 \cdot 12 = 864$ cm². Stěna krychličky má $3 \cdot 3 = 9$ cm².
Výřez v rohu. Zmizí tři čtverečky a tři přibudou. Povrch se nezmění.
Výřez na hraně. Zmizí dva čtverečky a čtyři přibudou. Povrch se zvětší o $2 \cdot 9 = 18$ cm².
Výřez ve stěně. Zmizí jeden čtvereček a pět přibude. Povrch se zvětší o $4 \cdot 9 = 36$ cm².
Povrch nového tělesa. $864 + 18 + 36 = 918$ cm².

OdpověďNové těleso má povrch 918 cm².

Časté chyby

Myslíš si, že se přeskládáním dílů povrch nezmění.
Nemění se objem. Povrch se mění: řez plochy přidá a slepení je ubere. Spočítej obojí.
Styčnou plochu odečteš jen jednou.
Styčná plocha zmizí z povrchu obou dílů. Odečti ji dvakrát.
Spočítáš jen nové stěny z řezu a zapomeneš, že slepením část povrchu zmizí. Nebo odpovíš samotnou styčnou plochou.
Řez přidá dvě stěny, slepení ubere dvakrát styčnou plochu. Teprve rozdíl je změna povrchu.
U výřezu jen odečteš čtverečky, které zmizely, a stěny uvnitř výřezu nepřičteš. Nebo odečteš celý povrch krychličky.
Podívej se do výřezu: má dno a boční stěny. Spočítej, kolik čtverečků zmizí a kolik přibude.
Špatně vyčteš z obrázku, kde se díly dotýkají, nebo vezmeš celou stěnu, i když díl přečnívá.
Styčná plocha je jen část, kde se díly opravdu dotýkají. Hrany do hloubky jsou v obrázku zkrácené na polovinu.
Odpovíš povrchem nového tělesa, i když se ptají, o kolik se povrch změnil.
Na konci si znovu přečti otázku.

Zkus si

Z krychle s hranou 5 cm vyřízneme krychličku s hranou 1 cm.

a) Jaký povrch má nové těleso, když je výřez v rohu?

b) Jaký povrch má, když je výřez uprostřed horní stěny?

Ukaž řešení

Povrch krychle. $6 \cdot 5 \cdot 5 = 150$ cm².
a) Roh. Zmizí tři čtverečky 1 cm × 1 cm a tři přibudou. Povrch zůstane 150 cm².
b) Stěna. Zmizí jeden čtvereček a pět přibude: $150 - 1 + 5 = 154$ cm².

Výsledeka) 150 cm², b) 154 cm²

Dvě stejné dřevěné kostky ze stavebnice mají tvar kvádru 6 cm × 4 cm × 5 cm. Slepíme je dvěma způsoby (viz obrázek). V tělese A leží na sobě a jsou slepené stěnami 6 cm × 5 cm. V tělese B leží vedle sebe a jsou slepené stěnami 4 cm × 5 cm. O kolik cm² má těleso B větší povrch než těleso A?

Ukaž řešení

Jedna kostka. $2 \cdot (6 \cdot 4 + 6 \cdot 5 + 4 \cdot 5) = 2 \cdot 74 = 148$ cm². Dvě kostky mají dohromady $2 \cdot 148 = 296$ cm².
Těleso A. Styčná plocha má $6 \cdot 5 = 30$ cm²: $296 - 2 \cdot 30 = 236$ cm².
Těleso B. Styčná plocha má $4 \cdot 5 = 20$ cm²: $296 - 2 \cdot 20 = 256$ cm².
Rozdíl. $256 - 236 = 20$ cm².

Výsledek20 cm²

Procvič si to

Pět úloh tohoto typu, pokaždé s jinými čísly. Opraví se samy a u chyby uvidíš postup.