Půlkruh, čtvrtkruh a kruhová výseč

Jak spočítat obsah a obvod části kruhu a obrazců složených z oblouků.

V testuPodúlohy za 3 až 4 body nebo výběr z pěti možností za 2 body.

Co potřebuješ znát

Část kruhu podle úhlu

Kruhová výseč je dílek kruhu jako kousek dortu. Její velikost určuje úhel u středu. Celý kruh má 360°, výseč s úhlem α je $\frac{\alpha}{360^\circ}$ kruhu.

půlkruh: 180°, polovina kruhu,
čtvrtkruh: 90°, čtvrtina kruhu,
výseč 60°: $60 : 360 = \frac{1}{6}$ kruhu.

Obsah části kruhu

Obsah části je stejná část obsahu celého kruhu:

S = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2

Čtvrtkruh s poloměrem 6 cm: $S = \frac{1}{4} \cdot 3{,}14 \cdot 6^2 = \frac{1}{4} \cdot 113{,}04 = 28{,}26$ cm².

Obvod části: nezapomeň na rovné čáry

Obvod výseče není jen oblouk. Okraj tvoří oblouk a dva poloměry. U půlkruhu oblouk a průměr.

o = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi r + 2r

Čtvrtkruh: oblouk

\frac{1}{4} \cdot 2 \cdot 3{,}14 \cdot 6 = 9{,}42

cm, obvod

9{,}42 + 6 + 6 = 21{,}42

cm. Půlkruh: oblouk

\frac{1}{2} \cdot 3{,}14 \cdot 6 = 9{,}42

cm, obvod

9{,}42 + 6 = 15{,}42

cm.

Poměr dvou výsečí

Výseče se stejným poloměrem mají obsahy v poměru svých úhlů. π i poloměr se vykrátí, nemusíš je počítat. Výseč 120° má dvakrát větší obsah než výseč 60°.

Zpátky k poloměru a k úhlu

Poloměr z obsahu čtvrtkruhu: obsah vynásob čtyřmi, máš obsah celého kruhu. Pak ho vyděl π a odmocni. Čtvrtkruh s obsahem 3,14 cm²: $3{,}14 \cdot 4 = 12{,}56$ , $12{,}56 : 3{,}14 = 4$ , $r = \sqrt{4} = 2$ cm.

Úhel výseče dopočítáš z 360°. Když kruh tvoří výseč 120° a pět stejných výsečí, má každá z nich $(360^\circ - 120^\circ) : 5 = 48^\circ$ .

Obrazce z oblouků

Často je obrazec čtverec, ze kterého jsou vyříznuté čtvrtkruhy, nebo naopak. Obsah: části sečti, nebo odečti. Obvod: obejdi okraj a sečti oblouky a rovné úsečky, které zbyly.

TipDva čtvrtkruhy se stejným poloměrem dají půlkruh, čtyři čtvrtkruhy celý kruh. Někdy pomůže obrazec doplnit na čtverec nebo obdélník a výřezy pak odečíst.

Ve čtvercové síti si poloměr nejdřív spočítej ve čtverečcích. Pak ho převeď na centimetry podle toho, kolik měří jeden čtvereček.

Jak na to

Zjisti, jakou část kruhu útvar tvoří: polovina, čtvrtina, nebo podle úhlu.
Spočítej obsah nebo obvod celého kruhu a vezmi z něj tu část.
U obvodu přidej rovné části okraje: poloměry nebo průměr.
U složeného obrazce obejdi okraj a sečti oblouky a úsečky. Obsahy sečti, nebo odečti.

Řešené příklady

Příklad 1: Dvě výseče

V kruhu s poloměrem 9 cm jsou dvě výseče: bílá s úhlem 40° a šedá s úhlem 160°.

a) Kolikrát je obsah šedé výseče větší než obsah bílé?

b) Jaký je obvod bílé výseče? Zaokrouhli na desetiny centimetru.

Řešení

a) Poměr obsahů. Obě výseče mají stejný poloměr. Jejich obsahy jsou v poměru úhlů: $160 : 40 = 4$ .
b) Část kruhu. Úhel 40° je $\frac{40}{360} = \frac{1}{9}$ kruhu.
b) Oblouk. Oblouk je devítina obvodu celého kruhu: $\frac{1}{9} \cdot 2 \cdot 3{,}14 \cdot 9 = \frac{56{,}52}{9} = 6{,}28$ cm.
b) Obvod výseče. K oblouku přičti dva poloměry: $6{,}28 + 9 + 9 = 24{,}28$ cm, po zaokrouhlení 24,3 cm.

OdpověďObsah šedé výseče je čtyřikrát větší než obsah bílé. Obvod bílé výseče je po zaokrouhlení 24,3 cm.

Příklad 2: Čtverec bez čtvrtkruhů

Ze čtverce se stranou 8 cm vystřihneme ve všech rozích čtvrtkruhy s poloměrem 4 cm.

a) Jaký obsah má zbylý obrazec?

b) Jaký má obvod?

Řešení

Čtyři čtvrtkruhy. Každý roh je čtvrtkruh s poloměrem 4 cm. Čtyři čtvrtiny dají dohromady jeden celý kruh s poloměrem 4 cm.
a) Obsah výřezů. $3{,}14 \cdot 4^2 = 3{,}14 \cdot 16 = 50{,}24$ cm².
a) Obsah obrazce. Od obsahu čtverce odečti výřezy: $8 \cdot 8 - 50{,}24 = 64 - 50{,}24 = 13{,}76$ cm².
b) Obvod. Čtvrtkruhy se dotýkají ve středech stran, z rovných stran čtverce nic nezbylo. Okraj tvoří čtyři čtvrtkružnice, tedy jedna celá kružnice: $2 \cdot 3{,}14 \cdot 4 = 25{,}12$ cm.

OdpověďZbylý obrazec má obsah 13,76 cm² a obvod 25,12 cm.

Časté chyby

Obvod výseče spočítáš jen jako oblouk.
Obejdi výseč po okraji: oblouk a dva poloměry. U půlkruhu oblouk a průměr.
Spočítáš obsah nebo obvod celého kruhu a zapomeneš vzít jen jeho část.
Nejdřív si napiš, jaká část kruhu to je: polovina, čtvrtina, nebo $\frac{\alpha}{360^\circ}$ .
Ve čtvercové síti počítáš s poloměrem ve čtverečcích a zapomeneš ho převést.
Zjisti, kolik centimetrů má jeden čtvereček, a poloměr převeď dřív, než ho dosadíš.
Odpovíš „o kolik“, když se ptají „kolikrát“, nebo naopak.
Kolikrát: dělíš. O kolik: odčítáš.

Zkus si

Jaký obsah má půlkruh s průměrem 12 cm?

Ukaž řešení

Poloměr. $12 : 2 = 6$ cm.
Obsah. $\frac{1}{2} \cdot 3{,}14 \cdot 6^2 = \frac{113{,}04}{2} = 56{,}52$ cm².

Výsledek56,52 cm²

Jaký obvod má půlkruh s průměrem 12 cm?

Ukaž řešení

Oblouk. Polovina obvodu celého kruhu: $\frac{1}{2} \cdot 3{,}14 \cdot 12 = 18{,}84$ cm.
Obvod. Přičti průměr: $18{,}84 + 12 = 30{,}84$ cm.

Výsledek30,84 cm

Procvič si to

Pět úloh tohoto typu, pokaždé s jinými čísly. Opraví se samy a u chyby uvidíš postup.