Kruh a kružnice: obvod a obsah

Co je π, jak spočítat obvod a obsah kruhu a jak se dostat zpátky k poloměru.

V testuPodúlohy za 1 nebo 2 body (úlohy 6–8). Vzorce $o = 2\pi r$ a $S = \pi r^2$ i hodnotu $\pi \doteq 3{,}14$ najdeš v tabulce v testovém sešitu.

Co potřebuješ znát

Kruh, nebo kružnice

Kružnice je čára, okraj kruhu. Kruh je plocha uvnitř kružnice. Délce kružnice se říká obvod kruhu, velikosti plochy obsah kruhu. Obojí určuje poloměr r (ze středu na okraj) nebo průměr d přes celý kruh: $d = 2r$ .

Číslo π

Změř obvod jakéhokoli kruhu a vyděl ho jeho průměrem. Vyjde vždy asi 3,14. Tomuhle číslu se říká π (pí). V testu se počítá s hodnotou $\pi \doteq 3{,}14$ , pokud zadání neřekne jinak. V tabulce je i zlomek $\pi \approx \frac{22}{7}$ .

Obvod kruhu

o = 2\pi r = \pi d

\begin{aligned} o &= 2\pi r \\ &= \pi d \end{aligned}

Kruh s poloměrem 5 cm má obvod $o = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 5 = 31{,}4$ cm.

Obsah kruhu

S = \pi r^2 = \pi \cdot r \cdot r

\begin{aligned} S &= \pi r^2 \\ &= \pi \cdot r \cdot r \end{aligned}

Na druhou umocňuješ jen poloměr. $r^2$ znamená $r \cdot r$ , ne $2r$ . Kruh s poloměrem 5 cm: $S = 3{,}14 \cdot 5^2 = 3{,}14 \cdot 25 = 78{,}5$ cm².

TipKdyž zadání dá průměr, nejdřív ho vyděl dvěma. Ve vzorcích je vždy poloměr.

Zaokrouhlování

Zadání řekne, na kolik míst zaokrouhlit, třeba na celé cm². Zaokrouhli až výsledek, mezivýsledky ne. Číslice 5 a víc za místem zaokrouhlení číslo zvětší: $78{,}5 \doteq 79$ , $153{,}86 \doteq 154$ .

Zpátky k poloměru

Z obvodu: vyděl obvod číslem $2\pi$ . Obvod 31,4 cm dá $r = 31{,}4 : 6{,}28 = 5$ cm.

Z obsahu: vyděl obsah číslem π, vyjde $r^2$ . Pak odmocni. Kruh s obsahem 12,56 m²: $12{,}56 : 3{,}14 = 4$ , takže $r = \sqrt{4} = 2$ m.

Jednotky

Než začneš počítat, převeď délky na jednotku, ve které máš odpovídat. 1 m = 10 dm = 100 cm. Obsah převádíš po stu: 1 m² = 100 dm².

Jak na to

Zjisti poloměr. Když máš průměr, vyděl ho dvěma.
Převeď jednotky na ty, ve kterých máš odpovídat.
Dosaď do vzorce s $\pi \doteq 3{,}14$ .
Zaokrouhli až výsledek, přesně jak chce zadání.

Řešené příklady

Příklad 1: Kruh na dlaždici

Na čtvercové dlaždici se stranou 14 cm je namalovaný kruh, který se dotýká všech čtyř stran. Oba výsledky zaokrouhli na celé cm².

a) Jaký obsah má kruh?

b) Kolik cm² dlaždice zůstane nenamalovaných?

Řešení

Poloměr. Kruh se dotýká všech stran, jeho průměr je stejný jako strana dlaždice, 14 cm. Poloměr je $14 : 2 = 7$ cm.
a) Obsah kruhu. $S = 3{,}14 \cdot 7^2 = 3{,}14 \cdot 49 = 153{,}86$ cm². Po zaokrouhlení na celé cm² je to 154 cm².
b) Obsah dlaždice. $14 \cdot 14 = 196$ cm².
b) Nenamalovaná část. Počítej s nezaokrouhleným obsahem kruhu: $196 - 153{,}86 = 42{,}14$ cm², po zaokrouhlení 42 cm².

OdpověďKruh má obsah po zaokrouhlení 154 cm² a nenamalovaných zůstane 42 cm².

Příklad 2: Poloměr z obsahu

Kruhový záhon má obsah 50,24 m².

a) Jaký má poloměr?

b) Kolik metrů obrubníku je potřeba na jeho okraj?

Řešení

a) Druhá mocnina poloměru. Obsah je $S = \pi r^2$ , takže $r^2 = 50{,}24 : 3{,}14 = 16$ .
a) Poloměr. Které číslo na druhou dá 16? $r = \sqrt{16} = 4$ m.
b) Obvod. Obrubník vede po kružnici: $o = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 4 = 25{,}12$ m.

OdpověďZáhon má poloměr 4 m a na obrubník je potřeba 25,12 m.

Časté chyby

Dosadíš průměr místo poloměru.
Ve vzorcích je r, tedy poloměr. Průměr nejdřív vyděl dvěma.
Spleteš si obvod a obsah: $2\pi r$ a $\pi r^2$ .
Obsah je plocha, ve vzorci má $r^2$ a jednotky cm². Obvod je čára, jednotky cm.
$r^2$ spočítáš jako $2r$ .
$7^2 = 7 \cdot 7 = 49$ , ne 14.
Zaokrouhlíš mezivýsledek, nebo nezaokrouhlíš vůbec.
Počítej s přesnými čísly a zaokrouhli až odpověď, jak chce zadání. Nezaokrouhlený výsledek se nemusí uznat.
Z obsahu zapomeneš odmocnit a poloměr vyjde 16 místo 4.
Po vydělení číslem π máš $r^2$ . Ještě odmocni.
Nepřevedeš jednotky, třeba decimetry na metry.
Převeď délky dřív, než je dosadíš do vzorce.

Zkus si

Kruh má průměr 10 cm. Jaký má obvod?

Ukaž řešení

Obvod z průměru. $o = \pi d = 3{,}14 \cdot 10 = 31{,}4$ cm.

Výsledek31,4 cm

Kruh má poloměr 3 dm. Jaký má obsah v cm²?

Ukaž řešení

Převod. Poloměr 3 dm je 30 cm.
Obsah. $S = 3{,}14 \cdot 30^2 = 3{,}14 \cdot 900 = 2\,826$ cm².

Výsledek2 826 cm²

Procvič si to

Pět úloh tohoto typu, pokaždé s jinými čísly. Opraví se samy a u chyby uvidíš postup.