Úhly u přímek

Vedlejší a vrcholové úhly, úhly u rovnoběžek a počítání se stupni a minutami. Na tom stojí každá úloha s úhly.

V testuVýběr z pěti možností za 2 body nebo tři podúlohy po 1 bodu. Úhly u přímek byly ve čtyřech z dvanácti testů 2024–2026 a jako krok se objevují skoro v každé úloze s úhly.

Co potřebuješ znát

Úhel a jeho velikost

Úhly se měří ve stupních. Celá otočka má 360°. Přímka rozdělí otočku na dvě poloviny, takže přímý úhel má 180°. Polovina přímého úhlu je pravý úhel, má 90°.

ostrý úhel je menší než 90°,
pravý úhel má přesně 90°,
tupý úhel je větší než 90° a menší než 180°,
přímý úhel má 180°.

Stupně a minuty

Jeden stupeň má 60 minut: $1^\circ = 60'$ . Minuty nejsou desetiny stupně. Úhel $35^\circ 30'$ je 35 a půl stupně, ne 35,3°.

Když odčítáš od 180°, půjč si jeden stupeň a rozměň ho na 60 minut:

180^\circ - 117^\circ 45' = 179^\circ 60' - 117^\circ 45' = 62^\circ 15'

\begin{aligned} 180^\circ - 117^\circ 45' &= 179^\circ 60' - 117^\circ 45' \\ &= 62^\circ 15' \end{aligned}

Při sčítání to jde obráceně: 60 minut a víc převedeš na stupeň. $20^\circ 45' + 10^\circ 25' = 30^\circ 70' = 31^\circ 10'$ .

Vedlejší a vrcholové úhly

Dvě přímky se protnou a vzniknou čtyři úhly. Dva úhly, které leží vedle sebe a mají společné rameno, jsou vedlejší. Dohromady tvoří přímý úhel:

\alpha + \beta = 180^\circ

Úhly, které leží naproti sobě a mají společný jen vrchol, jsou vrcholové. Jsou stejně velké. Proč: oba jsou vedlejší ke stejnému úhlu, takže ho oba doplňují do 180°.

Vrcholové úhly mají stejnou velikost. Vedlejší úhly dají dohromady 180°.

Přímky, které svírají pravý úhel, jsou na sebe kolmé. Píše se $p \perp q$ . V obrázku to poznáš podle značky pravého úhlu.

Úhly u rovnoběžek

Dvě rovnoběžky přetne třetí přímka. U každé rovnoběžky vzniknou čtyři úhly a u obou jsou úplně stejné. Úhel jako by se posunul po přímce p dolů.

Souhlasné úhly leží u obou rovnoběžek na stejném místě, třeba vpravo nad nimi. Jsou shodné.
Střídavé úhly leží mezi rovnoběžkami, každý na jiné straně přímky p. Jsou také shodné.

α a 65° jsou souhlasné úhly. β je vrcholový k 65°, β a α jsou střídavé. Všechny tři mají 65°.

TipU dvou rovnoběžek a šikmé přímky, která je protíná, jsou jen dvě velikosti úhlů: ostrý a tupý. Dohromady dají 180°. (Když je přímka k rovnoběžkám kolmá, jsou všechny úhly pravé.) V našem obrázku mají všechny ostré úhly 65° a všechny tupé 115°.

Jak na to

Najdi v obrázku úhel, který znáš, a úhel, který hledáš.
Hledej mezi nimi cestu: vedlejší úhel, vrcholový úhel, úhel u rovnoběžky, součet úhlů v trojúhelníku.
Každý spočítaný úhel si hned dopiš do obrázku.
Zkontroluj, jestli výsledek sedí s obrázkem: ostrý úhel nemůže mít 130°.

Řešené příklady

Příklad 1: Úhly u rovnoběžek

Přímky a a b jsou rovnoběžné, přímka p je protíná. Přímka p svírá s přímkou a úhel 72° (viz obrázek). Vypočti velikosti úhlů α a β.

Obrázek je jen ilustrativní.

Řešení

Souhlasný úhel. Úhel 72° leží u přímky a vpravo nad ní. U přímky b leží na stejném místě souhlasný úhel, má také 72°. Dopiš si ho do obrázku.
Úhel α. Úhel α leží vedle něj na přímce b, je to vedlejší úhel: $\alpha = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$ .
Úhel β. Úhel β leží u přímky b naproti úhlu 72°, je to vrcholový úhel. Proto $\beta = 72^\circ$ .
Kontrola. V obrázku je α tupý a β ostrý. Vyšlo $108^\circ$ a $72^\circ$ , to sedí.

OdpověďÚhel α má velikost 108° a úhel β 72°.

Příklad 2: Tři přímky a minuty

Přímky p, q a r se protínají v bodě O, přímky p a q jsou na sebe kolmé. Přímka r svírá s přímkou p úhel 38° 40′ (viz obrázek). Vypočti velikosti úhlů α a β.

Obrázek je jen ilustrativní.

Řešení

Pravý úhel. Přímky p a q jsou kolmé, mezi pravou částí p a horní částí q je $90^\circ$ . Úhel $38^\circ 40'$ a úhel α ho spolu vyplní.
Úhel α. Půjč si stupeň a rozměň ho na minuty: $\alpha = 90^\circ - 38^\circ 40' = 89^\circ 60' - 38^\circ 40' = 51^\circ 20'$ .
Vrcholový úhel. Naproti úhlu $38^\circ 40'$ leží vrcholový úhel mezi levou částí přímky p a dolní částí přímky r. Má také $38^\circ 40'$ .
Úhel β. Úhel β se skládá z pravého úhlu mezi q a p a z tohoto vrcholového úhlu: $\beta = 90^\circ + 38^\circ 40' = 128^\circ 40'$ .
Kontrola. Úhly α a β leží vedle sebe na přímce r, jsou vedlejší: $51^\circ 20' + 128^\circ 40' = 179^\circ 60' = 180^\circ$ . Sedí to.

OdpověďÚhel α má velikost 51° 20′ a úhel β 128° 40′.

Časté chyby

Spleteš si vedlejší a vrcholový úhel. Místo 72° napíšeš 108°, nebo naopak.
Vrcholové úhly jsou naproti sobě, vedlejší leží vedle sebe na jedné přímce. Podívej se, jestli je hledaný úhel v obrázku ostrý, nebo tupý.
Úhel změříš v obrázku úhloměrem.
Obrázek je jen ilustrativní. Naměřené číslo může být v nabídce jako chybná možnost. Počítej jen s čísly ze zadání.
Minuty bereš jako desetiny: $180^\circ - 117^\circ 45'$ počítáš jako $180 - 117{,}45 = 62{,}55$ .
Stupeň má 60 minut. Půjč si jeden stupeň: $179^\circ 60' - 117^\circ 45' = 62^\circ 15'$ .
Odpovíš mezivýsledkem: spočítáš úhel u jiného vrcholu a poslední krok vynecháš.
Než odpověď zapíšeš, najdi hledaný úhel v obrázku ještě jednou.

Zkus si

Dvě přímky se protínají. Jeden z úhlů mezi nimi má 47°. Jak velké jsou zbylé tři úhly?

Ukaž řešení

Vrcholový úhel. Naproti úhlu 47° leží vrcholový úhel, má také $47^\circ$ .
Vedlejší úhly. Zbylé dva úhly jsou vedlejší k úhlu 47°: $180^\circ - 47^\circ = 133^\circ$ .

Výsledek47°, 133° a 133°

Kolik je $180^\circ - 64^\circ 25'$ ?

Ukaž řešení

Půjč si stupeň. $180^\circ - 64^\circ 25' = 179^\circ 60' - 64^\circ 25' = 115^\circ 35'$ .

Výsledek115° 35′

Procvič si to

Pět úloh tohoto typu, pokaždé s jinými čísly. Opraví se samy a u chyby uvidíš postup.