Úhly v trojúhelníku

Součet úhlů v trojúhelníku, vnější úhel, rovnoramenný trojúhelník a úhly v poměru.

V testuVýběr z pěti možností za 2 body nebo dvě podúlohy po 2 bodech. Součet 180° potřebuješ skoro v každé úloze s úhly.

Co potřebuješ znát

Součet úhlů je 180°

V každém trojúhelníku dají vnitřní úhly dohromady 180°:

\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ

Proč to platí: veď vrcholem C rovnoběžku se stranou AB. Úhly α a β se u ní objeví znovu jako střídavé úhly. Spolu s γ vyplní přímý úhel, a ten má 180°.

Když znáš dva úhly, třetí dopočítáš: $\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta$ . Třeba $180^\circ - 50^\circ - 60^\circ = 70^\circ$ .

Vnější úhel

Prodluž stranu trojúhelníku za vrchol. Úhel mezi prodloužením a druhou stranou je vnější úhel. Je vedlejší k vnitřnímu úhlu u stejného vrcholu:

\beta' = 180^\circ - \beta

Platí ještě jedna zkratka: vnější úhel se rovná součtu vnitřních úhlů u zbylých dvou vrcholů. V obrázku $40^\circ + 75^\circ = 115^\circ$ .

\beta' = \alpha + \gamma

Rovnoramenný a rovnostranný trojúhelník

Rovnoramenný trojúhelník má dvě stejně dlouhé strany, ramena. Třetí strana je základna. Úhly u základny jsou stejně velké.

Ze dvou úhlů u základny spočítáš úhel proti ní: $180^\circ - 2 \cdot 70^\circ = 40^\circ$ . A naopak, z úhlu proti základně spočítáš úhly u základny: $(180^\circ - 40^\circ) : 2 = 70^\circ$ .

Rovnostranný trojúhelník má všechny strany stejné, a proto i všechny úhly: $180^\circ : 3 = 60^\circ$ .

Pravoúhlý trojúhelník

Jeden úhel má 90°. Zbylé dva ostré úhly mají dohromady $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$ :

\alpha + \beta = 90^\circ

Úhly v poměru

Zadání někdy řekne, že úhly jsou v poměru 2 : 3 : 4. Znamená to, že trojúhelník má dohromady $2 + 3 + 4 = 9$ stejných dílů a těch 9 dílů má 180°. Jeden díl je $180^\circ : 9 = 20^\circ$ .

Úhly jsou $2 \cdot 20^\circ = 40^\circ$ , $3 \cdot 20^\circ = 60^\circ$ a $4 \cdot 20^\circ = 80^\circ$ .

TipPočtem dílů vždy dělíš součet právě těch úhlů, které jsou v poměru. Když jsou v poměru jen dva úhly, nemají dohromady 180°. Jejich součet zjistíš třeba z vnějšího úhlu.

Jak na to

Dopiš do obrázku všechny úhly ze zadání.
Najdi trojúhelník, ve kterém znáš dva úhly. U rovnoramenného trojúhelníku stačí jeden.
Dopočítej třetí úhel ze součtu 180°.
Přenes výsledek do sousedního úhlu (vedlejší, vrcholový, u rovnoběžky) a pokračuj, dokud nedojdeš k hledanému úhlu.

Řešené příklady

Příklad 1: Vnější úhel a úhly v poměru

V trojúhelníku ABC má vnější úhel u vrcholu B velikost 140°. Vnitřní úhly α a γ jsou v poměru 3 : 4. Vypočti velikosti úhlů α a γ.

Obrázek je jen ilustrativní.

Řešení

Součet α a γ. Vnější úhel u vrcholu B se rovná součtu vnitřních úhlů u zbylých dvou vrcholů: $\alpha + \gamma = 140^\circ$ . Úhly α a γ tedy dohromady nemají 180°, ale 140°.
Jeden díl. Úhly α a γ mají dohromady $3 + 4 = 7$ dílů. Jeden díl je $140^\circ : 7 = 20^\circ$ .
Úhly α a γ. $\alpha = 3 \cdot 20^\circ = 60^\circ$ a $\gamma = 4 \cdot 20^\circ = 80^\circ$ .
Kontrola. Vnitřní úhel u vrcholu B je vedlejší k vnějšímu: $180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$ . Součet úhlů: $60^\circ + 40^\circ + 80^\circ = 180^\circ$ . Sedí to.

OdpověďÚhel α má velikost 60° a úhel γ 80°.

Příklad 2: Rovnoramenný trojúhelník a rovnoběžka

Trojúhelník ABC je rovnoramenný se základnou AB. Úhel u vrcholu C má 38°. Vrcholem C prochází přímka p rovnoběžná se základnou AB. Jak velký je úhel φ mezi přímkou p a ramenem BC (viz obrázek)?

Obrázek je jen ilustrativní.

Řešení

Úhly u základny. Trojúhelník je rovnoramenný, úhly u základny jsou shodné. Spolu s úhlem u vrcholu C dají 180°: $(180^\circ - 38^\circ) : 2 = 71^\circ$ .
Rovnoběžky. Přímka p je rovnoběžná se základnou AB a rameno BC protíná obě. Úhel φ a úhel u vrcholu B jsou střídavé úhly, proto $\varphi = 71^\circ$ .
Kontrola. U vrcholu C leží na přímce p tři úhly: vlevo 71° (střídavý k úhlu u A), uprostřed 38° a vpravo φ. $71^\circ + 38^\circ + 71^\circ = 180^\circ$ , sedí to.

OdpověďÚhel φ má velikost 71°.

Časté chyby

U úhlů v poměru dělíš 180°, i když dva úhly v poměru mají dohromady méně, třeba 140°.
Napiš si, kolik stupňů mají dohromady právě ty úhly, které jsou v poměru. Ten součet vyděl počtem dílů.
Vnější úhel použiješ jako vnitřní.
Vnější úhel leží mimo trojúhelník, u prodloužené strany. Vnitřní úhel u stejného vrcholu dostaneš jako 180° minus vnější úhel.
V rovnoramenném trojúhelníku dáš shodné úhly k vrcholu proti základně, ne k základně.
Shodné jsou úhly u základny. Základna je strana, která je jiná než ramena. Ramena poznáš v obrázku podle čárek.
Úhly v poměru přiřadíš obráceně: větší díl dáš menšímu úhlu.
Poměr 3 : 4 platí ve stejném pořadí, jak zadání úhly jmenuje. První úhel má 3 díly, druhý 4 díly.

Zkus si

V trojúhelníku má jeden úhel 48° a druhý 67°. Kolik má třetí úhel?

Ukaž řešení

Součet úhlů. $180^\circ - 48^\circ - 67^\circ = 65^\circ$ .

Výsledek65°

Úhly trojúhelníku jsou v poměru 1 : 2 : 3. Jak velký je největší z nich?

Ukaž řešení

Jeden díl. Trojúhelník má $1 + 2 + 3 = 6$ dílů, jeden díl je $180^\circ : 6 = 30^\circ$ .
Největší úhel. $3 \cdot 30^\circ = 90^\circ$ . Trojúhelník je pravoúhlý.

Výsledek90°

Procvič si to

Pět úloh tohoto typu, pokaždé s jinými čísly. Opraví se samy a u chyby uvidíš postup.