Kolik má úloha řešení

Jak poznat, kolik řešení úloha má: který průsečík vyřadit, kdy hledat druhé řešení a jak obě řešení zakreslit a označit, aby za ně klíč dal plný počet bodů.

V testuDvě řešení mělo 9 z 24 rýsovacích úloh z let 2024 až 2026. Za druhé řešení je obvykle 1 bod ze 3. Na hledání všech možností je hlavně úloha 2024 D 10 za 3 body.

Co potřebuješ znát

Každý průsečík je kandidát

Hledaný vrchol je průsečík dvou čar. Přímka a kružnice nebo dvě kružnice se ale často protnou ve dvou bodech. Každý průsečík je kandidát na řešení. Pak rozhodneš: splňuje všechny podmínky zadání? Ano, je to řešení. Ne, vyřadíš ho.

TipNež začneš rýsovat výsledný útvar, vyznač všechny průsečíky. Teprve potom vybírej. Kdo rýsuje hned první průsečík, na druhý obvykle zapomene.

Kdy kandidáta vyřadit

V testech 2024 až 2026 vyřadila kandidáta vždy některá podmínka zadání, nebo to, že by se útvar zvrhl:

Polopřímka místo přímky. „Na polopřímce DM leží jedna z úhlopříček“: průsečík za počátkem polopřímky nevyhovuje (2025 B 10, 2026 B 9).
„Uvnitř strany“, „uvnitř trojúhelníku“. Bod ze zadání musí ležet uvnitř, jinak to řešení není (2025 A 9, 2025 B 9).
„Větší vzdálenost od přímky“. Ze dvou kandidátů vyhovuje jen ten dál od přímky (2026 D 9).
„Pouze jeden společný bod“. Řešení, ve kterém se útvary překrývají, vyřadíš (2025 D 9).
Útvar se zvrhne. Průsečík splyne s daným bodem a z trojúhelníku by byla úsečka (2024 A 10, 2026 B 10).

Bod P leží na polopřímce p a může být řešení. Bod Q leží za počátkem A, řešení nedá.

Kružnice prochází bodem A. Průsečík A trojúhelník nedá, řešení je jen bod C.

Kdy je řešení víc

Dva průsečíky. Kružnice protne přímku nebo jinou kružnici ve dvou bodech a oba vyhovují. Tak vzniklo druhé řešení v šesti z devíti úloh se dvěma řešeními.
Pravý úhel není určený. Zadání řekne „pravoúhlý trojúhelník“, ale ne, u kterého vrcholu je pravý úhel. Vyzkoušej každý vrchol. Když z vrcholu vedou dvě strany, jejichž směr zadání určuje, a ty směry kolmé nejsou, pravý úhel tam být nemůže (2024 D 10).
Není řečeno, které strany jsou rovnoběžné. Lichoběžník ABCD může mít rovnoběžné strany AB a CD, nebo AD a BC (2026 D 9).
Není řečeno, která strana je základna. Rovnoramenný trojúhelník ABC může mít $|AC| = |BC|$ , $|AC| = |AB|$ , nebo $|BC| = |AB|$ . V úloze 2025 B 9 možnost se základnou $AB$ nevyšla a zbylé dvě daly dvě řešení.

U každé možnosti si nakresli náčrt a sestroj ji. Některá dá dvě řešení, jiná žádné.

Když se čáry neprotnou

Když kružnice přímku neprotne, daná možnost řešení nedá. V úlohách 2024 až 2026 ale měla každá úloha aspoň jedno řešení. Když ti nevyjde žádné, nejspíš máš chybu v kružnici: jiný střed nebo jiný poloměr.

TipPříklad z testu 2024 D 9: kdo sestrojí Thaletovu kružnici nad úsečkou AS místo nad úhlopříčkou AC, dostane kružnici, která přímku p vůbec neprotne. Úloha přitom má dvě řešení.

Jak dvě řešení zakreslit a označit

Obě řešení rýsuj do jednoho obrázku. Vrchol, který mají obě řešení společný (daný i sestrojený), má jedno písmeno bez indexu.
Vrcholy, které se v řešeních liší, označ indexem podle řešení: $C_1$ , $C_2$ . Tak to dělá i klíč.
Každé řešení dokonči: narýsuj všechny strany útvaru, ne jen vrchol.
Obtáhni propiskou obě řešení i všechny pomocné čáry.
Vyřazený kandidát smí zůstat jako průsečík pomocných čar. Neoznačuj ho jako vrchol a útvar k němu nerýsuj.

Dva útvary, které se liší jen pojmenováním vrcholů (prohodíš $A$ a $B$ ), jsou jedno řešení. V testech 2024 až 2026 se dvě řešení vždy lišila tvarem nebo velikostí.

Jak řešení boduje klíč

Úlohy 2024 se dvěma řešeními: za jedno řešení nejvýš 2 body, za druhé řešení třetí bod.
Úlohy 2025 a 2026 se dvěma řešeními: obě přesně 3 body, jen jedno přesně 2 body.
Řešení navíc, které podmínky nesplňuje, stojí bod, i když máš obě správná (2025 B 9, 2026 A 9, 2026 C 9, 2026 D 9).

TipPokyn „Najděte všechna řešení“ stál v testech 2024 až 2026 právě u úloh se dvěma řešeními (v roce 2024 i „Nalezněte všechna řešení“). Když ho vidíš a máš jen jedno, hledej dál.

Jak na to

Z náčrtu vypiš všechny možnosti, které zadání nechává otevřené (u kterého vrcholu je pravý úhel, která strana je základna, které strany jsou rovnoběžné).
Pro každou možnost sestroj čáry a vyznač všechny průsečíky.
Každý průsečík porovnej se zadáním: polopřímka, „uvnitř“, vzdálenost od přímky, společné body. Nezvrhne se útvar?
Vyhovující řešení dokonči a označ indexy $1$ a $2$ .
Nevyhovující kandidáty nech jen jako průsečík pomocných čar, útvar k nim nerýsuj.

Řešené příklady

Příklad 1: Dvě strany a úhel: oba průsečíky na polopřímce

Narýsuj úsečku $AB$ , $|AB| = 52$ mm, a polopřímku $p$ s počátkem $A$ , která svírá s úsečkou $AB$ úhel 40°. Vrchol $C$ trojúhelníku $ABC$ leží na polopřímce $p$ a strana $BC$ měří 40 mm. Sestroj trojúhelník $ABC$ . Najdi všechna řešení.

Řešení

Kde leží vrchol C. Na polopřímce $p$ a na kružnici $k$ se středem $B$ a poloměrem 40 mm.
Kandidáti. Bod $B$ je od přímky, na které leží polopřímka $p$ , vzdálený méně než 40 mm. Kružnice tuto přímku protne ve dvou bodech $C_1$ a $C_2$ .
Vyhovují oba? Průsečíky leží souměrně kolem paty kolmice z bodu $B$ na přímku. Úhel 40° je ostrý, pata kolmice proto leží na polopřímce $p$ . Bod $A$ je od bodu $B$ vzdálený 52 mm, víc než poloměr. Leží vně kružnice, a tak není mezi průsečíky. Oba průsečíky jsou na polopřímce $p$ , úloha má dvě řešení.
Kontrola. $|AC_1| \doteq 18$ mm a $|AC_2| \doteq 62$ mm. V obou trojúhelnících je $|BC| = 40$ mm.

OdpověďÚloha má dvě řešení: trojúhelník $ABC_1$ s $|AC_1| \doteq 18$ mm a trojúhelník $ABC_2$ s $|AC_2| \doteq 62$ mm.

Konstrukce krok po kroku

Krok 1 ze 4

k;\ k(B; 40\ \text{mm})

Příklad 2: Pravoúhlý trojúhelník: kde je pravý úhel

Narýsuj úsečku $AB$ , $|AB| = 44$ mm. Prodluž ji za bod $B$ a vyznač bod $X$ , $|BX| = 26$ mm. Bodem $X$ veď přímku $p$ , která svírá s úsečkou $XB$ úhel 36°. Úsečky $AB$ a $BX$ narýsuj tence, k zadání nepatří. Body $A$ , $B$ jsou vrcholy pravoúhlého trojúhelníku $ABC$ , vrchol $C$ leží na přímce $p$ . Sestroj trojúhelník $ABC$ . Najdi všechna řešení.

Řešení

Rozbor. Zadání neříká, u kterého vrcholu je pravý úhel. Vyzkoušej všechny tři.
Pravý úhel u A. Vrchol $C$ leží na kolmici k $AB$ v bodě $A$ a na přímce $p$ . Průsečík $C_1$ existuje, $|AC_1| \doteq 51$ mm.
Pravý úhel u B. Vrchol $C$ leží na kolmici k $AB$ v bodě $B$ a na přímce $p$ . Průsečík $C_2$ existuje, $|BC_2| \doteq 19$ mm.
Pravý úhel u C. Vrchol $C$ leží na Thaletově kružnici nad úsečkou $AB$ . Její střed je od přímky $p$ dál, než je poloměr 22 mm. Kružnice přímku mine, tahle možnost řešení nedá.
Počet řešení. Dvě: s pravým úhlem u vrcholu $A$ a s pravým úhlem u vrcholu $B$ .

OdpověďÚloha má dvě řešení: trojúhelník $ABC_1$ s pravým úhlem u vrcholu $A$ a $|AC_1| \doteq 51$ mm a trojúhelník $ABC_2$ s pravým úhlem u vrcholu $B$ a $|BC_2| \doteq 19$ mm.

Konstrukce krok po kroku

Krok 1 z 5

C_1;\ C_1 \in p,\ AC_1 \perp AB

Časté chyby

Najdeš jen jedno řešení. Je to nejčastější ztráta bodu v úlohách se dvěma řešeními.
U každé kružnice se zeptej, jestli čáru neprotne ještě jednou. Narýsuj oblouky na obou stranách. U pokynu „Najděte všechna řešení“ počítej se dvěma.
V pravoúhlém trojúhelníku dáš pravý úhel jen k jednomu vrcholu a ostatní možnosti nezkusíš.
Když zadání neříká, kde je pravý úhel, vyzkoušej všechny vrcholy. Pravý úhel u daného vrcholu dá kolmice v tomto vrcholu. Pravý úhel u hledaného vrcholu dá Thaletova kružnice nad protější stranou. Když hledaný vrchol leží na přímce, ke které má být jeho strana kolmá, je to pata kolmice.
Strana má být rovnoběžná s danou přímkou $p$ a ty ji narýsuješ přímo na přímku $p$ .
Rovnoběžná neznamená ležící na $p$ . Najdi vrchol, který na straně leží, a veď jím rovnoběžku s přímkou $p$ . Na ní je celá strana.
Necháš v obrázku i útvar, který podmínky nesplňuje (vrchol na jiné přímce, trojúhelník se základnou místo ramene).
Každé řešení před dokončením porovnej se zadáním. Nevyhovující útvar nerýsuj, klíč za něj bod strhne.
Vezmeš průsečík, který leží za počátkem polopřímky.
Všimni si slova „polopřímka“. Polopřímka DM začíná v bodě D a jde přes bod M, za bod D nepokračuje.
Za vrchol vezmeš průsečík, který splývá s daným bodem. Z trojúhelníku je pak úsečka.
Když kružnice prochází daným bodem, je řešením jen druhý průsečík.
Druhé řešení narýsuješ jen jako bod, bez stran, nebo vrcholy obou řešení označíš stejně.
Každé řešení dokonči celé a vrcholy označ indexem: $C_1$ , $C_2$ . V klíčích 2026 stojí bod chybné nebo chybějící označení vrcholů spolu s nedokončeným útvarem.

Zkus si

Narýsuj úsečku $AB$ , $|AB| = 52$ mm, a polopřímku $p$ s počátkem $A$ , která svírá s úsečkou $AB$ úhel 40°. Vrchol $C$ trojúhelníku $ABC$ leží na polopřímce $p$ a strana $BC$ měří 60 mm. Kolik má úloha řešení? Jak dlouhá je strana $AC$ ?

Ukaž řešení

Kandidáti. Kružnice se středem $B$ a poloměrem 60 mm protne přímku, na které leží polopřímka $p$ , ve dvou bodech.
Vyřazení. Bod $A$ je od bodu $B$ vzdálený 52 mm, méně než poloměr. Leží uvnitř kružnice, průsečíky jsou proto na opačných stranách od $A$ . Jeden leží na polopřímce $p$ , druhý za počátkem $A$ .
Řešení. Úloha má jedno řešení, $|AC| \doteq 90$ mm.

VýsledekJedno řešení, $|AC| \doteq 90$ mm.

Konstrukce krok po kroku

Krok 1 ze 2

k;\ k(B; 60\ \text{mm})

Narýsuj úsečku $AB$ , $|AB| = 48$ mm, a přímku $p$ , která prochází bodem $B$ a svírá s úsečkou $AB$ úhel 57°. Body $A$ , $B$ jsou vrcholy pravoúhlého trojúhelníku $ABC$ , vrchol $C$ leží na přímce $p$ . Kolik má úloha řešení?

Ukaž řešení

Pravý úhel u A. Kolmice k $AB$ v bodě $A$ protne přímku $p$ ve vrcholu $C_1$ , $|AC_1| \doteq 74$ mm.
Pravý úhel u B. Kolmice v bodě $B$ protne přímku $p$ jen v bodě $B$ . Trojúhelník by se zvrhl, řešení to není.
Pravý úhel u C. Thaletova kružnice nad $AB$ protne přímku $p$ v bodě $B$ (nevyhovuje) a ve vrcholu $C_2$ , $|AC_2| \doteq 40$ mm.
Počet řešení. Dvě řešení: s pravým úhlem u vrcholu $A$ a u vrcholu $C$ .

VýsledekDvě řešení.

Konstrukce krok po kroku

Krok 1 z 5

C_1;\ C_1 \in p,\ AC_1 \perp AB

Procvič si to

Dvě rýsovací úlohy tohoto typu, pokaždé jinak zadané. Narýsuješ je na papír, pak uvidíš správnou konstrukci krok po kroku a ohodnotíš se podle klíče.