Lichoběžník a pravidelný šestiúhelník

Lichoběžník má jednu dvojici rovnoběžných stran, vrchol druhé základny proto hledáš na rovnoběžce. Rovnoramenný lichoběžník je osově souměrný a pravidelný šestiúhelník se skládá ze šesti rovnostranných trojúhelníků.

V testuLichoběžník je ve 3 z 24 rýsovacích úloh z let 2024 až 2026, vždy za 3 body. Rovnoramenný lichoběžník z osy souměrnosti a pravoúhlé lichoběžníky se dvěma řešeními jsou v této kapitole, lichoběžník vepsaný do kružnice v kapitole o Thaletově kružnici. Pravidelný šestiúhelník byl v testu jednou, za 2 body.

Přijímačky 2027: V přijímačkách 2027 nebude Thaletova kružnice u pravoúhlého trojúhelníku a nejspíš ani konstrukce pravidelného šestiúhelníku. Rovnoramenný lichoběžník zůstává.

Co potřebuješ znát

Základny a ramena

Lichoběžník je čtyřúhelník, který má právě jednu dvojici rovnoběžných stran. Rovnoběžné strany jsou základny, zbylé dvě strany jsou ramena. Vzdálenost základen je výška.

Základny AB a CD jsou rovnoběžné, ramena BC a AD ne.

Vrchol druhé základny leží na rovnoběžce se základnou. Když znáš $A$ , $B$ a $D$ , leží vrchol $C$ na rovnoběžce s $AB$ bodem $D$ .
Vrcholy lichoběžníku $ABCD$ jdou dokola. Rovnoběžné jsou vždy dvě protější strany: buď $AB$ a $CD$ , nebo $BC$ a $AD$ .
Když zadání neřekne, které strany jsou základny, zkus obě možnosti. Každá může dát jedno řešení.

Pravoúhlý lichoběžník

Jedno rameno je kolmé k oběma základnám a je zároveň výškou. Narýsuješ ho kolmicí k základně. Úhly u tohoto ramena jsou pravé.

Rameno AD je kolmé k základnám AB a CD.

Pravý úhel může vzniknout i sám od sebe. Když vedeš rovnoběžku se stranou $CD$ a strana $BC$ je k $CD$ kolmá, je rovnoběžka kolmá i k $BC$ . Lichoběžník je pak pravoúhlý.

Vrchol pravého úhlu nad přeponou

Lichoběžník se někdy staví z trojúhelníku, který musíš sestrojit nejdřív. Pravoúhlý rovnoramenný trojúhelník $KLM$ s pravým úhlem u vrcholu $M$ má přeponu $KL$ . Vrchol $M$ splní dvě podmínky zároveň:

Ramena jsou stejně dlouhá, $|KM| = |LM|$ . Vrchol $M$ je stejně daleko od $K$ i od $L$ , leží proto na ose přepony $KL$ .
**Úhel u vrcholu $M$ je pravý.** Vrchol $M$ leží na Thaletově kružnici nad přeponou $KL$ .

Krok 1 ze 4

o;\ o \text{ je osa úsečky } KL;\ S;\ S \in KL,\ |KS| = |SL|

Vrchol pravého úhlu je průsečík osy přepony s Thaletovou kružnicí.

Osa přepony protne Thaletovu kružnici ve dvou bodech, nad přeponou i pod ní. Oba dají pravoúhlý rovnoramenný trojúhelník s úhly 45° u přepony. Který bod vyhovuje, určí další podmínka zadání, třeba „vrchol je dál od přímky $p$ “. Lichoběžník potom doplníš rovnoběžkou se stranou trojúhelníku. Rovnoběžka se stranou, která je k sousední straně kolmá, je k ní kolmá také, a vznikne pravoúhlý lichoběžník.

Rovnoramenný lichoběžník a osová souměrnost

Rovnoramenný lichoběžník má stejně dlouhá ramena. Je souměrný podle osy souměrnosti, která je kolmá k oběma základnám a prochází jejich středy. Je to osa úsečky $AB$ i osa úsečky $CD$ . Úhly u každé základny jsou stejně velké a úhlopříčky stejně dlouhé.

Vrchol se v osové souměrnosti zobrazí na druhý vrchol téže základny: $A$ na $B$ , $D$ na $C$ . Obraz bodu najdeš kolmicí z bodu k ose. Obraz leží na kolmici za osou, stejně daleko od ní:

Krok 1 ze 4

o;\ o \text{ je osa úsečky } AB

Ramena AD a BC jsou souměrná podle osy, proto jsou stejně dlouhá.

TipNa osu souměrnosti se podívej, než začneš rýsovat. Spojuje středy základen. Kdyby se vrchol $A$ zobrazil na $D$ , byla by $AD$ základna a osa by procházela jejím středem.

Pravidelný šestiúhelník

Pravidelný šestiúhelník má šest stejně dlouhých stran a všechny vnitřní úhly 120°. Spoj střed $S$ se všemi vrcholy: vznikne šest stejných trojúhelníků. U středu má každý z nich úhel $360^\circ : 6 = 60^\circ$ . Dvě jeho strany jsou poloměry kružnice opsané, je tedy rovnoramenný a s úhlem 60° mezi rameny je rovnostranný. Proto je strana šestiúhelníku stejně dlouhá jako poloměr kružnice opsané, $|SA| = |AB|$ . Úhlopříčka $AD$ prochází středem a je dvakrát delší než strana.

Krok 1 z 5

k;\ k(S; |SA|)

Kružítko rozevřené na poloměr kružnice opsané nanese po kružnici přesně šest stran.

TipNanášej od vrcholu $A$ na obě strany: nejdřív $B$ a $F$ , potom $C$ a $E$ . Chyba se tak nesčítá šestkrát za sebou a vrchol $D$ můžeš zkontrolovat: leží naproti $A$ na polopřímce $AS$ .

Když znáš stranu $AB$ , a ne střed: střed $S$ je třetí vrchol rovnostranného trojúhelníku $ABS$ . Leží proto na kružnici se středem $A$ a poloměrem $|AB|$ a zároveň na ose strany $AB$ .

Tahák

Lichoběžník: základny jsou rovnoběžné, vrchol druhé základny leží na rovnoběžce se základnou.
Rovnoběžné jsou $AB$ a $CD$ , nebo $BC$ a $AD$ . Když zadání neříká které, zkus obě.
Pravoúhlý lichoběžník: rameno kolmé k základnám, narýsuješ ho kolmicí.
Vrchol pravého úhlu pravoúhlého rovnoramenného trojúhelníku: průsečík osy přepony s Thaletovou kružnicí nad přeponou. Průsečíky jsou dva, podmínka zadání vybere jeden.
Rovnoramenný lichoběžník: osa souměrnosti je osa obou základen, $O(o)\colon A \rightarrow B$ , $O(o)\colon D \rightarrow C$ .
Pravidelný šestiúhelník: šest rovnostranných trojúhelníků, $|SA| = |AB|$ , úhlopříčka $AD$ je dvakrát delší než strana. Stranu naneseš kružítkem po kružnici opsané.

Jak na to

Nakresli si od ruky hotový útvar. U lichoběžníku vyznač základny a ramena, u rovnoramenného i osu souměrnosti.
Vrchol druhé základny hledej na rovnoběžce se základnou. Druhou čáru dá kružnice s poloměrem ramene, kolmice, nebo obraz v osové souměrnosti.
U šestiúhelníku najdi nejdřív střed $S$ a kružnici opsanou, potom vrcholy nanášením strany.
Projdi všechny možnosti rovnoběžných stran. Vyřaď průsečíky, se kterými vznikne rovnoběžník nebo překřížený čtyřúhelník.
Kontrola: základny jsou rovnoběžné, u rovnoramenného jsou ramena stejně dlouhá, u šestiúhelníku leží $D$ naproti $A$ . Obtáhni vše propiskou.

Řešené příklady

Příklad 1: Rovnoramenný lichoběžník ze základny, výšky a ramene

Narýsuj úsečku $AB$ , $|AB| = 70$ mm. Sestroj rovnoramenný lichoběžník $ABCD$ se základnami $AB$ a $CD$ , s výškou 24 mm a rameny $BC$ a $AD$ dlouhými 30 mm. Základna $CD$ leží nad přímkou $AB$ a je kratší než $AB$ . Jak dlouhá je základna $CD$ ?

Řešení

Náčrt a rozbor. Základna $CD$ je rovnoběžná s $AB$ a je od ní vzdálená 24 mm. Vrcholy $C$ a $D$ proto leží na rovnoběžce s $AB$ ve vzdálenosti 24 mm. Narýsuješ ji takhle: v bodě $A$ kolmice k $AB$ , na ní bod $X$ 24 mm od bodu $A$ a bodem $X$ rovnoběžka s $AB$ .
Vrchol D. Leží na rovnoběžce a 30 mm od vrcholu $A$ . Oblouk protne rovnoběžku dvakrát. Vezmi průsečík nad úsečkou $AB$ . S druhým průsečíkem by vyšla základna $CD$ delší než $AB$ , a ta má být kratší.
Vrchol C. Leží na rovnoběžce a 30 mm od vrcholu $B$ . Oblouk ji protne ve dvou bodech. Vezmi ten bližší k $D$ : se vzdálenějším by vyšel rovnoběžník, ramena by byla rovnoběžná. Vrchol $C$ je obraz vrcholu $D$ v osové souměrnosti, jejíž osou je osa úsečky $AB$ .
Základna CD. Změř ji: $|CD| = 34$ mm. Výpočtem: každé rameno se nad základnou $AB$ posune o $\sqrt{30^2 - 24^2} = 18$ mm, proto $|CD| = 70 - 2 \cdot 18 = 34$ mm.

OdpověďZákladna $CD$ měří 34 mm.

Konstrukce krok po kroku

Krok 1 z 5

X;\ X \in m,\ m \perp AB,\ A \in m,\ |AX| = 24\ \text{mm}

Příklad 2: Pravidelný šestiúhelník ze strany

Narýsuj úsečku $AB$ , $|AB| = 32$ mm. Sestroj pravidelný šestiúhelník $ABCDEF$ , který leží nad přímkou $AB$ . Jak dlouhé jsou úhlopříčky $AC$ a $AD$ ?

Řešení

Náčrt a rozbor. Pravidelný šestiúhelník se skládá ze šesti rovnostranných trojúhelníků se společným vrcholem ve středu $S$ . Trojúhelník $ABS$ je jeden z nich.
Střed S. Je od $A$ i od $B$ vzdálený $|AB| = 32$ mm. Je to průsečík oblouků se středy $A$ a $B$ a poloměrem 32 mm, ten nad přímkou $AB$ .
Vrcholy. Leží na kružnici se středem $S$ a poloměrem 32 mm. Sousední vrcholy jsou od sebe vzdálené 32 mm, naneseš je kružítkem od vrcholů $B$ a $A$ .
Úhlopříčky. Úhlopříčka $AD$ prochází středem a je dvakrát delší než strana: $|AD| = 64$ mm. Krátkou úhlopříčku změř: $|AC| \doteq 55$ mm.

OdpověďÚhlopříčka $AC$ měří asi 55 mm a úhlopříčka $AD$ 64 mm.

Konstrukce krok po kroku

Krok 1 z 5

S;\ S \in k(A; |AB|) \cap l(B; |AB|)

Časté chyby

V rovnoramenném lichoběžníku vezmeš za obraz vrcholu $A$ v osové souměrnosti vrchol druhé základny $D$ .
Osa souměrnosti prochází středy základen. Vrchol $A$ se zobrazí na druhý vrchol své základny, tedy na $B$ .
Když je bod $S$ střed ramene $BC$ , sestrojíš vrchol $C$ jako obraz bodu $A$ ve středové souměrnosti se středem $S$ .
Bod $S$ je střed úsečky $BC$ , ne $AC$ . Vrchol $C$ je obraz bodu $B$ : leží na polopřímce $BS$ a $|SC| = |SB|$ .
Narýsuješ jen jeden lichoběžník, i když zadání neříká, které strany jsou rovnoběžné.
Zkus $AB \parallel CD$ i $AD \parallel BC$ . Každá možnost může dát jedno řešení a v testu stojí chybějící řešení bod.
Rovnoběžku se stranou vedeš vrcholem této strany. Třeba rovnoběžka s $BC$ bodem $B$ splyne s přímkou $BC$ .
Rovnoběžka jde vrcholem, který na straně neleží. Když hledáš vrchol $A$ a znáš $B$ , $C$ a $D$ : rovnoběžka s $BC$ jde vrcholem $D$ , rovnoběžka s $CD$ vrcholem $B$ .
U šestiúhelníku vezmeš za střed $S$ střed strany $AB$ . Nebo vezmeš ten průsečík kružnice s osou strany $AB$ , který zadání vylučuje, třeba leží mimo polopřímku ze zadání.
Střed šestiúhelníku je vrchol rovnostranného trojúhelníku nad stranou $AB$ , je od $A$ vzdálený $|AB|$ . Z průsečíků vyber ten, který splní podmínku zadání.
Stranu šestiúhelníku naneseš po kružnici šestkrát za sebou a poslední vrcholy vyjdou nepřesně.
Nanášej od vrcholu $A$ na obě strany a vrchol $D$ zkontroluj: leží naproti $A$ na polopřímce $AS$ .

Zkus si

Narýsuj úsečku $AB$ , $|AB| = 61$ mm. Sestroj pravoúhlý lichoběžník $ABCD$ se základnami $AB$ a $CD$ a s pravým úhlem u vrcholu $A$ . Rameno $AD$ měří 20 mm a základna $CD$ 40 mm. Jak dlouhé je rameno $BC$ ?

Ukaž řešení

Vrchol D. Leží na kolmici k $AB$ v bodě $A$ , 20 mm od bodu $A$ .
Vrchol C. Leží na rovnoběžce s $AB$ bodem $D$ , 40 mm od vrcholu $D$ na stejné straně jako vrchol $B$ . S průsečíkem na druhé straně by vznikl překřížený čtyřúhelník.
Rameno BC. Změř ho: $|BC| = 29$ mm. Výpočtem: pata kolmice z vrcholu $C$ na $AB$ je od bodu $B$ vzdálená $61 - 40 = 21$ mm. Podle Pythagorovy věty $|BC| = \sqrt{21^2 + 20^2} = 29$ mm.

Výsledek $|BC| = 29$ mm

Konstrukce krok po kroku

Krok 1 z 5

m;\ m \perp AB,\ A \in m

Narýsuj úsečku $AD$ , $|AD| = 70$ mm. Je to úhlopříčka pravidelného šestiúhelníku $ABCDEF$ , která prochází jeho středem. Sestroj šestiúhelník. Jak dlouhá je jeho strana a úhlopříčka $AC$ ?

Ukaž řešení

Střed a kružnice opsaná. Střed $S$ je střed úsečky $AD$ . Kružnice opsaná má poloměr $|SA| = 35$ mm.
Vrcholy. Strana je stejně dlouhá jako poloměr, 35 mm. Oblouky s poloměrem 35 mm z vrcholů $A$ a $D$ protnou kružnici ve vrcholech $B$ , $F$ a $C$ , $E$ .
Úhlopříčka AC. Změř ji: $|AC| \doteq 61$ mm.

VýsledekStrana 35 mm, $|AC| \doteq 61$ mm

Konstrukce krok po kroku

Krok 1 ze 4

S;\ S \in AD,\ |AS| = |SD|

Procvič si to

Dvě rýsovací úlohy tohoto typu, pokaždé jinak zadané. Narýsuješ je na papír, pak uvidíš správnou konstrukci krok po kroku a ohodnotíš se podle klíče.