Základní konstrukce: kolmice, rovnoběžka, osy a úhly

Kolmice, rovnoběžka, osa úsečky, osa úhlu, úhly 60°, 30° a 45° a přenesení délky kružítkem. Z těchhle kroků se skládá každá konstrukce v testu.

V testuSamostatně se na ně test neptá, ale potřebuješ je v každé úloze 9 a 10. Ve 24 rýsovacích úlohách z let 2024 až 2026 je kolmice dvanáctkrát, střed nebo osa úsečky osmkrát a rovnoběžka sedmkrát.

Co potřebuješ znát

Co budeš potřebovat

Ostrou tužku. Rýsuj tence. Tlustá čára je široká skoro milimetr a průsečík se v ní ztratí.
Kružítko, které se samo nerozevírá. Na něm stojí skoro každá konstrukce.
Trojúhelník s ryskou. Ryska je čára uprostřed, kolmá k nejdelší straně (přeponě). Rýsuješ s ním kolmice a rovnoběžky.
Pravítko a úhloměr. Úhloměr smíš použít. Úhly 90°, 60°, 45° a 30° ale přesněji sestrojíš trojúhelníkem s ryskou a kružítkem.

Kolmice a vzdálenost bodu od přímky

Dvě přímky jsou kolmé, když svírají pravý úhel (90°). Kolmici k přímce p bodem M narýsuješ trojúhelníkem s ryskou: rysku polož na přímku p a trojúhelník posuň tak, aby přepona procházela bodem M. Podél přepony narýsuj kolmici.

Kolmice q protne přímku p v bodě P. Úsečka MP je vzdálenost bodu M od přímky p.

Vzdálenost bodu od přímky je délka úsečky MP, kde P je pata kolmice z bodu M na přímku p. Je to nejkratší cesta z bodu M na přímku.

Rovnoběžka

Dvě přímky jsou rovnoběžné, když se nikde neprotnou. Rovnoběžku s přímkou p bodem M narýsuješ dvěma pomůckami: přilož trojúhelník přeponou k přímce p, k jeho odvěsně přilož pravítko. Pravítko drž pevně a trojúhelník po něm posuň až k bodu M.

Rovnoběžka r s přímkou p prochází bodem M. Všechny její body jsou od p stejně daleko.

Střed a osa úsečky

Osa úsečky je přímka, která je k úsečce kolmá a prochází jejím středem. Každý bod osy je stejně daleko od obou krajních bodů úsečky. Kružítkem ji sestrojíš takhle:

Krok 1 ze 4

k_1(A; r)

Oblouky z obou konců mají stejný poloměr, proto jsou body X a Y stejně daleko od A jako od B.

TipKružítko rozevři zhruba na dvě třetiny úsečky. Při rozevření těsně nad polovinou se oblouky protnou pod malým úhlem a průsečík není přesný.

Osa úhlu

Osa úhlu je polopřímka z vrcholu, která úhel rozdělí na dva stejně velké úhly. Každý její bod je stejně daleko od obou ramen.

Krok 1 ze 3

k(V; r);\ X, Y \in k

K čemu je osa úhlu v konstrukci

Osa úhlu je osa souměrnosti úhlu. Když úhel podle ní překlopíš, padne rameno $a$ na rameno $b$ . Přímka $t$ , která je k ose kolmá, se při překlopení nezmění. Bod $X$ , ve kterém přímka $t$ protne rameno $a$ , se proto překlopí do bodu $Y$ na rameni $b$ . Oba body jsou od vrcholu $V$ stejně daleko: $|VX| = |VY|$ . Úsečka kolmá k ose úhlu s konci na ramenech vytne rovnoramenný trojúhelník $VXY$ s hlavním vrcholem $V$ .

Krok 1 ze 3

o;\ o \text{ je osa úhlu přímek } a, b

Přímka kolmá k ose úhlu vytne na ramenech body stejně daleko od vrcholu.

Platí to i obráceně. Když mají body $X$ a $Y$ na dvou přímkách ležet stejně daleko od jejich průsečíku $V$ , je trojúhelník $VXY$ rovnoramenný. Osa jeho základny $XY$ prochází vrcholem $V$ a půlí úhel u něj, je to osa úhlu. Spojnice $XY$ je proto kolmá k ose úhlu. Stejně daleko od průsečíku bývají třeba vrcholy obdélníku, jehož úhlopříčky leží na dvou daných přímkách: úhlopříčky obdélníku jsou stejně dlouhé a půlí se.

Dvě různoběžky ale svírají dva úhly, menší a větší, a mají proto dvě osy úhlů. Jsou na sebe kolmé. Kolmice k jedné ose vytne rovnoramenný trojúhelník v menším úhlu, kolmice k druhé ose ve větším. Kterou osu potřebuješ, rozhodne další podmínka zadání: ve kterém úhlu má úsečka ležet nebo kterým bodem má procházet.

Každá osa dá rovnoramenné trojúhelníky v jiném úhlu. Podmínka zadání vybere jednu.

Úhly 60°, 30° a 45° kružítkem

60°: stačí jedno rozevření kružítka. Oblouk ze středu V protne rameno v bodě X. Stejný oblouk ze středu X protne ten první v bodě Y. Trojúhelník VXY má tři stejné strany, je rovnostranný, a jeho úhly mají 60°.

Krok 1 ze 3

k(V; r);\ X \in k \cap \mapsto VA

30° je polovina úhlu 60°. Sestroj 60° a potom jeho osu.
45° je polovina pravého úhlu. Narýsuj kolmici a potom osu pravého úhlu.
120° je vedlejší úhel k úhlu 60°. Prodluž rameno VA za vrchol V.

Přenesení délky kružítkem

Zadání často říká „stejně dlouhá jako úsečka AB“. Délku neměř pravítkem. Rozevři kružítko přesně na úsečku AB, zapíchni ho do nového bodu a obloukem protni čáru, na které má bod ležet. Polovinu délky dostaneš tak, že najdeš střed úsečky (osou úsečky).

Jak se konstrukce zapisuje

V testu se postup nepíše, hodnotí se jen narýsovaná konstrukce. Vzorové konstrukce v aplikaci a v klíči CERMAT ale mají ke každému kroku krátký zápis. Takhle ho čteš:

$k(S; 3\ \text{cm})$ : kružnice $k$ se středem $S$ a poloměrem 3 cm.
$k(S; |SA|)$ : kružnice se středem $S$ , která prochází bodem $A$ (poloměr je $|SA|$ ).
$|AB|$ : délka úsečky $AB$ .
$\mapsto AB$ : polopřímka, která začíná v bodě $A$ a jde přes bod $B$ .
$\leftrightarrow AB$ : přímka, která prochází body $A$ a $B$ .
$q \perp p$ : přímky jsou kolmé. $q \parallel p$ : přímky jsou rovnoběžné.
$C \in p \cap k$ : bod $C$ leží na přímce $p$ i na kružnici $k$ , je to jejich průsečík.
$|\sphericalangle ABC| = 60^\circ$ : úhel s vrcholem $B$ má 60°.

Jak na to

Rýsuj ostrou tužkou a tence. Silně obtáhneš až hotovou konstrukci.
Každý sestrojený bod hned označ písmenem: body velkým, přímky a kružnice malým.
Dbej na to, aby se čáry protínaly pod velkým úhlem. Když se oblouky skoro dotýkají, změň rozevření kružítka.
Pomocné čáry a oblouky nemaž. Podle nich se pozná, že je bod sestrojený, a ne odhadnutý.
Nakonec obtáhni propiskou celou konstrukci: čáry, kružnice nebo jejich části i písmena.

Řešené příklady

Příklad 1: Čtverec z jedné strany

Narýsuj úsečku $AB$ , $|AB| = 47$ mm. Sestroj nad ní čtverec $ABCD$ .

Řešení

Co víme. Čtverec má všechny strany stejně dlouhé jako $AB$ a všechny úhly pravé.
Vrchol D. Leží na kolmici k $AB$ v bodě $A$ a je od $A$ vzdálený $|AB| = 47$ mm. Kolmici narýsuj trojúhelníkem s ryskou a délku nanes kružítkem rozevřeným na $|AB|$ .
Vrchol C. Stejně na kolmici v bodě $B$ , ve vzdálenosti 47 mm od $B$ , na stejné straně úsečky $AB$ jako $D$ .
Kontrola. Strana $CD$ musí mít také 47 mm. Když nemá, není některá kolmice přesná.

OdpověďČtverec ABCD má všechny strany 47 mm a pravé úhly, úloha má jedno řešení nad úsečkou AB.

Konstrukce krok po kroku

Krok 1 z 5

q;\ q \perp AB,\ A \in q

Příklad 2: Trojúhelník se dvěma úhly bez úhloměru

Narýsuj úsečku $AB$ , $|AB| = 62$ mm. Sestroj trojúhelník $ABC$ , ve kterém má úhel u vrcholu $A$ velikost 60° a úhel u vrcholu $B$ velikost 45°. Úhloměr nepoužívej.

Řešení

Úhel 60° u vrcholu A. Oblouk se středem $A$ protne $AB$ v bodě $X$ . Stejný oblouk se středem $X$ protne první oblouk v bodě $Y$ . Polopřímka $AY$ svírá s $AB$ úhel 60°.
Úhel 45° u vrcholu B. Je to polovina pravého úhlu. V bodě $B$ narýsuj kolmici k $AB$ a sestroj osu pravého úhlu mezi $BA$ a kolmicí.
Vrchol C. Leží na obou polopřímkách, je to jejich průsečík.
Kontrola. Úhel u vrcholu $C$ má $180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ$ . Změřené strany: $|AC| \doteq 45$ mm a $|BC| \doteq 56$ mm.

OdpověďTrojúhelník ABC má strany $|AC| \doteq 45$ mm a $|BC| \doteq 56$ mm a u vrcholu C úhel 75°.

Konstrukce krok po kroku

Krok 1 ze 6

Y;\ Y \in k(A; r) \cap k(X; r)

Časté chyby

Kolmici narýsuješ od oka nebo podle čtverečků v sešitě.
Vždy trojúhelníkem s ryskou. Klíč CERMAT uznává jen malou nepřesnost: v roce 2024 nejvýš 1 mm u polohy bodu a 3° u kolmice.
Při ose úsečky rozevřeš kružítko méně než na polovinu úsečky. Oblouky z obou konců se neprotnou.
Rozevři kružítko zhruba na dvě třetiny úsečky. Oblouky se pak protnou pod velkým úhlem a průsečík je přesný.
Při ose úhlu změníš rozevření kružítka mezi oblouky z bodů X a Y. Polopřímka pak úhel nepůlí.
Oba oblouky z bodů na ramenech musí mít stejný poloměr. Mezi nimi kružítkem nehýbej.
U dvou různoběžek sestrojíš osu menšího úhlu, i když úsečka nebo daný bod leží ve větším úhlu.
Dvě různoběžky mají dvě osy úhlů. Nejdřív v náčrtu rozhodni, ve kterém úhlu má úsečka ležet. Oblouk z vrcholu pak dělej na ramenech právě tohoto úhlu.
Pomocné čáry vygumuješ, aby byla konstrukce čistá.
Nech je a obtáhni je propiskou. Pokyn v testu chce obtáhnout celou konstrukci. Podle pomocných čar se pozná, jak je bod sestrojený.

Zkus si

Narýsuj úsečku $XY$ , $|XY| = 52$ mm. Sestroj pravoúhlý trojúhelník $XYZ$ s pravým úhlem u vrcholu $Y$ a úhlem 30° u vrcholu $X$ . Úhloměr nepoužívej. Jak dlouhá je strana $YZ$ ?

Ukaž řešení

Pravý úhel. V bodě $Y$ narýsuj kolmici k úsečce $XY$ .
Úhel 30°. U vrcholu $X$ sestroj úhel 60° a potom jeho osu.
Vrchol Z. Je to průsečík osy s kolmicí. Změř stranu: $|YZ| \doteq 30$ mm.

Výsledek $|YZ| \doteq 30$ mm

Konstrukce krok po kroku

Krok 1 ze 4

q;\ q \perp XY,\ Y \in q

Narýsuj úsečku $KL$ , $|KL| = 64$ mm. Sestroj rovnostranný trojúhelník $KLM$ a jeho výšku $MS$ z vrcholu $M$ . Jak dlouhá je výška?

Ukaž řešení

Vrchol M. Leží 64 mm od $K$ i 64 mm od $L$ . Je to průsečík oblouků se středy $K$ a $L$ a poloměrem $|KL|$ .
Výška. Oblouky se protnou ještě pod úsečkou v bodě $N$ . Přímka $MN$ je osa úsečky $KL$ , je k ní kolmá a protne ji ve středu $S$ .
Délka výšky. Změř úsečku $MS$ : $|MS| \doteq 55$ mm.

Výsledek $|MS| \doteq 55$ mm

Konstrukce krok po kroku

Krok 1 ze 3

M;\ M \in k(K; |KL|) \cap k(L; |KL|)

Procvič si to

Dvě rýsovací úlohy tohoto typu, pokaždé jinak zadané. Narýsuješ je na papír, pak uvidíš správnou konstrukci krok po kroku a ohodnotíš se podle klíče.