Kde leží hledaný bod: kružnice, osy a rovnoběžky

Každý chybějící vrchol najdeš jako průsečík dvou čar. Naučíš se převést větu ze zadání na čáru: na kružnici, osu úsečky, rovnoběžku nebo osu úhlu.

V testuJe to klíčová úvaha skoro každé úlohy 9 a 10. Ve 24 rýsovacích úlohách z let 2024 až 2026 je jedenáctkrát potřeba kružnice jako množina bodů v dané vzdálenosti a osmkrát osa nebo střed úsečky. Čistě na tuhle úvahu jsou úlohy 2026 A 9 a 2024 B 10, každá za 3 body.

Co potřebuješ znát

Jedna podmínka dá čáru, dvě podmínky dají bod

Když o bodu víš jen jednu věc, třeba že je od bodu S vzdálený 25 mm, takových bodů je nekonečně mnoho. Leží na jedné čáře. Druhá věc ze zadání dá druhou čáru. Hledaný bod musí splnit obě podmínky, leží proto na obou čarách. Je to jejich průsečík.

V testu se vyplatí znát čtyři takové čáry. Říká se jim množiny bodů: všechny body, které mají danou vlastnost.

Daná vzdálenost od bodu: kružnice

Všechny body, které jsou od bodu S vzdálené 25 mm, leží na kružnici se středem S a poloměrem 25 mm. Kružítko udělá přesně tohle: zapíchneš ho do S a hrot tužky je pořád stejně daleko.

Body X, Y a Z jsou od bodu S stejně daleko, všechny leží na kružnici k.

V úlohách se vzdálenost skrývá v délce strany. Když znáš vrchol B a víš, jak dlouhá je strana BC, leží vrchol C na kružnici se středem B a poloměrem $|BC|$ . Střed kružnice je vždy ten konec strany, který už znáš.

Stejně daleko od dvou bodů: osa úsečky

Všechny body, které jsou stejně daleko od bodu A jako od bodu B, leží na ose úsečky AB. Proto ji sestrojíš oblouky se stejným poloměrem z obou konců: jejich průsečíky jsou od A i od B stejně daleko.

Bod X je od A stejně daleko jako od B. Bod Y také. Oba leží na ose o.

Rovnoramenný trojúhelník se základnou AB: vrchol C proti základně je stejně daleko od A i od B, leží na ose základny.
Střed kružnice, která prochází body A a B, je od nich stejně daleko, leží na ose úsečky AB.
„Bod V má stejnou vzdálenost od všech vrcholů“ znamená, že V leží na osách všech stran. Je to střed kružnice opsané, na které leží všechny vrcholy.

Daná vzdálenost od přímky: dvě rovnoběžky

Body, které jsou od přímky p vzdálené 15 mm, leží na dvou rovnoběžkách s přímkou p, na každé straně jedna. Vzdálenost od přímky se měří vždy po kolmici.

Bod X na přímce q i bod Y na přímce r mají od přímky p vzdálenost 15 mm.

Rovnoběžku v dané vzdálenosti sestrojíš takhle: v libovolném bodě přímky p narýsuj kolmici, nanes na ni kružítkem vzdálenost a tímto bodem veď rovnoběžku s p. Hodí se, když zadání dá výšku trojúhelníku: vrchol C je od přímky AB vzdálený tolik, kolik měří výška na stranu AB.

Stejně daleko od dvou různoběžek: osy úhlů

Dvě různoběžky svírají dva úhly: menší a větší, nebo dva pravé, když jsou kolmé. Body, které jsou od obou přímek stejně daleko, leží na osách těchto úhlů. Osy jsou dvě a jsou na sebe kolmé.

Bod X na ose o₁ je od přímky p stejně daleko jako od přímky q.

TipOsu úhlu chtěla jen úloha 2025 A 9, a to osu většího úhlu. Přečti si pozorně, kterou osu zadání chce.

Délka zadaná slovy je poloměr

V testu délky stran skoro nikdy nejsou dané číslem. Zadání řekne „stejně dlouhá jako úsečka AB“, „o 1 cm delší než strana AB“ nebo „polovina úhlopříčky“. Takovou délku nepřeměřuj pravítkem. Sestroj ji kružítkem a použij ji jako poloměr.

Stejně dlouhá jako AB: rozevři kružítko přesně na úsečku AB.
O 1 cm delší než AB: prodluž úsečku AB za bod B a od B nanes 1 cm, dostaneš bod E. Úsečka AE je o 1 cm delší.
O 1 cm kratší než AB: nanes 1 cm od bodu B dovnitř úsečky AB.
Polovina úsečky: najdi její střed osou úsečky.

Krok 1 ze 3

\mapsto AB

Bod E sestrojíš bez měření. Kružnice l pak obsahuje všechny body, které jsou od A o 1 cm dál než B.

Kolik průsečíků mají přímka a kružnice

Porovnej vzdálenost středu kružnice od přímky s poloměrem. Je menší? Přímka kružnici protne ve dvou bodech. Je stejná? Přímka se kružnice jen dotkne v jednom bodě. Je větší? Přímka kružnici mine a průsečík není žádný.

Přímka a protne kružnici dvakrát, přímka b se jí jen dotkne, přímka c ji mine.

Dvě kružnice se protnou ve dvou bodech, když je vzdálenost jejich středů menší než součet poloměrů a zároveň větší než jejich rozdíl. Jinak mají jeden společný bod, nebo žádný.

TipPočítat to při rýsování nemusíš. Narýsuj obě čáry a průsečíky spočítej. Výpočet pomůže, když se čáry skoro dotýkají a nevíš, jestli se protnou.

Náčrt a rozbor

Než začneš rýsovat, udělej si vedle obrázku náčrt hotového útvaru od ruky. Pak postupuj takhle:

V náčrtu vyznač, co je dané (body, přímky, kružnice) a co hledáš.
Ke každému chybějícímu vrcholu napiš dvě podmínky ze zadání. Každá věta zadání bývá jedna podmínka.
Každou podmínku přelož na čáru: kružnice, osa úsečky, rovnoběžka, kolmice, daná přímka.
Když k vrcholu najdeš jen jednu podmínku, sestroj nejdřív jiný vrchol. Často pak druhá podmínka vyplyne.

Jak na to

Udělej náčrt hotového útvaru a vyznač dané a hledané body.
Ke každému chybějícímu vrcholu najdi v zadání dvě podmínky.
Každou podmínku přelož na čáru podle taháku. U kružnice si ujasni střed a poloměr.
Narýsuj obě čáry a vyznač všechny jejich průsečíky.
Každý průsečík porovnej se zadáním. Ten, který vyhovuje, je vrchol. Vyhovují dva? Úloha má dvě řešení.

Řešené příklady

Příklad 1: Rovnoramenný trojúhelník: osa a kružnice

Narýsuj úsečku $AB$ , $|AB| = 50$ mm. Nad ní vyznač bod $M$ , který je od bodu $A$ vzdálený 45 mm a od bodu $B$ 25 mm. Body $A$ , $B$ jsou vrcholy rovnoramenného trojúhelníku $ABC$ se základnou $AB$ . Vrchol $C$ je od bodu $M$ stejně daleko jako vrchol $A$ . Sestroj vrchol $C$ a trojúhelník narýsuj. Najdi všechna řešení.

Řešení

Náčrt a rozbor. Chybí jen vrchol $C$ . Potřebuješ pro něj dvě podmínky a obě jsou v zadání.
První podmínka. Základna je $AB$ , ramena $AC$ a $BC$ jsou stejně dlouhá. Vrchol $C$ je stejně daleko od $A$ jako od $B$ , leží proto na ose $o$ úsečky $AB$ .
Druhá podmínka. Platí $|MC| = |MA|$ . Vrchol $C$ leží na kružnici $m$ se středem $M$ a poloměrem $|MA|$ . Kružnice prochází bodem $A$ , ale ten na ose neleží.
Počet řešení. Osa $o$ protne kružnici $m$ ve dvou bodech: $C_1$ nad úsečkou $AB$ a $C_2$ pod ní. Žádný neleží na přímce $AB$ , oba dají rovnoramenný trojúhelník se základnou $AB$ . Úloha má dvě řešení.
Kontrola. Změř ramena: $|AC_1| \doteq 70$ mm a $|AC_2| \doteq 32$ mm. Druhé rameno každého trojúhelníku musí být stejně dlouhé.

OdpověďÚloha má dvě řešení: trojúhelník $ABC_1$ s rameny $|AC_1| \doteq 70$ mm a trojúhelník $ABC_2$ s rameny $|AC_2| \doteq 32$ mm.

Konstrukce krok po kroku

Krok 1 z 5

o;\ o \text{ je osa úsečky } AB

Příklad 2: Délky stran zadané slovy

Narýsuj úsečku $AB$ , $|AB| = 48$ mm. Sestroj nad ní trojúhelník $ABC$ , ve kterém je strana $AC$ o 1 cm delší než strana $AB$ a strana $BC$ je polovinou strany $AB$ . Délky stran nepočítej, sestroj je kružítkem jako v testu, kde čísla nejsou. Jak velký je úhel u vrcholu $B$ ?

Řešení

Náčrt a rozbor. Chybí vrchol $C$ . Obě podmínky jsou délky stran, které z něj vedou. Každá dá kružnici.
Strana AC. Prodluž úsečku $AB$ za bod $B$ a od $B$ nanes 1 cm. Dostaneš bod $E$ , úsečka $AE$ je o 1 cm delší než $AB$ . Vrchol $C$ leží na kružnici $l$ se středem $A$ a poloměrem $|AE|$ . Střed je $A$ , protože strana $AC$ vede z $A$ .
Strana BC. Polovinu úsečky $AB$ najdeš osou úsečky: protne $AB$ ve středu $S$ . Vrchol $C$ leží na kružnici $m$ se středem $B$ a poloměrem $|SB|$ .
Průsečíky. Kružnice $l$ a $m$ se protnou ve dvou bodech, nad přímkou $AB$ a pod ní. Oba trojúhelníky jsou shodné, jen překlopené podle přímky $AB$ . Zadání chce ten nad úsečkou, to je vrchol $C$ .
Kontrola. Změřené strany: $|AC| = 58$ mm a $|BC| = 24$ mm. Úhel u vrcholu $B$ je tupý, $|\sphericalangle ABC| \doteq 102^\circ$ .

OdpověďTrojúhelník ABC má strany $|AC| = 58$ mm a $|BC| = 24$ mm a úhel $|\sphericalangle ABC| \doteq 102^\circ$ . Nad úsečkou AB má úloha jedno řešení.

Konstrukce krok po kroku

Krok 1 z 5

E;\ E \in \mapsto AB,\ |BE| = 1\ \text{cm}

Časté chyby

Kružnici pro hledaný vrchol dáš se středem ve špatném bodě. Strana $BC$ má danou délku, ale kružnici narýsuješ se středem $A$ .
Střed je ten konec strany, který už znáš. U strany $BC$ hledáš $C$ , střed je $B$ . Napiš si do náčrtu, ze kterého vrcholu strana vede.
Slova „o 2 cm delší než $AB$ “ přečteš jako „2 cm“ a narýsuješ kružnici s poloměrem 2 cm.
„O 2 cm delší“ znamená $|AB| + 2$ cm. Prodluž úsečku $AB$ a 2 cm nanes za její konec. Hlídej i jednotky, 2 cm je 20 mm, ne 2 mm.
V rovnoramenném trojúhelníku zaměníš základnu a rameno. Zadání říká „se základnou $LM$ “ a ty dáš stejně dlouhá ramena k vrcholu $L$ .
Najdi vrchol, který na základně neleží. U základny $LM$ je to $K$ . Ramena vedou z něj, takže $|KM| = |KL|$ a vrchol $M$ leží na kružnici se středem $K$ .
Narýsuješ jen jeden průsečík a druhý přehlédneš.
Kružnici narýsuj celou, nebo aspoň oblouky na obou stranách. Každý průsečík zkontroluj se zadáním. Jak vybírat a kolik řešení čekat, je v kapitole „Kolik má úloha řešení“.
Za hledaný bod vezmeš průsečík, který už v obrázku je, třeba průsečík dvou daných přímek.
Průsečík daných čar je jen pomocný bod. Vrchol musí splnit obě podmínky ze zadání, ověř každou zvlášť.

Zkus si

Narýsuj úsečku $AB$ , $|AB| = 50$ mm. Sestroj všechny trojúhelníky $ABC$ s vrcholem $C$ nad přímkou $AB$ , ve kterých má výška na stranu $AB$ délku 24 mm a strana $AC$ měří 40 mm. Kolik jich je a jak dlouhá je v nich strana $BC$ ?

Ukaž řešení

První podmínka. Výška 24 mm znamená, že vrchol $C$ je od přímky $AB$ vzdálený 24 mm. Nad přímkou $AB$ leží na rovnoběžce $r$ s $AB$ ve vzdálenosti 24 mm.
Druhá podmínka. Strana $AC$ měří 40 mm, vrchol $C$ leží na kružnici se středem $A$ a poloměrem 40 mm.
Průsečíky. Kružnice protne rovnoběžku $r$ ve dvou bodech $C_1$ a $C_2$ . Změřená strana: $|BC_1| \doteq 30$ mm a $|BC_2| \doteq 85$ mm.

VýsledekDva trojúhelníky, $|BC_1| \doteq 30$ mm a $|BC_2| \doteq 85$ mm.

Konstrukce krok po kroku

Krok 1 ze 4

V;\ V \in q,\ |AV| = 24\ \text{mm}

Narýsuj úsečku $AB$ , $|AB| = 44$ mm, a přímku $p$ , která prochází bodem $A$ a svírá s úsečkou $AB$ úhel 50°. Sestroj kružnici, která prochází body $A$ i $B$ a má střed na přímce $p$ . Jak velký je její poloměr?

Ukaž řešení

První podmínka. Střed $S$ je od bodu $A$ stejně daleko jako od bodu $B$ . Leží proto na ose úsečky $AB$ .
Druhá podmínka. Střed leží na přímce $p$ . Je to průsečík osy s přímkou $p$ .
Poloměr. Změř úsečku $SA$ : $|SA| \doteq 34$ mm. Stejně daleko je i bod $B$ .

Výsledek $|SA| \doteq 34$ mm

Konstrukce krok po kroku

Krok 1 ze 3

o;\ o \text{ je osa úsečky } AB

Procvič si to

Dvě rýsovací úlohy tohoto typu, pokaždé jinak zadané. Narýsuješ je na papír, pak uvidíš správnou konstrukci krok po kroku a ohodnotíš se podle klíče.