Řada obrazců: tabulka a stálý přírůstek

Jak z prvních tří obrazců zjistit, kolik prvků má desátý nebo stý obrazec. A obráceně, kolikátý obrazec má daný počet. Stačí tabulka, jedno násobení a pozor na „o jeden“.

V testuŘada obrazců byla v letech 2024 až 2026 v pěti testech z dvanácti: v roce 2024 jako úloha 8, od roku 2025 jako poslední úloha 16. První podúloha se obvykle ptá na obrazec kousek za nakreslenými (4., 8. nebo 10. obrazec), ten jde ještě dopočítat po jednom. Ve třech testech přišla i obrácená otázka: kolikátý obrazec má daný počet.

Co potřebuješ znát

Nejdřív zjisti, co přibude

V zadání bývají nakreslené tři obrazce a věta jako „každý další obrazec vznikne přidáním…“. Než začneš počítat, zjisti, co přesně v dalším obrazci přibude. Ukaž si prstem: tohle už bylo v předchozím obrazci, tohle je nové.

Silné zápalky v obrazci přibyly. Sousední čtverce mají jednu zápalku společnou.

Ve 2. obrazci přibyly ke čtverci tři zápalky: dole, nahoře a vpravo. Levou stranu nového čtverce tvoří zápalka, která už tam byla. Proto přibývají 3 zápalky, ne 4.

TipNové prvky si v obrázku obtáhni nebo zakroužkuj. Hned uvidíš, kolik jich přibylo.

Tabulka: pořadí obrazce a počet

Počty z obrázku si zapiš do tabulky. Do horního řádku pořadí obrazce, do dalšího počet. Pod čísla napiš, o kolik se sousední počty liší.

Mezi sousedními obrazci přibudou pokaždé 3 zápalky.

Když je rozdíl pořád stejný, má řada stálý přírůstek. Tady je to 3. Tabulku pak umíš prodloužit, jak daleko chceš: každý další obrazec má o 3 zápalky víc.

TipTabulku si v testu udělej vždy, i když se ptají jen na 4. obrazec. Zabere chvilku a ukáže ti chybu dřív, než ji uděláš.

Desátý obrazec bez kreslení

1. obrazec má 4 zápalky a každý další přidá 3. Kolikrát se přidává, než dojdeš k 10. obrazci? Přidává se ve 2., 3., 4. … až 10. obrazci, to je devětkrát, ne desetkrát.

4 + 9 \cdot 3 = 31

10. obrazec má 31 zápalek.

TipKdyž jdeš z 1. do 10. patra, vyjdeš jen 9 pater. Stejně tak mezi 1. a 10. obrazcem je jen 9 přidání.

Obecně pro n-tý obrazec:

p_n = p_1 + (n - 1) \cdot d

$p_n$ je počet v n-tém obrazci, $p_1$ počet v 1. obrazci, $d$ přírůstek a $n$ pořadí obrazce.

Jiný pohled: rozlož obrazec na části

Na stejný počet přijdeš i jinak. Představ si, že každý čtverec má své 3 zápalky (dole, nahoře, vpravo) a navíc je tam jedna zápalka úplně vlevo. V n-tém obrazci je n čtverců, takže zápalek je $3n + 1$ .

3 \cdot 10 + 1 = 31

Vyšlo stejně jako přes přírůstek.

Dva různé pohledy, které dají stejné číslo, jsou nejlepší zkouška. Když se liší, někde je chyba a víš, že ji máš hledat.

Obráceně: kolikátý obrazec má daný počet

Otázka „Kolikátý obrazec má 100 zápalek?“ chce pořadí, ne počet. Postupuj pozpátku. 1. obrazec má 4 zápalky. Zbylých $100 - 4 = 96$ zápalek přibývalo po třech. Kolikrát se 3 vejdou do 96, tolikrát se přidávalo. Obrazec je o jeden dál, protože 1. obrazec tu byl už na začátku, bez přidávání.

(100 - 4) : 3 = 32

Přidávalo se 32krát.

32 + 1 = 33

Je to 33. obrazec.

Zkouška: 33. obrazec má $4 + 32 \cdot 3 = 100$ zápalek. Sedí. Zkoušku dosazením dělej vždy, zabere pár vteřin a odhalí zapomenutou jedničku.

TipOtázka „Kolikátý obrazec má přesně 100 zápalek?“ se ptá na počet, který některý obrazec opravdu má. Dělení proto musí vyjít beze zbytku. Když nevyjde, zkontroluj přírůstek a počet v 1. obrazci. Jiná je otázka „Kolik domečků postavíš z 200 zápalek?“: tam dělení vyjít nemusí, bereš jen celé domečky a pár zápalek zbude.

Na co se ptají: kolik, nebo kolikátý

„Kolik … má 7. obrazec?“ chce počet prvků.
„Kolikátý obrazec …?“ nebo „Ve kterém obrazci …?“ chce pořadí obrazce.
„… přibude v posledním kroku“ nebo „poslední přidaná část“ chce jen přírůstek, ne celý obrazec.
„Celý obrazec“ chce všechno, co v obrazci je.

TipPřed odpovědí si otázku přečti ještě jednou a podtrhni slovo, na které se ptají. Hodně bodů se ztrácí ne výpočtem, ale odpovědí na jinou otázku.

Když rozdíly nejsou stejné, prodluž tabulku po rozdílech

Ne každá řada má stálý přírůstek. Na obrázku stavíme schody z kostek. Každý další obrazec dostane vpravo nový sloupec, o 2 kostky vyšší než předchozí sloupec.

Šedý je sloupec, který v obrazci přibyl.

Rozdíly nejsou stejné, ale každý je o 2 větší než předchozí.

Rozdíl je přesně nový sloupec, tedy poslední přidaná část. Z obrázku znáš rozdíly 3 a 5, každý další je o 2 větší. Ve 4. obrazci proto přibude $5 + 2 = 7$ kostek, $9 + 7 = 16$ . V 5. obrazci přibude $7 + 2 = 9$ kostek, $16 + 9 = 25$ . Tak dopočítáš obrazec po obrazci, kolik jich potřebuješ.

Pro 30. obrazec by to bylo dlouhé. Všimni si ale, že 5. obrazec má $5 \cdot 5 = 25$ kostek. Takové řady rostou do čtverce a velké pořadí spočítáš jedním násobením. Jak na to, ukazuje kapitola Obrazce, které rostou do čtverce.

Jak na to

Najdi v obrázku, co v dalším obrazci přibude. Ukaž si nové prvky.
Spočítej první tři obrazce a zapiš je do tabulky.
Spočítej rozdíly sousedních počtů. Když jsou stejné, má řada stálý přírůstek.
Na n-tý obrazec: $p_1 + (n - 1) \cdot d$ . Na kolikátý obrazec: odečti $p_1$ , vyděl přírůstkem a přičti 1.
Zkouška: dosaď do nakresleného nebo vypsaného případu.
Odpověz přesně na otázku: kolik, nebo kolikátý? Celý obrazec, nebo poslední část? Která barva?

Řešené příklady

Příklad 1: Stoly v řadě

Čtvercové stoly se staví do řady k sobě. U každé volné strany stolu sedí jeden člověk (viz obrázek).

a) Kolik lidí se posadí ke 15 stolům v řadě?

b) Kolik stolů je potřeba postavit do řady, aby se k nim posadilo 44 lidí a žádné místo nezůstalo volné?

Řešení

Co přibude. Nový stůl přisuneme na konec řady. Nahoře a dole u něj přibude po jednom člověku. Člověk, který seděl na konci řady, se jen posune na nový konec. Přibudou tedy 2 lidé.
Tabulka. 1 stůl 4 lidé, 2 stoly 6, 3 stoly 8. Přírůstek je 2.
a) 15 stolů. Od prvního stolu se přidává čtrnáctkrát: $4 + 14 \cdot 2 = 32$ . Jiný pohled: u každého stolu sedí 2 lidé nahoře a dole a k tomu 2 na koncích řady, $2 \cdot 15 + 2 = 32$ .
b) 44 lidí. Pozpátku: $(44 - 4) : 2 = 20$ přidání, k tomu první stůl: $20 + 1 = 21$ .
Zkouška. $2 \cdot 21 + 2 = 44$ . Sedí.

OdpověďKe 15 stolům se posadí 32 lidí. Pro 44 lidí je potřeba 21 stolů.

Příklad 2: Domečky ze zápalek

Ze zápalek stavíme řadu domečků. Sousední domečky mají jednu stěnu společnou (viz obrázek).

a) Kolik zápalek má 20. obrazec?

b) Máme 200 zápalek. Kolik domečků z nich nejvíc postavíme a kolik zápalek zbude?

Řešení

Co přibude. Nový domeček potřebuje podlahu, strop, pravou stěnu a dvě zápalky na střechu. Levou stěnu má společnou se sousedem. Přibude 5 zápalek.
Tabulka. 6, 11, 16 zápalek. Přírůstek je 5.
a) 20. obrazec. $6 + 19 \cdot 5 = 101$ . Jiný pohled: 5 zápalek na každý domeček a jedna levá stěna navíc, $5 \cdot 20 + 1 = 101$ .
b) 200 zápalek. Na $n$ domečků potřebujeme $5n + 1$ zápalek. Jedna zápalka je levá stěna prvního domečku, zbylých $200 - 1 = 199$ dělíme po 5 na domečky: $199 : 5 = 39{,}8$ . Celých domečků je 39.
Kolik zbude. 39 domečků spotřebuje $5 \cdot 39 + 1 = 196$ zápalek, zbude $200 - 196 = 4$ . Na čtyřicátý domeček (5 zápalek) to nestačí.

OdpověďVe 20. obrazci je 101 zápalek. Z 200 zápalek postavíme nejvíc 39 domečků a 4 zápalky zbudou.

Časté chyby

Pro n-tý obrazec násobíš přírůstek pořadím $n$ místo $n - 1$ . Pro 10. obrazec ti vyjde $4 + 10 \cdot 3 = 34$ místo 31.
Ptej se: kolikrát se přidávalo? První obrazec už byl na začátku, přidává se od 2. obrazce. Zkontroluj vzorec na 1. obrazci: musí dát počet z obrázku.
Společný prvek počítáš dvakrát. U čtverců ze zápalek ti vyjde přírůstek 4 místo 3.
Ukaž si prstem, co je v novém obrazci opravdu nové. Co už tam bylo, nepočítej.
U otázky „kolikátý obrazec“ zapomeneš přičíst 1 a vyjde ti o jeden obrazec méně.
Udělej zkoušku dosazením. V testech 2024 B 8 a 2025 C 16 dal klíč za odpověď o jedna menší jen 1 bod ze 2.
Odpovíš počtem, i když se ptají na pořadí obrazce, nebo naopak.
Podtrhni v otázce slovo „kolik“, nebo „kolikátý“. Odpověď na „kolikátý“ je pořadí, třeba „33. obrazec“.
Počítáš se stálým přírůstkem i tam, kde počty rostou čím dál rychleji (1, 4, 9, 16 …, rozdíly 3, 5, 7). Odhad pak vyjde moc malý.
Spočítej rozdíly mezi všemi nakreslenými obrazci, a když můžeš, dokresli ještě jeden. Když rozdíly rostou, čti kapitolu Obrazce, které rostou do čtverce. Když se jen střídají, kapitolu Střídání.

Zkus si

Kříž ze čtverečků roste na všechny čtyři strany (viz obrázek). Kolik čtverečků má 15. obrazec?

Ukaž řešení

Co přibude. Na každé ze čtyř ramen přibude jeden čtvereček, celkem 4.
Tabulka. 5, 9, 13 čtverečků. Přírůstek je 4.
15. obrazec. $5 + 14 \cdot 4 = 61$ . Jiný pohled: 4 ramena po 15 čtverečcích a prostřední čtvereček, $4 \cdot 15 + 1 = 61$ .

Výsledek61 čtverečků

Stejné kříže jako v předchozím úkolu. Kolikátý obrazec má 121 čtverečků?

Ukaž řešení

Pozpátku. Od 121 odečti 5 čtverečků prvního obrazce a vyděl přírůstkem: $(121 - 5) : 4 = 29$ přidání.
Pořadí. K přidáním přičti první obrazec: $29 + 1 = 30$ .
Zkouška. $4 \cdot 30 + 1 = 121$ . Sedí.

Výsledek30. obrazec

Procvič si to

Pět úloh tohoto typu, pokaždé s jinými čísly. Opraví se samy a u chyby uvidíš postup.