Obrazce, které rostou do čtverce: pás a celek

Když rozdíly nejsou stejné

Ze čtvercových dlaždic skládáme čtverce. Šedé dlaždice v obrazci přibyly. Začni jako v kapitole Řada obrazců: tabulkou.

Stálý přírůstek tu není. Podívej se na tvar: 3. obrazec má 3 řady po 3 dlaždicích, 4. obrazec 4 řady po 4. Jako u čokolády 6 × 6 stačí jedno násobení. Proto má n-tý obrazec $n \cdot n = n^2$ dlaždic.

TipKdyž rozdíly rostou pokaždé o stejné číslo (3, 5, 7 … nebo 6, 10, 14 …), hledej v obrazci čtverec. Když se jen střídají (třeba 1, 3, 1, 3 …), čtverec v tom není: počítej liché a sudé obrazce zvlášť jako v kapitole Střídání.

Pás: co v obrazci přibude

Šedé dlaždice tvoří pás, poslední přidanou část. Má tvar písmene L: horní řada a pravý sloupec. V 5. obrazci má horní řada 5 dlaždic a pravý sloupec taky 5. Rohová dlaždice patří do obou, počítá se jen jednou.

Jiný pohled: pás je to, o co je 5. obrazec větší než 4. obrazec, $25 - 16 = 9$. Pás n-tého obrazce má $n + n - 1 = 2n - 1$ dlaždic: 1, 3, 5, 7 … Pás má tedy stálý přírůstek 2 a počítáš s ním jako v kapitole Řada obrazců. Pás 30. obrazce má $2 \cdot 30 - 1 = 59$ dlaždic.

Celý obrazec je součet pásů

První pás je samotný 1. obrazec, n-tý obrazec má tedy n pásů. Tady je 5. obrazec:

Pásy vyplní celý čtverec, proto je součet prvních n lichých čísel vždy $n \cdot n$. Celý 30. obrazec má $30 \cdot 30 = 900$ dlaždic.

TipPás roste stále stejně, celý obrazec ne. Než začneš počítat, podtrhni v otázce, jestli chce poslední přidaný pás, nebo celý obrazec.

Čtverec o jedna větší, nebo menší

Dva druhy prvků často tvoří dva čtverce, jeden o jedna větší. Na obrázku jsou záhony a kolíky v jejich rozích.

V n-tém obrazci je n řad po n záhonech. Kolíků je v řadě o jeden víc a řad kolíků taky, jako u plotu: 4 pole mají 5 sloupků. Kolíků je proto $(n + 1) \cdot (n + 1)$: 4, 9, 16 …

Prvky jen v mezerách mezi jinými tvoří naopak čtverec o jedna menší, $(n - 1) \cdot (n - 1)$, a 1. obrazec žádný nemá. O jedna menší jsou i bílé dlaždice z prvního obrázku: celý předchozí obrazec.

O kolik je kolíků víc než záhonů? Ve 3. obrazci o $16 - 9 = 7$, to je pás většího čtverce, $2 \cdot 4 - 1 = 7$.

Čtverec v přestrojení

Kosočtverec na obrázku tvoří dva stejné trojúhelníky. Každý má v řadách od vrcholu 1, 3, 5 … trojúhelníčků, jako pásy čtverce, takže jich má $n \cdot n$.

Kosočtverec má $2 \cdot n \cdot n$ trojúhelníčků: 2, 8, 18 … Obrazec z k takových trojúhelníků má $k \cdot n \cdot n$ dílků. V tabulce to poznáš tak, že po vydělení stejným číslem vyjde 1, 4, 9, 16. Když je v každém pásu obou barev stejně, je každá barva polovina.

Obráceně: kolikátý obrazec

Kolikátý obrazec má 196 bílých dlaždic? Hledáš číslo, které krát samo sebe dá 196. Je mezi 10 a 20, protože $10 \cdot 10 = 100$ a $20 \cdot 20 = 400$, a končí 4, nebo 6. Druhé mocniny 11 až 20 jsou i v tabulce v sešitě.

Bílý čtverec je o jedna menší než celý obrazec, je to 15. obrazec. Zkouška: $15 \cdot 15 - (2 \cdot 15 - 1) = 225 - 29 = 196$ bílých, celý obrazec bez pásu. Sedí.

TipPřičíst 1, nebo odečíst? Podívej se na malý obrazec. Ve 2. obrazci tvoří bílá dlaždice čtverec 1 × 1, o jedna menší, než je pořadí obrazce. Proto k 14 přičítáš 1.

U pásu odmocninu nehledej, i když je počet čtverec. Kolikátý obrazec má v pásu 49 dlaždic? $49 = 7 \cdot 7$ svádí k odpovědi 7, jenže pás 7. obrazce má jen $2 \cdot 7 - 1 = 13$ dlaždic. Pás má stálý přírůstek: odečti první pás, vyděl přírůstkem a přičti 1.

Když se v obrazcích střídají barvy, třeba u čtverců vložených do sebe, nevede otázka na čtverec. Postup je v kapitole Střídání.