Hledání všech možností: tabulka a zkratky

Kolik řešení má úloha

Pokyn „Uveďte všechna řešení“ říká, že výsledků může být víc. Jde skoro vždy o počty. Počet je celé číslo a nemůže být záporný, proto rovnici vyhoví jen pár čísel a dají se vypsat všechna. Jako u hledání rozdílů na dvou obrázcích: najdi všechny a nic nepřidej. Klíč to boduje přesně:

• 2026 D 16: obě řešení 2 body, jen jedno (nebo obě a jedno navíc) 1 bod.
• 2025 D 7.2: všechna tři řešení 3 body, každý nedostatek o 1 bod méně.

TipŘešením může být i nula: „ani jednou“, „žádná koloběžka“. Nula je počet jako každý jiný.

Tabulka možností: vypisuj popořadě

Ema hází šipky na terč. Zásah do středu dá 5 bodů, zásah do vnějšího kruhu 3 body a šipka mimo terč nic. Ema má 31 bodů. Kolikrát mohla trefit střed?

Zásahy do středu označ $s$, do vnějšího kruhu $v$: $5s + 3v = 31$. Jedna rovnice se dvěma neznámými obvykle nestačí, tady ale musí být $s$ i $v$ celá nezáporná čísla. Zkoušej $s$ od nuly a u každého zjisti, jestli zbytek bodů jde vydělit třemi.

Ema trefila střed dvakrát (a vnější kruh sedmkrát), nebo pětkrát (a vnější kruh dvakrát).

• Začni nulou a jdi po jedné. Tak nic nepřeskočíš.
• Zkoušej to, co dá víc bodů. Se středem stačí 7 řádků, s vnějším kruhem by jich bylo 11.
• Skonči, kde to dál nejde. Sedm zásahů do středu dá $7 \cdot 5 = 35$ bodů, víc než 31.

Zkouška jiným pohledem: tři zásahy do středu dají $3 \cdot 5 = 15$ bodů, stejně jako pět zásahů do vnějšího kruhu. Výměnou pěti vnějších za tři středy přejdeš z řešení 2 a 7 na 5 a 2.

Zkratka: sudé a liché číslo

Koloběžka má 2 kolečka, tříkolka 3. Na dvoře jich stojí několik a mají dohromady 27 koleček. Kolik může být tříkolek? Platí $2k + 3t = 27$. Dvojnásobek je vždy sudý a 27 je liché, takže $3t$ musí být liché, a tedy i $t$.

Stačí zkoušet $t$ = 1, 3, 5, 7, 9 (devět tříkolek má všech 27 koleček) a každé vyhoví. Tříkolek může být 1, 3, 5, 7, nebo 9, koloběžek je pak 12, 9, 6, 3, nebo 0.

Rovnice přesně podle textu: cena a „o kolik víc“

Cena a čistý zisk. Na pouti stojí jedno házení kroužků 2 Kč a kdo nahodí kroužek na kolík, dostane 5 Kč. Tom hrál desetkrát a odešel se stejnými penězi, s jakými přišel. Kolikrát vyhrál?

Výhra mu čistě přinese $5 - 2 = 3$ Kč, prohra ho stojí 2 Kč. Peníze se nezměnily, takže $3v = 2p$ a $v + p = 10$. Vyhoví jen $v = 4$ a $p = 6$: $3 \cdot 4 = 2 \cdot 6 = 12$. Jiný pohled: zaplatil $10 \cdot 2 = 20$ Kč a stejně dostal zpátky, to jsou $20 : 5 = 4$ výhry.

„O kolik víc“. Ema čtyřikrát trefila terč a za střed získala o 4 body víc než za vnější kruh. Věta mluví o bodech, ne o zásazích: $5s = 3v + 4$, ne $s = v + 4$. S $s + v = 4$ vyhoví $s = 2$ a $v = 2$, protože $5 \cdot 2 = 10 = 3 \cdot 2 + 4$.

Omezení, která v rovnici nejsou vidět

• Celá čísla. Počet zásahů nemůže být 2,5.
• Žádný počet není záporný. Nula ano, dokud zadání neříká „aspoň jeden“.
• Nejvýš tolik, kolik je k dispozici. Ema hodila 8 šipek, a tak trefila terč nejvýš osmkrát. Méně jde taky: některá šipka mohla letět mimo terč.

TipOmezení si napiš hned vedle rovnice a porovnej s nimi každý řádek tabulky. Řešení navíc stojí body stejně jako chybějící.

Nejvíc a nejméně

Přidej do tabulky sloupec s tím, na co se ptají, a vyber. Kolika nejméně šipkami získá Ema 31 bodů? $5 + 2 = 7$ je méně než $2 + 7 = 9$. Když něco stojí, počítej s čistým ziskem jako u pouti.

TipKdyž vyjde nejvíc nebo nejméně ve dvou řádcích stejně, jsou to dvě řešení. Tak to bylo v testu 2026 D 16 a ukazuje to i druhý řešený příklad.