Číselné diagramy: písmeno, rovnice, zkouška

Kroužky s čísly a pravidlo: na každé straně stejný součet nebo součin. Jak prázdné kroužky doplnit bez zkoušení naslepo a jak poznat, že je to správně.

V testuČíselný diagram byl v testech 2024 až 2026 jednou: 2026 B 12 za 2 body, výběr z pěti možností. Byl to součinový trojúhelník se dvěma prázdnými kroužky a otázka chtěla součet obou doplněných čísel. Body jsou jen za správnou možnost. Stejný postup (písmeno, rovnice, zkouška) se hodí i v úloze 16.

Co potřebuješ znát

Co je číselný diagram

Číselný diagram tvoří kroužky spojené čarami.V některých kroužcích jsou čísla, jiné jsou prázdné. K diagramu patří pravidlo: co musí platit na každé straně, v každém řádku nebo pro sousední kroužky.

Součtový trojúhelník. Na každé straně je součet 14.

Ověř si to: levá strana $2 + 5 + 7 = 14$ , pravá strana $2 + 8 + 4 = 14$ , dolní strana $7 + 3 + 4 = 14$ . Kroužek ve vrcholu patří ke dvěma stranám, proto jeho číslo sčítáš dvakrát, jednou na každé straně.

TipPravidlo si v zadání podtrhni. Součet znamená sčítat, součin násobit. Záměna je nejčastější chyba a v testu na ni čeká jedna z chybných možností.

Prázdný kroužek je písmeno, pravidlo je rovnice

Než začneš zkoušet čísla naslepo, pojmenuj prázdné kroužky písmeny, třeba $a$ a $b$ . Pak zapiš každou stranu jako výraz. Tenhle zápis je u diagramů totéž co tabulka u řady obrazců: všechno máš přehledně pod sebou.

Na každé straně má být stejný součet. Kroužek a (šedý) leží na levé i pravé straně.

levá strana: $a + 2 + b$
pravá strana: $a + 8 + 7$
dolní strana: $b + 6 + 7$

Pravidlo říká, že všechny tři výrazy mají stejnou hodnotu. Když položíš dva z nich do rovnosti, máš rovnici. Neznámé jsou dvě, a tak potřebuješ dvě rovnice: dvakrát porovnáš dvě strany.

Porovnej dvě strany se společným prázdným kroužkem

Levá a pravá strana mají společný kroužek $a$ . Představ si rovnoramenné váhy, na každé misce jednu stranu. Když z obou misek sundáš stejné závaží $a$ , váhy zůstanou v rovnováze. Proto se musí rovnat i to, co na miskách zbude:

a + 2 + b = a + 8 + 7

Na obou stranách je a. Sundej ho.

2 + b = 8 + 7 = 15

\begin{aligned} 2 + b &= 8 + 7 \\ &= 15 \end{aligned}

Zbyla jedna neznámá.

b = 15 - 2 = 13

\begin{aligned} b &= 15 - 2 \\ &= 13 \end{aligned}

Teď je dolní strana celá: $13 + 6 + 7 = 26$ . Na každé straně má tedy být součet 26. Z pravé strany vyjde $a = 26 - 8 - 7 = 11$ .

TipZačni tam, kde chybí nejméně čísel. Strana, na které nic nechybí, ti rovnou řekne společný součet nebo součin.

Proč právě levá a pravá strana? Mají společný prázdný kroužek, a ten se z porovnání ztratí. Levá a dolní strana mají společné $b$ a daly by také $a = 6 + 7 - 2 = 11$ . Pravá a dolní strana mají společné jen známé číslo 7. Zbyla by rovnice $a + 8 = b + 6$ se dvěma neznámými a z té samotné čísla neurčíš.

U součinu místo odečítání dělíš

Se součinem postupuješ stejně, jen místo odečítání dělíš. Když jsou dva součiny stejné a mají společné číslo, musí se rovnat i součiny zbylých čísel. Třeba když $a \cdot 4 \cdot 9$ a $a \cdot 6 \cdot b$ dají stejný součin, platí:

4 \cdot 9 = 6 \cdot b

b = 36 : 6 = 6

\begin{aligned} b &= 36 : 6 \\ &= 6 \end{aligned}

Představa: $a \cdot 4 \cdot 9$ je $a$ krabic a v každé $4 \cdot 9 = 36$ bonbonů. $a \cdot 6 \cdot b$ je stejný počet krabic a v každé $6 \cdot b$ bonbonů. Bonbonů je celkem stejně a krabic taky, takže i v jedné krabici musí být stejně: $36 = 6 \cdot b$ .

Zkouška: dosaď do všech pravidel

Nakonec dosaď nalezená čísla do každé strany: levá $11 + 2 + 13 = 26$ , pravá $11 + 8 + 7 = 26$ , dolní $13 + 6 + 7 = 26$ . Všechny tři sedí. Zkouška odhalí chybu v počítání i záměnu součtu a součinu.

Proč nestačí porovnat jen jednu dvojici stran? Jedno porovnání dá jednu rovnici, a v ní jsou dvě neznámé. Taková rovnice má mnoho řešení. Třeba $3a = 2b$ platí pro $a = 2$ a $b = 3$ , ale i pro $a = 4$ a $b = 6$ nebo $a = 6$ a $b = 9$ . Kdo vezme první dvojici, která ho napadne, skoro jistě odpoví špatně. Tu správnou vybere až druhé porovnání.

TipV úloze s výběrem bývají mezi možnostmi i výsledky typických chyb. To, že tvoje číslo v nabídce je, ještě neznamená, že je správné. Rozhodne zkouška.

Jak na to

Přečti pravidlo a podtrhni ho: součet, nebo součin? Na stranách, v řádcích, nebo pro sousedy?
Prázdné kroužky označ písmeny a každou stranu zapiš jako výraz.
Najdi stranu, kde chybí nejméně čísel. Když žádná není celá, porovnej dvě strany se společným prázdným kroužkem.
Vypočítej první neznámou, dosaď ji a pokračuj na další.
Zkouška: dosaď do všech pravidel zadání.
Odpověz přesně na otázku: chce všechna doplněná čísla, jejich součet, nebo jen jedno?

Řešené příklady

Příklad 1: Součinový čtverec

Do prázdných kroužků doplň kladná celá čísla tak, aby součin tří čísel na každé straně čtverce byl stejný (viz obrázek). Která čísla patří do kroužků a, b a c?

Řešení

Strany jako výrazy. Horní $a \cdot 3 \cdot b$ , pravá $b \cdot 9 \cdot 7$ , dolní $7 \cdot c \cdot 2$ , levá $2 \cdot 6 \cdot a$ .
Kde začít. Žádná strana není celá. Horní a pravá strana mají společné $b$ , horní a levá společné $a$ . Dolní a pravá mají společné jen známé číslo 7, ty zatím neporovnávej.
Číslo a. Horní a pravá strana obsahují obě $b$ . Vyděl jím a zbude $a \cdot 3 = 9 \cdot 7$ . To je $9 \cdot 7 = 63$ , tedy $a = 63 : 3 = 21$ .
Číslo b. Horní a levá strana obsahují obě $a$ : $3 \cdot b = 2 \cdot 6$ . To je $2 \cdot 6 = 12$ , tedy $b = 12 : 3 = 4$ .
Číslo c. Levá strana je teď celá: $2 \cdot 6 \cdot 21 = 252$ . Dolní strana musí dát taky 252: $7 \cdot c \cdot 2 = 14 \cdot c$ , tedy $c = 252 : 14 = 18$ .
Zkouška. Horní $21 \cdot 3 \cdot 4 = 252$ , pravá $4 \cdot 9 \cdot 7 = 252$ , dolní $7 \cdot 18 \cdot 2 = 252$ , levá $2 \cdot 6 \cdot 21 = 252$ . Všechny čtyři strany sedí.

OdpověďDo kroužku a patří 21, do kroužku b patří 4 a do kroužku c patří 18.

Příklad 2: Číselná pyramida

Číselná pyramida je jiný číselný diagram. Číslo v každé cihle je součtem dvou čísel v cihlách pod ní (viz obrázek). Které číslo patří do spodní cihly s písmenem x?

Řešení

Výrazy do cihel. Druhá řada: $3 + x$ , $x + 5$ a $5 + 2 = 7$ . Třetí řada: $(3 + x) + (x + 5) = 2x + 8$ a $(x + 5) + 7 = x + 12$ .
Vrchol. $(2x + 8) + (x + 12) = 3x + 20$ . Číslo $x$ se do vrcholu dostane třikrát, přes všechny cihly nad sebou.
Rovnice. Ve vrcholu je 50: $3x + 20 = 50$ , tedy $3x = 30$ a $x = 10$ .
Zkouška. Spodní řada 3, 10, 5, 2. Druhá řada 13, 15, 7, třetí řada 28, 22 a vrchol $28 + 22 = 50$ . Sedí.

OdpověďDo cihly s písmenem x patří číslo 10.

Časté chyby

Sčítáš, i když pravidlo chce součin. Vyjdou úplně jiná čísla a zkouška sčítáním je „potvrdí“.
Podtrhni v zadání slovo součet, nebo součin, a zkoušku dělej přesně podle pravidla. V testu 2026 B 12 byla výsledkem této chyby jedna z chybných možností.
Porovnáš jen jednu dvojici stran. Z rovnice jako $3a = 2b$ vezmeš nejmenší čísla $a = 2$ a $b = 3$ a ostatní strany nezkontroluješ.
Rovnice se dvěma neznámými má mnoho řešení. Porovnávej strany se společným prázdným kroužkem a na konci dosaď do všech stran.
Odpovíš na jinou otázku: napíšeš jen jedno doplněné číslo, i když chtějí součet obou, doplněná čísla vynásobíš místo sečtení, nebo napíšeš součin strany.
Na konci si otázku přečti znovu a zakroužkuj, co přesně chce.
Necháš v kroužku zlomek nebo nulu, protože ti tak vyšlo dělení.
Zadání chce kladná celá čísla. Když dělení nevyjde celé, hledej chybu: většinou je v tom, které strany porovnáváš, nebo v násobení.
V pyramidě sečteš každé spodní číslo jen jednou: $3 + x + 5 + 2 = 50$ , a vyjde $x = 40$ .
Piš výraz do každé cihly zvlášť. Prostřední čísla se do vrcholu dostanou víckrát.

Zkus si

Na každé straně čtverce má být stejný součet tří čísel (viz obrázek). Která čísla patří do kroužků a a b?

Ukaž řešení

Plná strana. Horní strana je celá: $3 + 8 + 6 = 17$ . Na každé straně je tedy součet 17.
Pravá strana. $6 + a + 4 = 17$ , tedy $a = 17 - 10 = 7$ .
Dolní strana. $4 + 1 + b = 17$ , tedy $b = 17 - 5 = 12$ .
Zkouška. Levá strana $12 + 2 + 3 = 17$ . Sedí.

Výsledeka = 7, b = 12

Tenhle trojúhelník má na každé straně čtyři kroužky. Součin čtyř čísel na každé straně má být stejný (viz obrázek). Která kladná celá čísla patří do kroužků a a b?

Ukaž řešení

Strany. Levá $a \cdot 5 \cdot 9 \cdot 2$ , pravá $a \cdot 3 \cdot 2 \cdot b$ , dolní $2 \cdot 7 \cdot 6 \cdot b$ . Žádná strana není celá. Levá a dolní strana mají společné jen známé číslo 2, ty neporovnávej.
Číslo b. Levá a pravá strana mají společné $a$ , vyděl jím: $5 \cdot 9 \cdot 2 = 3 \cdot 2 \cdot b$ . To je $90 = 6 \cdot b$ , tedy $b = 90 : 6 = 15$ .
Číslo a. Pravá a dolní strana mají společné $b$ : $a \cdot 3 \cdot 2 = 2 \cdot 7 \cdot 6$ . To je $6 \cdot a = 84$ , tedy $a = 84 : 6 = 14$ .
Zkouška. Levá $14 \cdot 5 \cdot 9 \cdot 2 = 1260$ , pravá $14 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 15 = 1260$ , dolní $2 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 15 = 1260$ . Všechny tři strany mají stejný součin.

Výsledeka = 14, b = 15

Procvič si to

Pět úloh tohoto typu, pokaždé s jinými čísly. Opraví se samy a u chyby uvidíš postup.