Poměr a díly

Co poměr říká, jak ho zkrátit a jak z poměru a součtu nebo rozdílu spočítat obě čísla.

V testuÚloha za 1 bod na začátku testu (čísla v poměru a jejich dvojnásobky) a podúlohy úlohy 15 (rozdělení v poměru, část celku). Díly z poměru potřebuješ i v procentech a ve slovních úlohách.

Co potřebuješ znát

Co říká poměr

Poměr chlapců a dívek 3 : 5 říká: na každé 3 díly chlapců připadá 5 dílů dívek. Všechny díly jsou stejně velké.

Pořadí čísel odpovídá pořadí veličin v zadání. Poměr dívek a chlapců by byl 5 : 3.

Poměr a část celku

Při poměru 3 : 5 je dílů dohromady $3 + 5 = 8$ . Chlapci tvoří $\frac{3}{8}$ všech dětí, dívky $\frac{5}{8}$ . Zlomek $\frac{3}{5}$ porovnává chlapce s dívkami, ne s celkem.

Krácení a základní tvar

Oba členy poměru můžeš vynásobit nebo vydělit stejným číslem (ne nulou), poměr se nezmění. $12 : 18 = 2 : 3$ , oba členy jsou vydělené šesti.

V základním tvaru jsou členy přirozená čísla, která nemají společného dělitele většího než 1. Poměr veličin převeď nejdřív na stejné jednotky: 40 cm : 2 m je $40 : 200 = 1 : 5$ .

Čísla z poměru a součtu

Na výlet jede 56 dětí, chlapců a dívek v poměru 3 : 5. Dílů je $3 + 5 = 8$ , jeden díl je $56 : 8 = 7$ dětí. Chlapců je $3 \cdot 7 = 21$ , dívek $5 \cdot 7 = 35$ .

Osm stejných dílů po 7 dětech.

Čísla z poměru a rozdílu

Když víš, že dívek je o 14 víc, je rozdíl $5 - 3 = 2$ díly. Jeden díl je $14 : 2 = 7$ dětí.

TipSoučet dělíš součtem dílů, rozdíl rozdílem dílů.

Dvojnásobky a trojnásobky

Dvě čísla jsou v poměru 3 : 7 a jejich dvojnásobky se liší o 48. Dvojnásobky se liší dvakrát víc než samotná čísla. Samotná čísla se proto liší o $48 : 2 = 24$ .

Rozdíl 24 připadá na $7 - 3 = 4$ díly. Jeden díl je $24 : 4 = 6$ . Čísla jsou $3 \cdot 6 = 18$ a $7 \cdot 6 = 42$ .

TipNejdřív zjisti součet nebo rozdíl samotných čísel. Teprve ten rozděl na díly.

Nejdřív odečti, pak děl

Když se z celku nejdřív něco zaplatí nebo odebere, dělí se v poměru až zbytek. Spočítej zbytek a teprve ten rozděl na díly.

Jak na to

Zapiš, kolik dílů patří ke každé veličině, ve stejném pořadí jako v zadání.
Když zadání mluví o dvojnásobcích nebo trojnásobcích, převeď údaj na samotná čísla.
Zjisti, kolika dílům odpovídá známé číslo (součet, rozdíl nebo jedna veličina).
Vyděl a máš jeden díl.
Vynásob počtem dílů hledané veličiny.

Řešené příklady

Příklad 1: Z poměru a rozdílu

Ve sbírce jsou známky a pohlednice v poměru 4 : 9. Pohlednic je o 85 víc než známek. Kolik známek a pohlednic je ve sbírce dohromady?

Řešení

Rozdíl v dílech. Pohlednice mají o $9 - 4 = 5$ dílů víc než známky.
Jeden díl. 5 dílů je 85 kusů: $85 : 5 = 17$ .
Celá sbírka. Dílů je dohromady $4 + 9 = 13$ : $13 \cdot 17 = 221$ kusů.
Kontrola. Známek je $4 \cdot 17 = 68$ , pohlednic $9 \cdot 17 = 153$ , rozdíl $153 - 68 = 85$ . Sedí to.

OdpověďVe sbírce je dohromady 221 známek a pohlednic.

Příklad 2: Rozdělení zbytku

Tomáš a Jana dostali za brigádu dohromady 5 600 Kč. Nejdřív zaplatili 640 Kč za vstupenky pro oba a zbytek si rozdělili v poměru odpracovaných hodin Tomáš : Jana = 3 : 5. Kolik korun dostala Jana?

Řešení

Zbytek. V poměru se dělí až zbytek: $5\,600 - 640 = 4\,960$ Kč.
Jeden díl. Dílů je $3 + 5 = 8$ : $4\,960 : 8 = 620$ Kč.
Jana. Jana má 5 dílů: $5 \cdot 620 = 3\,100$ Kč.

OdpověďJana dostala 3 100 Kč.

Časté chyby

Prohodíš členy poměru a Janě dáš 3 díly místo 5.
Pořadí čísel v poměru odpovídá pořadí jmen nebo veličin v zadání.
Rozdíl vydělíš součtem dílů: 85 děleno 13.
Rozdíl patří k rozdílu dílů, součet k součtu dílů.
Při poměru 3 : 5 napíšeš, že chlapci tvoří $\frac{3}{5}$ všech dětí.
Celek má $3 + 5 = 8$ dílů. Chlapci tvoří $\frac{3}{8}$ .
Rozdíl dvojnásobků vezmeš jako rozdíl samotných čísel.
Dvojnásobky se liší dvakrát víc. Rozdíl nejdřív vyděl dvěma.
Odpovíš jedním dílem nebo číslem, na které se neptají.
Na konci vynásob díl počtem dílů té veličiny, na kterou se ptají.
V poměru rozdělíš celou částku, i tu, která se měla nejdřív zaplatit.
Nejdřív odečti, co se nedělí. V poměru rozděl až zbytek.
Poměr veličin v různých jednotkách zkrátíš bez převodu: 40 cm : 2 m jako 20 : 1.
Nejdřív obě veličiny převeď na stejnou jednotku: $40 : 200 = 1 : 5$ .

Zkus si

Zkrať poměr 36 : 48 na základní tvar.

Ukaž řešení

Společný dělitel. Obě čísla jsou dělitelná 12: $36 : 12 = 3$ a $48 : 12 = 4$ .

Výsledek3 : 4

Nápoj se míchá z džusu a vody v poměru 2 : 7. Kolik ml džusu je v 1 350 ml nápoje?

Ukaž řešení

Díly. Dílů je $2 + 7 = 9$ .
Jeden díl. $1\,350 : 9 = 150$ ml.
Džus. $2 \cdot 150 = 300$ ml.

Výsledek300 ml

Procvič si to

Pět úloh tohoto typu, pokaždé s jinými čísly. Opraví se samy a u chyby uvidíš postup.