Dva poměry, směna a změna poměru

Jak spojit dva poměry se společnou veličinou, jak měnit zboží přes společnou jednotku a co dělat, když se poměr změní.

V testuSměna přes společnou jednotku bývá ve výběru z pěti možností za 2 body. Tři veličiny spojené přes jednu společnou se objevily v přiřazení (úloha 15). Změna poměru v testech 2024–2026 nebyla, procvičíš na ní ale práci s díly.

Co potřebuješ znát

Postupný poměr

A : B = 5 : 4 a B : C = 2 : 3. Veličina B je v obou poměrech, ale jednou má 4 díly a jednou 2. Rozšiř druhý poměr dvěma: B : C = 4 : 6. Teď má B v obou poměrech 4 díly a platí A : B : C = 5 : 4 : 6.

TipSpolečná veličina musí mít v obou poměrech stejný počet dílů. Teprve pak díly sčítej.

Směna přes společnou jednotku

Na pouti je 1 jízda na kolotoči za 12 žetonů a 1 tričko za 8 žetonů. Kolik triček koupíš za tolik žetonů, kolik stojí 6 jízd? Převeď všechno na žetony: 6 jízd je $6 \cdot 12 = 72$ žetonů a to je $72 : 8 = 9$ triček.

Změna poměru

Na hřišti byli chlapci a dívky v poměru 3 : 2. Přišlo 10 dívek a poměr je teď 3 : 4. Chlapců je pořád stejně a v obou poměrech mají 3 díly, takže díly jsou stejně velké. Dívky měly 2 díly, teď mají 4. Přibyly 2 díly a to je 10 dívek. Jeden díl je 5, chlapců je $3 \cdot 5 = 15$ .

TipVeličina, která se nemění, musí mít v obou poměrech stejný počet dílů. Když nemá, poměry nejdřív rozšiř.

Jak na to

Najdi veličinu, která je v obou poměrech, nebo se nemění.
Rozšiř poměry tak, aby měla v obou stejný počet dílů.
Z čísla v zadání spočítej jeden díl.
Dopočítej hledanou veličinu.

Řešené příklady

Příklad 1: Tři podle dvou poměrů

Tři bratři si rozdělili 9 100 Kč. Petr a Jirka dostali částky v poměru 3 : 4, Jirka a Karel v poměru 2 : 3. Kolik korun dostal Karel?

Řešení

Společný člen. Jirka má v prvním poměru 4 díly a ve druhém 2. Druhý poměr rozšiř dvěma: Jirka : Karel = 4 : 6.
Postupný poměr. Petr : Jirka : Karel = 3 : 4 : 6, dohromady $3 + 4 + 6 = 13$ dílů.
Jeden díl. $9\,100 : 13 = 700$ Kč.
Karel. $6 \cdot 700 = 4\,200$ Kč.

OdpověďKarel dostal 4 200 Kč.

Příklad 2: Změna poměru

Ve třídě byli chlapci a dívky v poměru 4 : 5. Do třídy přestoupili 3 noví chlapci a poměr je teď 1 : 1. Kolik dívek je ve třídě?

Řešení

Co se nemění. Dívek je pořád stejně. Před změnou měly 5 dílů.
Nový poměr ve stejných dílech. $1 : 1 = 5 : 5$ . Dívky mají pořád 5 dílů a chlapci teď také 5 dílů.
Jeden díl. Chlapci měli 4 díly, teď mají 5. Přibyl 1 díl a to jsou 3 chlapci.
Dívky. $5 \cdot 3 = 15$ .

OdpověďVe třídě je 15 dívek.

Časté chyby

Sečteš díly ze dvou poměrů a předtím je nesladíš: $3 + 4 + 2 + 3$ .
Nejdřív rozšiř poměry, aby společná veličina měla stejný počet dílů. Pak má každá veličina jen jedno číslo.
Při směně odpovíš počtem žetonů (72) místo počtem triček.
Převeď všechno na společnou jednotku. Pak spočítej, kolikrát se do ní vejde cena jednoho kusu.
Při změně poměru počítáš, jako by se změnily obě veličiny.
Najdi veličinu, která se nemění. Ta drží velikost dílu.
Odpovíš počtem dílů místo počtem kusů nebo korun.
Na konci vynásob počet dílů velikostí jednoho dílu.

Zkus si

Na výměnném trhu dají za 1 knihu 6 komiksů a za 1 deskovou hru 15 komiksů. Kolik knih dostaneš za 4 deskové hry?

Ukaž řešení

Na komiksy. 4 deskové hry jsou $4 \cdot 15 = 60$ komiksů.
Na knihy. $60 : 6 = 10$ knih.

Výsledek10 knih

Platí A : B = 2 : 3 a B : C = 6 : 5. Napiš poměr A : B : C.

Ukaž řešení

Společný člen. B má v prvním poměru 3 díly, ve druhém 6. První poměr rozšiř dvěma: A : B = 4 : 6.
Postupný poměr. A : B : C = 4 : 6 : 5.

Výsledek4 : 6 : 5

Procvič si to

Pět úloh tohoto typu, pokaždé s jinými čísly. Opraví se samy a u chyby uvidíš postup.