Lineární rovnice: závorky a desetinná čísla

Jak upravovat rovnici krok po kroku, až zbude samotné $x$ : převádění členů, závorky, minus před závorkou, desetinná čísla a zkouška.

V testuRovnice s desetinnými čísly je jedna ze dvou rovnic úlohy 4 (v roce 2024 a v roce 2025 ve variantách B–D úlohy 5) za 2 body s postupem. V testech 2024–2026 byla šestkrát, skoro vždy se závorkou. Postup z této kapitoly potřebuješ u každé rovnice.

Co potřebuješ znát

Cíl: samotné x

Rovnici upravuješ tak dlouho, až na jedné straně zbude samotná neznámá a na druhé číslo. Každý krok je ekvivalentní úprava, a tak se kořen nemění.

Rovnice $5x - 7 = 2x + 8$ :

člen $2x$ převeď doleva a číslo $-7$ doprava: $5x - 2x = 8 + 7$ ,
sečti: $3x = 15$ ,
obě strany vyděl třemi: $x = 15 : 3 = 5$ .

Převedený člen změní znaménko

Převést člen na druhou stranu znamená odečíst ho na obou stranách, nebo ho přičíst, když má minus. Když od obou stran rovnice $5x - 7 = 2x + 8$ odečteš $2x$ , zbude vlevo $5x - 2x - 7$ a vpravo jen $8$ . Člen $2x$ zmizel zprava a vlevo se objevil s minusem.

Číslo $-7$ převedeš tak, že k oběma stranám přičteš $7$ . Vlevo zmizí a vpravo se objeví s plusem: $5x - 2x = 8 + 7$ .

TipPřeváděj celé členy i se znaménkem, které stojí před nimi.

Závorky

Číslo před závorkou vynásob s každým členem v závorce, nejen s prvním:

0{,}4 \cdot (5x - 3) = 2x - 1{,}2

Minus před závorkou změní znaménka všech členů v ní:

-(2 - x) = -2 + x

Minus před součinem se závorkou funguje stejně. Nejdřív spočítej součin a pak ho celý odečti:

-(4x - 5) \cdot 0{,}3 = -(1{,}2x - 1{,}5) = -1{,}2x + 1{,}5

\begin{aligned} -(4x - 5) \cdot 0{,}3 &= -(1{,}2x - 1{,}5) \\ &= -1{,}2x + 1{,}5 \end{aligned}

Desetinná čísla

S desetinnými čísly počítej jako s celými, jen hlídej desetinnou čárku. Při násobení spočítej součin bez čárek a pak odděl tolik desetinných míst, kolik jich mají oba činitelé dohromady: $4 \cdot 0{,}15x = 0{,}60x = 0{,}6x$ .

Násobení a dělení mají přednost před sčítáním a odčítáním. Když rovnice začíná $3{,}6 : 4 - x$ , nejdřív vyděl: $3{,}6 : 4 = 0{,}9$ . Zlomek s neznámou přepiš desetinně: $\frac{x}{4} = 0{,}25x$ .

TipKdyž ti desetinná čísla vadí, vynásob celou rovnici deseti nebo stem. Z $0{,}3x + 1{,}2 = 0{,}5x$ je po vynásobení deseti $3x + 12 = 5x$ . Násob každý člen. U součinu se závorkou vynásob jen číslo před závorkou: $10 \cdot 0{,}2 \cdot (7x - 4) = 2 \cdot (7x - 4)$ .

Poslední krok a zkouška

Na konci zbude třeba $-2{,}5x = 7{,}5$ . Obě strany vyděl číslem u $x$ , i se znaménkem: $x = 7{,}5 : (-2{,}5) = -3$ . Bez tohoto kroku je řešení nedokončené a v testu přijdeš o bod.

Zkouška: kořen dosaď do zadání a spočítej levou a pravou stranu zvlášť. Obě musí vyjít stejně.

Jak na to

Roznásob závorky. Hlídej minus před závorkou.
Na každé straně sečti podobné členy: zvlášť členy s $x$ , zvlášť čísla.
Členy s $x$ převeď na jednu stranu, čísla na druhou. Převedený člen změní znaménko.
Sečti a obě strany vyděl číslem u $x$ .
Udělej zkoušku: kořen dosaď do zadání.

Řešené příklady

Příklad 1: Desetinná čísla na obou stranách

Řeš rovnici: $0{,}2 \cdot (7x - 4) = 0{,}5 \cdot (2x + 1) - 1{,}9$

Řešení

Roznásob závorky. Číslem před závorkou vynásob oba členy v závorce: $1{,}4x - 0{,}8 = x + 0{,}5 - 1{,}9$ .
Sečti podobné členy. Vpravo sečti čísla: $1{,}4x - 0{,}8 = x - 1{,}4$ .
Převeď členy. Člen $x$ převeď doleva a číslo $-0{,}8$ doprava. Oba změní znaménko: $1{,}4x - x = -1{,}4 + 0{,}8$ .
Sečti. $0{,}4x = -0{,}6$ .
Vyděl. Obě strany vyděl číslem $0{,}4$ : $x = -0{,}6 : 0{,}4 = -1{,}5$ .
Zkouška. Levá strana: $0{,}2 \cdot (7 \cdot (-1{,}5) - 4) = 0{,}2 \cdot (-14{,}5) = -2{,}9$ . Pravá strana: $0{,}5 \cdot (2 \cdot (-1{,}5) + 1) - 1{,}9 = -1 - 1{,}9 = -2{,}9$ . Obě strany se rovnají.

OdpověďKořen rovnice je $x = -1{,}5$ .

Příklad 2: Minus před součinem

Řeš rovnici: $0{,}3x - (2x - 3) \cdot 0{,}4 = 2 \cdot (0{,}15x - 0{,}2)$

Řešení

Spočítej součin. Závorku vynásob číslem $0{,}4$ , a to oba členy: $(2x - 3) \cdot 0{,}4 = 0{,}8x - 1{,}2$ .
Odstraň závorky. Před součinem je minus, změní znaménka obou členů. Vpravo vynásob dvěma: $0{,}3x - 0{,}8x + 1{,}2 = 0{,}3x - 0{,}4$ .
Odečti stejný člen. Člen $0{,}3x$ je na obou stranách. Odečti ho od obou stran: $-0{,}8x + 1{,}2 = -0{,}4$ .
Převeď číslo. $-0{,}8x = -0{,}4 - 1{,}2$ , tedy $-0{,}8x = -1{,}6$ .
Vyděl. $x = -1{,}6 : (-0{,}8) = 2$ .
Zkouška. Levá strana: $0{,}3 \cdot 2 - (2 \cdot 2 - 3) \cdot 0{,}4 = 0{,}6 - 0{,}4 = 0{,}2$ . Pravá strana: $2 \cdot (0{,}15 \cdot 2 - 0{,}2) = 2 \cdot 0{,}1 = 0{,}2$ . Obě strany se rovnají.

OdpověďKořen rovnice je $x = 2$ .

Časté chyby

Před součinem je minus a ty změníš znaménko jen u prvního členu: $-(2x - 3) \cdot 0{,}4$ přepíšeš jako $-0{,}8x - 1{,}2$ .
Nejdřív spočítej součin, $(2x - 3) \cdot 0{,}4 = 0{,}8x - 1{,}2$ , a teprve pak ho celý odečti: $-0{,}8x + 1{,}2$ .
Číslem před závorkou vynásobíš jen první člen: $0{,}2 \cdot (7x - 4)$ přepíšeš jako $1{,}4x - 4$ .
Spoj si obloučkem číslo před závorkou s každým členem v ní a každý součin napiš.
Spleteš se v desetinné čárce: $4 \cdot 0{,}15x$ spočítáš jako $0{,}06x$ .
Spočítej součin bez čárek, $4 \cdot 15 = 60$ , a odděl dvě desetinná místa: $0{,}60x = 0{,}6x$ .
Převedeš člen na druhou stranu a necháš mu stejné znaménko.
Převést člen znamená odečíst ho (nebo přičíst) na obou stranách. Znaménko se proto vždy změní.
Skončíš u $0{,}4x = -0{,}6$ a poslední krok vynecháš.
Poslední řádek musí být samotné $x$ . Obě strany vyděl číslem u $x$ . Bez tohoto kroku dostaneš v testu jen 1 bod.
Z $0{,}4x = -0{,}6$ uděláš $x = -0{,}6 \cdot 0{,}4$ : obě strany vynásobíš místo dělení.
Číslo u $x$ neznámou násobí, a tak ho odstraníš dělením. Násobení místo dělení je chybná úprava a v testu za ni dostaneš 0 bodů.

Zkus si

Řeš rovnici: $2{,}5 - (0{,}5x - 3) = 0{,}3 \cdot (x + 5)$

Ukaž řešení

Odstraň závorky. $2{,}5 - 0{,}5x + 3 = 0{,}3x + 1{,}5$ .
Sečti a převeď. $5{,}5 - 0{,}5x = 0{,}3x + 1{,}5$ , tedy $-0{,}5x - 0{,}3x = 1{,}5 - 5{,}5$ a $-0{,}8x = -4$ .
Vyděl. $x = -4 : (-0{,}8) = 5$ .
Zkouška. $2{,}5 - (2{,}5 - 3) = 3$ a $0{,}3 \cdot 10 = 3$ .

Výsledek $x = 5$

Řeš rovnici: $\frac{x}{4} + 0{,}5 \cdot (x - 6) = 4{,}5 : 3$

Ukaž řešení

Uprav členy. Vpravo nejdřív vyděl: $4{,}5 : 3 = 1{,}5$ . Zlomek přepiš: $\frac{x}{4} = 0{,}25x$ . Vlevo roznásob: $0{,}25x + 0{,}5x - 3 = 1{,}5$ .
Sečti a převeď. $0{,}75x = 1{,}5 + 3$ , tedy $0{,}75x = 4{,}5$ .
Vyděl. $x = 4{,}5 : 0{,}75 = 6$ .
Zkouška. Levá strana: $\frac{6}{4} + 0{,}5 \cdot (6 - 6) = 1{,}5$ . Pravá strana: $4{,}5 : 3 = 1{,}5$ .

Výsledek $x = 6$

Procvič si to

Pět úloh tohoto typu, pokaždé s jinými čísly. Opraví se samy a u chyby uvidíš postup.