Rovnice

Rovnice jako váhy

V rovnici jsou dva výrazy spojené rovnítkem: levá strana a pravá strana. V rovnici je neznámá, třeba $x$. Číslo, které po dosazení za neznámou dá na obou stranách totéž, je kořen rovnice.

Představ si rovnici jako váhy v rovnováze. Na levé misce jsou tři stejné pytlíky a dvě kostky, na pravé jedenáct kostek. Kostka váží 1, pytlík neznámou hmotnost $x$.

Ekvivalentní úpravy

Váhy zůstanou v rovnováze, když s oběma miskami uděláš totéž. Z každé misky odeber dvě kostky. Zbudou tři pytlíky proti devíti kostkám.

Teď obě strany vyděl třemi. Třetina levé misky je jeden pytlík, třetina pravé tři kostky. Jeden pytlík tedy váží tolik jako tři kostky: $x = 3$.

Úpravy, které dělají totéž s oběma stranami, jsou ekvivalentní úpravy. Kořen se jimi nezmění. Smíš:

• přičíst nebo odečíst stejné číslo nebo stejný člen na obou stranách,
• vynásobit obě strany stejným číslem, které není nula,
• vydělit obě strany stejným číslem, které není nula,
• upravit jednu stranu tak, aby se její hodnota nezměnila: roznásobit závorku, sečíst podobné členy.

Tip„Převést člen na druhou stranu“ znamená odečíst ho (nebo přičíst) na obou stranách. Proto převedený člen změní znaménko: z $3x + 2 = 11$ je $3x = 11 - 2$.

Zkouška

Zkouška ověří kořen. Dosaď ho do zadání a spočítej levou a pravou stranu zvlášť. Když vyjde stejné číslo, kořen je správně. Pro $x = 3$ je levá strana $3 \cdot 3 + 2 = 11$ a pravá strana $11$.

TipDosazuj do zadání, ne do upravené rovnice. Chyba z prvního řádku by se jinak neukázala.

V testu zadání říká „zkoušku nezapisujte“. Udělej ji jen pro sebe na papír na poznámky.

Kde v testu rovnice najdeš

• Úloha 4 (v roce 2024 a v roce 2025 ve variantách B–D úloha 5): dvě rovnice po 2 bodech (pokyn „Řešte rovnici“, v roce 2024 „Řešte rovnice“), nebo jedna rovnice a „Řešte soustavu rovnic“. Je v každém testu.
• Úlohy 12–14 (v roce 2024 i úloha 11): slovní úloha, kterou vyřeší rovnice, výběr z pěti možností za 2 body.
• Úlohy 5–7 (v roce 2024 úlohy 6–8): slovní úloha s podúlohami. Výraz z ní vykládá téma Výrazy, poslední podúloha se často řeší rovnicí.
• Úloha 15 (v roce 2024 úloha 16): přiřazení. Rovnice z procent vykládá téma Procenta.

V testech 2024–2026 daly samotné rovnice 50 bodů ze 600, tedy 4 až 6 bodů v každém testu.

Boduje se postup

Úloha s rovnicemi chce v záznamovém archu celý postup řešení a dodává „zkoušku nezapisujte“. Samotný výsledek bez postupu nedostane žádný bod.

• 2 body: správný kořen a správný postup.
• 1 bod: v postupu je právě jeden nedostatek. Jeden člen je upravený chybně, nebo chybí poslední krok (zůstane třeba $4x = -3$), u rovnice bez řešení chybí závěr, u soustavy je správně jen jedna neznámá.
• 0 bodů: postup chybí, úprava je chybná od základu (třeba místo dělení odčítáš), nebo jsou v postupu dvě chyby.

TipPiš každý krok na nový řádek jako celou rovnici. Poslední řádek je samotné $x$, nebo věta se závěrem.

Jak zapsat výsledek do aplikace

Aplikace postup nevidí, kontroluje jen výsledek. Postup si proto piš na papír stejně jako v testu. Pak zapiš:

• kořen jako celé číslo, desetinné číslo s čárkou (−1,5) nebo zlomek s lomítkem (3/4), stačí i zápis x = 3/4,
• závěr, když rovnice v celé úloze s rovnicemi nemá jediný kořen: vyber ho pod políčkem,
• rovnici se zvláštním výsledkem samostatně: vyber jednu z pěti možností (kořen, „nemá řešení“, „každé číslo“),
• soustavu po neznámých: $x$ a $y$ do dvou políček,
• slovní úlohu výběrem jedné z pěti možností, u všech řešení vybíráš celou skupinu čísel.

TipKořen může vyjít záporný, desetinný, zlomek i nula. Nehledej chybu jen proto, že nevyšlo celé číslo.