Rovnice se zlomky

Jak se zbavit zlomků společným jmenovatelem, jak násobit zlomek před závorkou a zlomek s dvojčlenem v čitateli a co udělá minus před zlomkem.

V testuNejčastější rovnice testu. Zlomky měla polovina všech rovnic v úloze s rovnicemi v testech 2024–2026: šest se zlomkem před závorkou nebo u neznámé, šest s dvojčlenem v čitateli. Každá za 2 body s postupem.

Co potřebuješ znát

Zbav se zlomků

Rovnici se zlomky vynásob společným jmenovatelem všech zlomků, tedy číslem, které je dělitelné všemi jmenovateli. Nejlépe nejmenším takovým číslem. Zlomky zmizí a dál řešíš rovnici bez zlomků.

Váhy zůstanou v rovnováze, když obě misky zvětšíš stejněkrát. Proto násob každý člen na obou stranách, i číslo, které zlomek nemá.

Rovnice $\frac{x}{3} + 2 = \frac{x}{4} + 3$ má jmenovatele 3 a 4, nejmenší společný jmenovatel je 12. Po vynásobení dvanácti: $4x + 24 = 3x + 36$ . Odtud $x = 36 - 24 = 12$ .

TipPro jmenovatele 4 a 6 je nejmenší společný jmenovatel 12. Jejich součin 24 je také společný jmenovatel a vyjde to s ním taky, jen počítáš s většími čísly.

Zlomek před závorkou

Zlomek před závorkou vynásob s každým členem v závorce. Zlomek krát celé číslo: vynásob čitatel a zkrať.

\frac{2}{3} \cdot (6x - 9) = \frac{12}{3}x - \frac{18}{3} = 4x - 6

\begin{aligned} \frac{2}{3} \cdot (6x - 9) &= \frac{12}{3}x - \frac{18}{3} \\ &= 4x - 6 \end{aligned}

Zlomek krát zlomek: čitatel krát čitatel, jmenovatel krát jmenovatel. Zkrať dřív, než násobíš:

\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{9} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}

\begin{aligned} \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{9} &= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \\ &= \frac{1}{6} \end{aligned}

Druhá cesta: nejdřív vynásob celou rovnici jmenovatelem zlomku před závorkou. Z rovnice $\frac{1}{4} \cdot (x + 6) = x$ je po vynásobení čtyřmi $x + 6 = 4x$ .

Celé číslo před závorkou se zlomky vynásob s každým zlomkem a zkrať. Minus před číslem změní znaménka obou členů:

6 \cdot \left(\frac{5}{6} - \frac{x}{4}\right) = 5 - \frac{3}{2}x

-4 \cdot \left(\frac{x}{8} - \frac{3}{4}\right) = -\frac{x}{2} + 3

Když jsou v závorce podobné členy, nejdřív je sečti a pak násob: $\left(x + \frac{x}{4}\right) \cdot 2 = \frac{5}{4}x \cdot 2 = \frac{5}{2}x$ .

TipZápisy $\frac{1}{3}x$ a $\frac{x}{3}$ znamenají totéž: třetinu z $x$ . V testu se střídají oba.

Dvojčlen v čitateli

Zlomková čára funguje jako závorka. Když zlomek $\frac{x - 5}{4}$ násobíš dvanácti, dostaneš trojnásobek celého čitatele. Čitatel proto dej do závorky:

12 \cdot \frac{x - 5}{4} = 3 \cdot (x - 5) = 3x - 15

\begin{aligned} 12 \cdot \frac{x - 5}{4} &= 3 \cdot (x - 5) \\ &= 3x - 15 \end{aligned}

Číslem za zlomkem vynásob jen čitatel, zase celý: $\frac{x + 1}{3} \cdot 2 = \frac{2 \cdot (x + 1)}{3} = \frac{2x + 2}{3}$ .

Minus před zlomkem

Minus před zlomkem patří celému čitateli. Po vynásobení společným jmenovatelem zůstane před závorkou:

6 \cdot \left(-\frac{2 - x}{3}\right) = -2 \cdot (2 - x) = -4 + 2x

\begin{aligned} 6 \cdot \left(-\frac{2 - x}{3}\right) &= -2 \cdot (2 - x) \\ &= -4 + 2x \end{aligned}

TipPo vynásobení napiš každý čitatel do závorky a závorky roznásob až v dalším řádku. Minus i číslo před závorkou pak působí na celý čitatel.

Kořen jako zlomek

Kořen nemusí vyjít celý. Z $12x = -15$ obě strany vyděl dvanácti: $x = -\frac{15}{12} = -\frac{5}{4}$ . Zlomek zkrať. Do aplikace můžeš napsat −5/4 i −1,25.

Jak na to

Najdi nejmenšího společného jmenovatele všech zlomků v rovnici.
Vynásob jím každý člen na obou stranách. Čitatele dej do závorek.
Roznásob závorky. Hlídej minus před nimi.
Členy s $x$ převeď na jednu stranu, čísla na druhou, sečti a vyděl.
Kořen zkrať a udělej zkoušku.

Řešené příklady

Příklad 1: Dvojčlen v čitateli a minus před zlomkem

Řeš rovnici: $\frac{3x - 1}{4} - \frac{x + 5}{6} = 4 - \frac{x - 4}{3}$

Řešení

Společný jmenovatel. Jmenovatelé jsou 4, 6 a 3. Nejmenší číslo dělitelné všemi třemi je 12.
Vynásob dvanácti. Vynásob každý člen, i samotné číslo $4$ . Čitatele dej do závorek: $3 \cdot (3x - 1) - 2 \cdot (x + 5) = 48 - 4 \cdot (x - 4)$ .
Roznásob závorky. Minus před závorkou změní znaménka obou členů v ní: $9x - 3 - 2x - 10 = 48 - 4x + 16$ .
Sečti podobné členy. $7x - 13 = 64 - 4x$ .
Převeď členy. $7x + 4x = 64 + 13$ , tedy $11x = 77$ .
Vyděl. $x = 77 : 11 = 7$ .
Zkouška. Levá strana: $\frac{3 \cdot 7 - 1}{4} - \frac{7 + 5}{6} = 5 - 2 = 3$ . Pravá strana: $4 - \frac{7 - 4}{3} = 4 - 1 = 3$ . Obě strany se rovnají.

OdpověďKořen rovnice je $x = 7$ .

Příklad 2: Zlomek před závorkou a kořen zlomkem

Řeš rovnici: $\frac{3}{4} \cdot (2x + 6) = \frac{4}{3} \cdot (x + 3) - \frac{x}{2}$

Řešení

Roznásob závorky. Zlomek před závorkou vynásob s oběma členy a zkrať: $\frac{3}{2}x + \frac{9}{2} = \frac{4}{3}x + 4 - \frac{x}{2}$ .
Vynásob šesti. Jmenovatelé jsou 2 a 3, společný jmenovatel je 6. Vynásob každý člen, i číslo $4$ : $9x + 27 = 8x + 24 - 3x$ .
Sečti podobné členy. $9x + 27 = 5x + 24$ .
Převeď členy. $9x - 5x = 24 - 27$ , tedy $4x = -3$ .
Vyděl. $x = -3 : 4 = -\frac{3}{4}$ .
Zkouška. Levá strana: $\frac{3}{4} \cdot \left(2 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) + 6\right) = \frac{3}{4} \cdot \frac{9}{2} = \frac{27}{8}$ . Pravá strana: $\frac{4}{3} \cdot \left(-\frac{3}{4} + 3\right) - \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) = 3 + \frac{3}{8} = \frac{27}{8}$ . Obě strany se rovnají.

OdpověďKořen rovnice je $x = -\frac{3}{4}$ .

Časté chyby

Jmenovatelem vynásobíš jen zlomky a člen bez zlomku necháš: z $\frac{x}{3} + 2 = \frac{x}{4}$ uděláš $4x + 2 = 3x$ .
Násobíš celé strany, tedy každý člen. Ke každému členu si napiš, čím ho násobíš.
Dvojčlen v čitateli vynásobíš jen zčásti: $12 \cdot \frac{x - 5}{4}$ přepíšeš jako $3x - 5$ .
Čitatel dej do závorky a vynásob celý: $3 \cdot (x - 5) = 3x - 15$ .
Minus před zlomkem změní znaménko jen u prvního členu čitatele: z $-\frac{x + 5}{6}$ po vynásobení dvanácti uděláš $-2x + 10$ .
Minus patří celému čitateli: $-2 \cdot (x + 5) = -2x - 10$ .
Zlomek násobíš číslem tak, že vynásobíš čitatel i jmenovatel: $\frac{3}{4} \cdot 2$ spočítáš jako $\frac{6}{8}$ .
Číslem násob jen čitatel: $\frac{3}{4} \cdot 2 = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ . Hodnota se tím opravdu zdvojnásobí.
Za společného jmenovatele vezmeš součin všech jmenovatelů a čísla ti zbytečně narostou: místo 12 počítáš se 72.
Hledej nejmenší číslo, které je dělitelné všemi jmenovateli.
Na konci dělíš obráceně: z $4x = -3$ napíšeš $x = -\frac{4}{3}$ .
Vždy děl číslem, které stojí u $x$ : $x = -3 : 4 = -\frac{3}{4}$ .

Zkus si

Řeš rovnici: $\frac{x + 4}{3} - \frac{x - 1}{2} = 1$

Ukaž řešení

Vynásob šesti. $2 \cdot (x + 4) - 3 \cdot (x - 1) = 6$ .
Roznásob. Minus před závorkou změní obě znaménka: $2x + 8 - 3x + 3 = 6$ , tedy $-x + 11 = 6$ .
Dořeš. $-x = -5$ , tedy $x = 5$ .
Zkouška. $\frac{9}{3} - \frac{4}{2} = 3 - 2 = 1$ .

Výsledek $x = 5$

Řeš rovnici: $\frac{3}{4}x - 2 = \frac{x}{3} - \frac{5}{2}$

Ukaž řešení

Vynásob dvanácti. $9x - 24 = 4x - 30$ .
Převeď. $9x - 4x = -30 + 24$ , tedy $5x = -6$ .
Vyděl. $x = -6 : 5 = -\frac{6}{5}$ , desetinně $-1{,}2$ .

Výsledek $x = -\frac{6}{5}$

Procvič si to

Pět úloh tohoto typu, pokaždé s jinými čísly. Opraví se samy a u chyby uvidíš postup.