Slovní úloha řešená rovnicí

Jak z textu sestavit rovnici, jak poznat, na co se úloha ptá, a jak najít všechna řešení, když jich úloha má víc.

V testuVýběr z pěti možností za 2 body v úlohách 12–14 (v roce 2024 i v úloze 11), v devíti z dvanácti testů 2024–2026 aspoň jednou. Úloha „najděte všechna řešení“ byla v roce 2025 (varianta D, úloha 7) za 3 body.

Co potřebuješ znát

Od textu k rovnici

Neznámá. Písmenem označ hodnotu, se kterou se ostatní porovnávají. Často to není hodnota, na kterou se úloha ptá.
Výrazy. Ostatní hodnoty zapiš pomocí neznámé: o 6 víc je $x + 6$ , o čtvrtinu víc je $x + \frac{x}{4}$ .
Rovnice. Najdi veličinu, kterou umíš vyjádřit dvakrát: dva stejné počty, známý součet, stejnou cenu spočítanou dvěma způsoby.
Odpověď. Vyřeš rovnici a dopočítej, na co se úloha ptá.

Neznámé číslo

Věty o neznámém čísle přepiš slovo po slovu. „Když k neznámému číslu přičteme 18“ je $x + 18$ . „Dostaneme jeho čtyřnásobek“ dopíše pravou stranu: $x + 18 = 4x$ . Odtud $18 = 3x$ a $x = 6$ .

Jedna veličina dvakrát

Šárka má o čtvrtinu víc nálepek než Filip. Když dá Filipovi 6 nálepek, budou mít oba stejně. Když má Filip $f$ nálepek, má Šárka $f + \frac{f}{4}$ . Po předání má Šárka $f + \frac{f}{4} - 6$ a Filip $f + 6$ . Počty se rovnají: $f + \frac{f}{4} - 6 = f + 6$ . Odečti $f$ a přičti 6: $\frac{f}{4} = 12$ , tedy $f = 48$ . Šárka má 60 nálepek a po předání mají oba po 54 nálepkách.

Když zadání dá průměr, spočítej z něj součet: součet je průměr krát počet. Víc o tom říká kapitola o aritmetickém průměru v tématu Práce s daty.

Na co se úloha ptá

Neznámá často není hodnota, na kterou se úloha ptá. Mezi možnostmi ve výběru pak bývá právě mezivýsledek: počet skupin místo počtu lidí nebo hodnota neznámé místo hledaného počtu.

TipPo vyřešení rovnice si otázku přečti znovu. Pak dopočítej, na co se ptá.

Najdi všechna řešení

Když jsou neznámé tři počty a rovnice jen dvě (kolik jich je a kolik dají dohromady), úloha může mít víc řešení. Od rovnice s hodnotou odečti rovnici s počtem, vynásobenou nejmenší hodnotou. Jedna neznámá zmizí a zbude rovnice se dvěma neznámými.

Pak zkoušej celá čísla od nuly. Vyhovuje každé řešení, ve kterém jsou všechny počty celé a žádný není záporný. Nula je také počet.

Když odečítáš rovnici vynásobenou číslem, může u obou zbylých počtů zůstat číslo různé od 1, třeba $2a + 3h = 13$ . Pak u každé možnosti zkontroluj, že počet vyšel celý. Když vyjde 3,5 jízdy, tahle možnost nevyhovuje.

TipZkoušej postupně 0, 1, 2 a dál. Na začátku může některý počet vyjít záporný, to ještě není konec. Skonči, až vyjde záporný počet, který se s každým dalším pokusem zmenšuje.

Jak na to

Přečti otázku a zvol neznámou.
Ostatní hodnoty zapiš výrazy s neznámou.
Sestav rovnici z veličiny, kterou znáš dvakrát, a vyřeš ji.
Dopočítej, na co se úloha ptá, a udělej zkoušku podle textu.
Ve výběru zkontroluj, jestli tvůj výsledek není jen mezivýsledek.

Řešené příklady

Příklad 1: Cena výletu

Třída jede na výlet. Když každý žák zaplatí 150 Kč, bude 300 Kč chybět. Když každý zaplatí 170 Kč, bude 180 Kč přebývat. Kolik korun stojí výlet?

A) 1 200 Kč, B) 3 600 Kč, C) 3 900 Kč, D) 4 080 Kč, E) jiná částka

Řešení

Neznámá. Ptají se na cenu výletu, ale snáz se označí počet žáků. Počet žáků označ $z$ .
Cena dvakrát. Po 150 Kč se vybere $150z$ korun a 300 Kč chybí, výlet tedy stojí $150z + 300$ . Po 170 Kč se vybere $170z$ korun a 180 Kč přebývá, výlet stojí $170z - 180$ . Cena je pořád stejná: $150z + 300 = 170z - 180$ .
Vyřeš rovnici. $300 + 180 = 170z - 150z$ , tedy $480 = 20z$ . Odtud $z = 24$ .
Na co se ptají. Ptají se na cenu, ne na počet žáků: $150 \cdot 24 + 300 = 3\,900$ .
Zkouška. Při 170 Kč: $170 \cdot 24 - 180 = 4\,080 - 180 = 3\,900$ . Sedí to.
Pasti v nabídce. Možnost B vyjde, když k vybraným $150 \cdot 24 = 3\,600$ Kč nepřičteš chybějících 300 Kč. Možnost D vyjde, když od $170 \cdot 24 = 4\,080$ Kč neodečteš 180 Kč, které přebývají. Možnost A vyjde, když i přebývajících 180 Kč přičteš: vyjde 6 žáků a cena $150 \cdot 6 + 300 = 1\,200$ Kč.

OdpověďVýlet stojí 3 900 Kč, správná je možnost C.

Příklad 2: Mince: všechna řešení

V peněžence je 12 mincí, jen koruny, dvoukoruny a pětikoruny. Dohromady mají hodnotu 30 Kč. Kolik pětikorun mohlo v peněžence být? Najdi všechna řešení.

Řešení

Neznámé. Počet korun označ $a$ , dvoukorun $b$ a pětikorun $c$ .
Dvě rovnice. Mincí je 12: $a + b + c = 12$ . Hodnota je 30 Kč: $a + 2b + 5c = 30$ .
Odečti rovnice. Od druhé rovnice odečti první, $a$ zmizí: $b + 4c = 18$ . Dvoukorun je tedy $18 - 4c$ .
Zkoušej od nuly. Za počet pětikorun dosazuj postupně 0, 1, 2 a dál. Žádná pětikoruna: dvoukorun 18, korun $12 - 18 - 0 = -6$ . Nejde to. Jedna pětikoruna: dvoukorun $18 - 4 = 14$ , korun $12 - 14 - 1 = -3$ . Nejde to. Počet korun vychází záporný, ale s každou pětikorunou roste, a tak zkoušej dál.
Další možnosti. Dvě pětikoruny: dvoukorun $18 - 8 = 10$ , korun $12 - 10 - 2 = 0$ . Vyhovuje, nula je také počet. Tři pětikoruny: dvoukorun $18 - 12 = 6$ , korun $12 - 6 - 3 = 3$ . Vyhovuje. Čtyři pětikoruny: dvoukorun $18 - 16 = 2$ , korun $12 - 2 - 4 = 6$ . Vyhovuje.
Konec zkoušení. Pět pětikorun by dalo dvoukorun $18 - 20 = -2$ . Dvoukorun s každou pětikorunou ubývá, víc pětikorun už nejde.
Zkouška. Například tři pětikoruny, šest dvoukorun a tři koruny: $3 + 6 + 3 = 12$ mincí a $3 \cdot 5 + 6 \cdot 2 + 3 = 30$ Kč.

OdpověďV peněžence mohly být 2, 3 nebo 4 pětikoruny.

Časté chyby

Odpovíš hodnotou neznámé nebo mezivýsledkem: počtem žáků místo ceny výletu.
Mezivýsledky bývají v nabídce schválně. Po vyřešení rovnice si otázku přečti znovu.
„O čtvrtinu víc než Filip“ zapíšeš jako $\frac{f}{4}$ .
O čtvrtinu víc je celé a k tomu čtvrtina: $f + \frac{f}{4}$ .
Na částku, která chybí, zapomeneš: cenu výletu zapíšeš jen jako $150z$ .
Vybrané peníze nestačí, výlet stojí víc. K vybrané částce chybějící peníze přičti: $150z + 300$ .
„Přebývá 180 Kč“ zapíšeš jako $170z + 180$ .
Přebývá znamená, že se vybralo víc, než výlet stojí. Cena je o 180 Kč menší: $170z - 180$ .
U všech řešení vynecháš řešení s nulou.
Nula je také počet. Zkoušej od nuly.
Necháš řešení se záporným počtem, nebo skončíš u prvního řešení, které vyhovuje.
U každého řešení zkontroluj všechny tři počty. Zkoušej dál, dokud nevyjde záporný počet, který s každým pokusem ubývá.
Neověříš, že počet vyšel celý, a mezi řešení zapíšeš i možnost s půl jízdou.
Počet je vždy celé číslo. U každé možnosti zkontroluj, že je dělení beze zbytku.

Zkus si

Jakub má 50 Kč a Ema 26 Kč. Teta dá každému z nich stejnou částku. Potom má Jakub o polovinu víc peněz než Ema. Kolik korun dala teta každému?

Ukaž řešení

Neznámá. Částku pro každého označ $d$ . Jakub pak má $50 + d$ korun, Ema $26 + d$ korun.
Rovnice. O polovinu víc je celé a k tomu polovina: $50 + d = 1{,}5 \cdot (26 + d)$ .
Vyřeš. $50 + d = 39 + 1{,}5d$ , tedy $50 - 39 = 1{,}5d - d$ a $11 = 0{,}5d$ . Odtud $d = 22$ .
Zkouška. Jakub má $50 + 22 = 72$ Kč, Ema $26 + 22 = 48$ Kč. Polovina Eminých peněz je $48 : 2 = 24$ a $48 + 24 = 72$ .

Výsledek22 Kč

Na pouti se platí lístky. Jízda na kolotoči stojí 2 lístky, na autodromu 4 lístky a na horské dráze 5 lístků. Tomáš se svezl desetkrát a utratil 33 lístků. Kolikrát mohl jet na horské dráze? Najdi všechna řešení.

Ukaž řešení

Dvě rovnice. Jízd na kolotoči je $k$ , na autodromu $a$ a na horské dráze $h$ . Jízd je 10: $k + a + h = 10$ . Lístků je 33: $2k + 4a + 5h = 33$ .
Odečti dvojnásobek. Od druhé rovnice odečti první vynásobenou dvěma, $k$ zmizí: $2k + 4a + 5h - (2k + 2a + 2h) = 33 - 20$ , tedy $2a + 3h = 13$ .
Zkoušej od nuly. Žádná horská dráha: na autodrom zbude $13 : 2 = 6{,}5$ jízdy, to není celé číslo. Jedna jízda: autodrom $(13 - 3) : 2 = 5$ , kolotoč $10 - 5 - 1 = 4$ . Vyhovuje.
Další možnosti. Dvě jízdy: autodrom $(13 - 6) : 2 = 3{,}5$ , nevyhovuje. Tři jízdy: autodrom $(13 - 9) : 2 = 2$ , kolotoč $10 - 2 - 3 = 5$ . Vyhovuje. Čtyři jízdy: autodrom $(13 - 12) : 2 = 0{,}5$ , nevyhovuje.
Konec zkoušení. Pět jízd: $13 - 15 = -2$ , na autodrom by zbyl záporný počet. Jízd na autodromu s každou další horskou dráhou ubývá, víc to nejde.
Zkouška. Jedna horská dráha, 5 autodromů a 4 kolotoče: $4 + 5 + 1 = 10$ jízd a $2 \cdot 4 + 4 \cdot 5 + 5 \cdot 1 = 33$ lístků.

VýsledekNa horské dráze jel jednou, nebo třikrát.

Procvič si to

Pět úloh tohoto typu, pokaždé s jinými čísly. Opraví se samy a u chyby uvidíš postup.