Matematika k přijímačkám

Celá úloha s rovnicemi: zápis postupu a body

Jak vypadá úloha s rovnicemi, jak zapsat postup za plný počet bodů a kde se body nejčastěji ztrácejí.

V testuÚloha s rovnicemi za 4 body je v každém testu jako úloha 4, v roce 2024 a v roce 2025 ve variantách B–D jako úloha 5. Má dvě části po 2 bodech: dvě rovnice, nebo rovnici a soustavu.

Co potřebuješ znát

Jak úloha vypadá

Úloha má dvě části. V deseti z dvanácti testů 2024–2026 byla aspoň jedna z nich rovnice se zlomky. Druhá část byla:

  • rovnice s desetinnými čísly,
  • další rovnice se zlomky,
  • rovnice s druhou mocninou dvojčlenu (2024 A, C),
  • rovnice bez řešení (2025 A),
  • soustava dvou rovnic (2025 B, 2026 C).

Ve zbylých dvou testech (2025 D, 2026 A) byla rovnice s desetinnými čísly a soustava dvou rovnic.

Pokyn a body

Od roku 2025 zadání říká: „V záznamovém archu uveďte v obou částech úlohy celý postup řešení (zkoušku nezapisujte).“ V roce 2024 stálo: „Do záznamového archu uveďte u obou podúloh celý postup řešení. Zkoušku nezapisujte.“ Hodnotí se jen to, co je v záznamovém archu. Poznámky v testovém sešitu se nehodnotí.

  • 2 body: správný výsledek a správný postup.
  • 1 bod: v postupu je právě jeden nedostatek. Jeden člen je upravený chybně, chybí poslední krok, chybí nebo je chybný závěr, nebo je u soustavy správně jen jedna neznámá.
  • 0 bodů: postup chybí, úprava je chybná od základu, nebo jsou v postupu aspoň dvě chyby.

Jak zapsat postup

  • Každý krok piš na nový řádek jako celou rovnici: levá strana, rovnítko, pravá strana.
  • Rovnítka piš pod sebe. Dvě rovnice nespojuj rovnítkem, každá má svůj řádek.
  • Úpravu si můžeš poznamenat za svislou čáru, třeba „| · 12“ nebo „| − 3x“.
  • Dojdi až k řádku se samotným xx. U soustavy napiš xx i yy.
  • Když u xx vyjde nula, napiš pod poslední řádek závěr větou.
  • Chybný řádek přeškrtni a opravu napiš vedle, ale do stejného bílého pole archu. Zápis mimo bílá pole se nehodnotí a nejasný zápis se hodnotí jako chybný.

Kde se ztrácejí body

Pět řešení rovnice x2−(x−3)=6\frac{x}{2} - (x - 3) = 6. Správný postup je x2−x+3=6\frac{x}{2} - x + 3 = 6, pak −x2=3-\frac{x}{2} = 3 a x=−6x = -6.

  • Napíše jen výsledek x=−6x = -6. Postup chybí: 0 bodů.
  • Napíše x2−x−3=6\frac{x}{2} - x - 3 = 6. Znaménko změní jen u prvního členu závorky, jeden člen je tedy upravený chybně: 1 bod.
  • Dojde správně k −x2=3-\frac{x}{2} = 3 a skončí. Chybí poslední krok: 1 bod.
  • Z −x2=3-\frac{x}{2} = 3 udělá x=3+2x = 3 + 2. Místo násobení přičítá, to je chybná úprava: 0 bodů.
  • Udělá chybu v minusu před závorkou a ještě jednu při převádění: dvě chyby, 0 bodů.

TipPoslední krok stojí bod. Vždy dojdi až k samotnému xx.

Jak na to

  1. Přečti obě části a urči typ: desetinná čísla, zlomky, druhá mocnina dvojčlenu, nebo soustava.
  2. Piš postup krok po kroku do archu, každou rovnici na nový řádek.
  3. Dojdi až k samotnému xx (u soustavy i yy), nebo k závěru větou.
  4. Zkoušku si udělej na papír na poznámky. Když nevyjde, hledej chybu od prvního řádku.
  5. V aplikaci zapiš výsledky obou částí.

Řešené příklady

Příklad 1: Dvě rovnice

Řeš rovnice. Piš celý postup, zkoušku si udělej zvlášť.

a) x+25−3x−110=1−x2\frac{x + 2}{5} - \frac{3x - 1}{10} = 1 - \frac{x}{2}

b) 0,8⋅(x−2,5)−0,3x=0,2⋅(2,5x+3)0{,}8 \cdot (x - 2{,}5) - 0{,}3x = 0{,}2 \cdot (2{,}5x + 3)

Řešení

  1. a) Vynásob deseti. Jmenovatelé jsou 5, 10 a 2, společný jmenovatel je 10. Čitatele dej do závorek: 2⋅(x+2)−(3x−1)=10−5x2 \cdot (x + 2) - (3x - 1) = 10 - 5x.
  2. a) Roznásob a sečti. Minus před závorkou změní obě znaménka: 2x+4−3x+1=10−5x2x + 4 - 3x + 1 = 10 - 5x, tedy 5−x=10−5x5 - x = 10 - 5x.
  3. a) Převeď a vyděl. −x+5x=10−5-x + 5x = 10 - 5, tedy 4x=54x = 5 a x=54x = \frac{5}{4}.
  4. a) Zkouška. Levá strana: 1,25+25−3,75−110=0,65−0,275=0,375\frac{1{,}25 + 2}{5} - \frac{3{,}75 - 1}{10} = 0{,}65 - 0{,}275 = 0{,}375. Pravá strana: 1−1,252=0,3751 - \frac{1{,}25}{2} = 0{,}375. Do archu ji nepiš.
  5. b) Roznásob závorky. 0,8x−2−0,3x=0,5x+0,60{,}8x - 2 - 0{,}3x = 0{,}5x + 0{,}6.
  6. b) Sečti podobné členy. 0,5x−2=0,5x+0,60{,}5x - 2 = 0{,}5x + 0{,}6.
  7. b) Převeď členy. 0,5x−0,5x=0,6+20{,}5x - 0{,}5x = 0{,}6 + 2, tedy 0⋅x=2,60 \cdot x = 2{,}6.
  8. b) Závěr. Rovnost 0⋅x=2,60 \cdot x = 2{,}6 neplatí pro žádné xx. Rovnice nemá řešení.

OdpověďRovnice a) má kořen x=54x = \frac{5}{4}, rovnice b) nemá řešení.

Příklad 2: Rovnice a soustava

Řeš rovnici a soustavu rovnic. Piš celý postup.

a) 13⋅(2x−5)=34⋅(x+2)−4\frac{1}{3} \cdot (2x - 5) = \frac{3}{4} \cdot (x + 2) - 4

b) 3x+y=43x + y = 4 a zároveň 2x−3y=−232x - 3y = -23

Řešení

  1. a) Vynásob dvanácti. Jmenovatelé 3 a 4 mají nejmenšího společného jmenovatele 12. Vynásob každý člen, i číslo 44: 4⋅(2x−5)=9⋅(x+2)−484 \cdot (2x - 5) = 9 \cdot (x + 2) - 48.
  2. a) Roznásob. 8x−20=9x+18−488x - 20 = 9x + 18 - 48, tedy 8x−20=9x−308x - 20 = 9x - 30.
  3. a) Převeď a vyděl. 8x−9x=−30+208x - 9x = -30 + 20, tedy −x=−10-x = -10 a x=10x = 10.
  4. b) Vyjádři y. Z první rovnice y=4−3xy = 4 - 3x.
  5. b) Dosaď. Výraz dosaď do druhé rovnice, do závorky: 2x−3⋅(4−3x)=−232x - 3 \cdot (4 - 3x) = -23, tedy 2x−12+9x=−232x - 12 + 9x = -23.
  6. b) Vypočítej x. 11x=−1111x = -11, tedy x=−1x = -1.
  7. b) Dopočítej y. y=4−3⋅(−1)=7y = 4 - 3 \cdot (-1) = 7.
  8. Zkouška. V rovnici a) vyjde 13⋅15=5\frac{1}{3} \cdot 15 = 5 a 34⋅12−4=5\frac{3}{4} \cdot 12 - 4 = 5. V soustavě b) vyjde 3⋅(−1)+7=43 \cdot (-1) + 7 = 4 a 2⋅(−1)−3⋅7=−232 \cdot (-1) - 3 \cdot 7 = -23.

OdpověďRovnice a) má kořen x=10x = 10. Soustava b) má řešení x=−1x = -1 a y=7y = 7.

Časté chyby

Zkus si

Řeš rovnice.

a) (x−5)2−x2=5⋅(1−x)(x - 5)^2 - x^2 = 5 \cdot (1 - x)

b) 2x−34−x+16=14\frac{2x - 3}{4} - \frac{x + 1}{6} = \frac{1}{4}

Ukaž řešení
  1. **a) Umocni a odečti x2x^2.** x2−10x+25−x2=5−5xx^2 - 10x + 25 - x^2 = 5 - 5x, tedy −10x+25=5−5x-10x + 25 = 5 - 5x.
  2. a) Dořeš. −5x=−20-5x = -20, tedy x=4x = 4.
  3. b) Vynásob dvanácti. 3⋅(2x−3)−2⋅(x+1)=33 \cdot (2x - 3) - 2 \cdot (x + 1) = 3, tedy 6x−9−2x−2=36x - 9 - 2x - 2 = 3.
  4. b) Dořeš. 4x=144x = 14, tedy x=144=72x = \frac{14}{4} = \frac{7}{2}.

Výsledeka) x=4x = 4, b) x=72x = \frac{7}{2}

Řeš rovnici a soustavu rovnic.

a) 0,3⋅(2x+5)=1,5−0,4⋅(3−x)0{,}3 \cdot (2x + 5) = 1{,}5 - 0{,}4 \cdot (3 - x)

b) 7x+5y=117x + 5y = 11 a zároveň 7x−y=237x - y = 23

Ukaž řešení
  1. a) Roznásob. 0,6x+1,5=1,5−1,2+0,4x0{,}6x + 1{,}5 = 1{,}5 - 1{,}2 + 0{,}4x.
  2. a) Dořeš. Číslo 1,51{,}5 je na obou stranách, odečti ho: 0,6x=−1,2+0,4x0{,}6x = -1{,}2 + 0{,}4x. Pak 0,2x=−1,20{,}2x = -1{,}2 a x=−6x = -6.
  3. b) Odečti rovnice. (7x+5y)−(7x−y)=11−23(7x + 5y) - (7x - y) = 11 - 23, tedy 6y=−126y = -12 a y=−2y = -2.
  4. b) Dopočítej x. 7x−(−2)=237x - (-2) = 23, tedy 7x=217x = 21 a x=3x = 3.

Výsledeka) x=−6x = -6, b) x=3x = 3, y=−2y = -2

Procvič si to

Pět úloh tohoto typu, pokaždé s jinými čísly. Opraví se samy a u chyby uvidíš postup.