Hodnota výrazu a dosazení

Jak dosadit číslo do výrazu, proč záporné číslo patří do závorky a v jakém pořadí počítat. A jak si výpočet zkrátit vzorcem.

V testuV testech 2024–2026 jednou jako samostatná podúloha úlohy 3 za 1 bod (2026 A), jen výsledek. Dosazovat ale potřebuješ i jinde: při kontrole úprav, ve slovních úlohách a při zkoušce rovnice.

Co potřebuješ znát

Co je hodnota výrazu

Výraz s proměnnou je předpis. Když za proměnnou dosadíš číslo, vyjde číslo, hodnota výrazu. Výraz $3x - 5$ má pro $x = 4$ hodnotu $3 \cdot 4 - 5 = 7$ .

Mezi číslem a proměnnou je schované násobení. Po dosazení ho vždy napiš: $3x$ pro $x = 4$ je $3 \cdot 4$ , ne 34.

Pořadí operací

Nejdřív závorka, pak mocnina, potom násobení a dělení, nakonec sčítání a odčítání. Mocnina patří jen k tomu, u čeho stojí.

$5a^2$ pro $a = 3$ : umocní se jen $a$ , $5 \cdot 3^2 = 5 \cdot 9 = 45$ .
$(5a)^2$ pro $a = 3$ : umocní se celá závorka, $(5 \cdot 3)^2 = 15^2 = 225$ .

Výrazy $5a^2$ a $(5a)^2$ jsou různé: $(5a)^2 = 5a \cdot 5a = 25a^2$ .

Záporné číslo dosazuj do závorky

Záporné číslo po dosazení vždy dej do závorky. Jinak se ztratí znaménko.

$x^2$ pro $x = -4$ : $(-4)^2 = 16$ . Druhá mocnina záporného čísla je kladná.
$-x^2$ pro $x = -4$ : $-(-4)^2 = -16$ . Umocní se jen $x$ , minus před ním zůstane.
$-6b$ pro $b = -2$ : $-6 \cdot (-2) = 12$ . Minus krát minus je plus.

TipZápis $-4^2$ znamená $-(4 \cdot 4) = -16$ . Proto po dosazení vždy piš závorku: $(-4)^2$ .

Zkratka: poznej vzorec

V testu 2026 byl výraz k dosazení roznásobená druhá mocnina dvojčlenu, v aplikaci je to stejné. Když to poznáš, dosadíš do krátké závorky a umocníš jedno číslo.

4x^2 - 20x + 25 = (2x - 5)^2

První člen je $(2x)^2$ , poslední $5^2$ a prostřední $2 \cdot 2x \cdot 5 = 20x$ , se znaménkem minus.

Pro $x = 8$ : $2 \cdot 8 - 5 = 11$ a $11^2 = 121$ . Dlouhou cestou vyjde totéž: $4 \cdot 64 - 20 \cdot 8 + 25 = 256 - 160 + 25 = 121$ .

TipNež začneš násobit velká čísla, podívej se na první a poslední člen. Když jsou to druhé mocniny a prostřední člen sedí na vzorec, dosaď do krátké závorky.

TipVzorce pro druhou mocninu dvojčlenu vykládá kapitola o vzorcích. Když vzorec nepoznáš, počítej dlouhou cestou. Vyjde to stejně.

Jak na to

Opiš výraz a místo proměnné napiš dosazené číslo, záporné v závorce.
Spočítej mocniny.
Vynásob, pak sečti a odečti.
Když výraz poznáš jako druhou mocninu dvojčlenu, ověř výsledek i krátkou cestou.

Řešené příklady

Příklad 1: Dosazení záporného čísla

Vypočti hodnotu výrazu $2y^2 - 7y + 3$ pro $y = -3$ .

Řešení

Dosadíme. Za $y$ napíšeme $-3$ v závorce: $2 \cdot (-3)^2 - 7 \cdot (-3) + 3$ .
Mocnina. $(-3)^2 = 9$ . Dvojka před mocninou se neumocňuje.
Násobení. $2 \cdot 9 = 18$ a $-7 \cdot (-3) = 21$ , minus krát minus je plus.
Sečteme. $18 + 21 + 3 = 42$ .

OdpověďHodnota výrazu pro $y = -3$ je 42.

Příklad 2: Kratší cesta vzorcem

Vypočti hodnotu výrazu $16b^2 + 56b + 49$ pro $b = -3$ .

Řešení

Dlouhá cesta. $16 \cdot (-3)^2 + 56 \cdot (-3) + 49 = 16 \cdot 9 - 168 + 49 = 144 - 168 + 49 = 25$ . Čísla jsou velká a snadno se v nich spleteš.
Poznáme vzorec. První člen je $(4b)^2$ , poslední $7^2$ a prostřední $2 \cdot 4b \cdot 7 = 56b$ . Výraz je tedy $16b^2 + 56b + 49 = (4b + 7)^2$ .
Krátká cesta. $4 \cdot (-3) + 7 = -5$ a $(-5)^2 = 25$ . Obě cesty dávají stejné číslo.

OdpověďHodnota výrazu pro $b = -3$ je 25.

Časté chyby

Vynásobíš a teprve potom umocníš: $4b^2$ pro $b = 5$ počítáš jako $(4 \cdot 5)^2 = 400$ .
Mocnina patří jen k proměnné. Nejdřív umocni, pak násob: $4 \cdot 5^2 = 4 \cdot 25 = 100$ .
Mocninu počítáš jako násobení exponentem: $6^2$ jako $6 \cdot 2$ .
Druhá mocnina je číslo krát to samé číslo: $6^2 = 6 \cdot 6 = 36$ .
Záporné číslo dosadíš bez závorky a $x^2$ pro $x = -5$ ti vyjde $-25$ .
Dosazuj do závorky: $(-5)^2 = 25$ . Druhá mocnina záporného čísla je kladná.
Ztratíš znaménko při násobení: $-8y$ pro $y = -3$ spočítáš jako $-24$ .
Minus krát minus je plus: $-8 \cdot (-3) = 24$ .

Zkus si

Vypočti hodnotu výrazu $3a^2 - 4a$ pro $a = -2$ .

Ukaž řešení

Dosadíme. $3 \cdot (-2)^2 - 4 \cdot (-2) = 3 \cdot 4 + 8 = 20$ .

Výsledek20

Vypočti hodnotu výrazu $25x^2 - 20x + 4$ pro $x = 4$ .

Ukaž řešení

Vzorec. $25x^2 - 20x + 4 = (5x - 2)^2$ .
Dosadíme. $5 \cdot 4 - 2 = 18$ a $18^2 = 324$ .
Kontrola. $25 \cdot 16 - 20 \cdot 4 + 4 = 400 - 80 + 4 = 324$ .

Výsledek324

Procvič si to

Pět úloh tohoto typu, pokaždé s jinými čísly. Opraví se samy a u chyby uvidíš postup.