Sčítání a násobení mnohočlenů

Jak sečíst podobné členy, co udělá minus před závorkou a jak roznásobit závorky. Na tom stojí každá úprava výrazu.

V testuKrátká úprava na tvar bez závorek byla podúlohou úlohy s výrazy za 1 bod v pěti testech z dvanácti (všechny varianty 2025 a 2026 B), jen výsledek. Sčítání, minus před závorkou a roznásobení ale potřebuješ v každé podúloze úlohy s výrazy i v rovnicích.

Co potřebuješ znát

Člen a podobné členy

Výraz $5x^2 - 3x + 7 - 2x^2 + x$ má pět členů. Znaménko před členem patří k němu: členy jsou $5x^2$ , $-3x$ , $7$ , $-2x^2$ a $x$ .

Podobné členy mají stejnou proměnnou se stejnou mocninou. Sečteš je tak, že sečteš čísla před proměnnou: $5x^2 - 2x^2 = 3x^2$ a $-3x + x = -2x$ .

5x^2 - 3x + 7 - 2x^2 + x = 3x^2 - 2x + 7

Členy $3x^2$ a $-2x$ podobné nejsou, proto zůstanou vedle sebe. Výsledek se obvykle píše od nejvyšší mocniny, na pořadí ale nezáleží.

TipVýraz s jedním členem je jednočlen, se dvěma dvojčlen, se třemi trojčlen. Obecně se jim říká mnohočleny.

Násobení jednočlenů

Čísla vynásob mezi sebou a proměnné mezi sebou. Stejné proměnné dají mocninu.

$3x \cdot 4x = 12x^2$ , protože $x \cdot x = x^2$ ,
$-2a \cdot 5 = -10a$ ,
$-4y \cdot (-3y) = 12y^2$ , minus krát minus je plus,
$(3y)^2 = 3y \cdot 3y = 9y^2$ , umocní se číslo i proměnná,
$-\frac{2}{3}y \cdot 3y \cdot (-2) = 4y^2$ : tři činitelé, dvě znaménka minus dají plus a $\frac{2}{3} \cdot 3 \cdot 2 = 4$ ,
$6c \cdot (-3)^2 = 6c \cdot 9 = 54c$ : číselnou mocninu spočítej zvlášť.

Násobení a dělení mají přednost před sčítáním a odčítáním: $12b - 8b : 4 = 12b - 2b = 10b$ .

Minus před závorkou

Plus před závorkou nic nemění, závorku jen vynecháš. Minus před závorkou změní znaménko každého členu v závorce.

$-(4x - 5) = -4x + 5$ ,
$8 - (3 - 2x) = 8 - 3 + 2x = 5 + 2x$ ,
$a + (2a - 1) = 3a - 1$ .

TipMinus před závorkou si představ jako $-1$ , kterým vynásobíš každý člen.

Číslo nebo člen krát závorka

Číslem nebo členem před závorkou vynásob každý člen v závorce.

$3(2a - 5) = 6a - 15$ ,
$-2x(x - 4) = -2x^2 + 8x$ ,
$(y + 6) \cdot 3y = 3y^2 + 18y$ .

Dvě závorky

Každý člen první závorky vynásob každým členem druhé. Ze dvou dvojčlenů vyjdou čtyři součiny. Obrázek ukazuje proč: obsah obdélníku je součet obsahů čtyř menších obdélníků.

Obdélník se stranami

x + 3

x + 2

má obsah

x^2 + 2x + 3x + 6

(x + 3)(x + 2) = x^2 + 2x + 3x + 6 = x^2 + 5x + 6

\begin{aligned} (x + 3)(x + 2) &= x^2 + 2x + 3x + 6 \\ &= x^2 + 5x + 6 \end{aligned}

Stejně roznásobíš i závorky se záporným členem:

(x + 3)(2x - 1) = 2x^2 - x + 6x - 3 = 2x^2 + 5x - 3

\begin{aligned} (x + 3)(2x - 1) &= 2x^2 - x + 6x - 3 \\ &= 2x^2 + 5x - 3 \end{aligned}

Druhá mocnina závorky je součin dvou stejných závorek: $(y - 4)^2 = (y - 4)(y - 4) = y^2 - 4y - 4y + 16 = y^2 - 8y + 16$ . Rychleji to jde vzorcem, ten je v další kapitole.

Minus před součinem

Když je minus před součinem, nejdřív roznásob a výsledek dej do závorky. Teprve pak změň znaménka všech členů.

-(x - 2)(x + 5) = -(x^2 + 3x - 10) = -x^2 - 3x + 10

\begin{aligned} -(x - 2)(x + 5) &= -(x^2 + 3x - 10) \\ &= -x^2 - 3x + 10 \end{aligned}

Stejně postupuj, když je minus před mocninou: $-(a + 2)^2 = -(a^2 + 4a + 4) = -a^2 - 4a - 4$ . A pozor na dvojí minus: $-2y \cdot (-y + 3) = 2y^2 - 6y$ .

Nejdřív uprav uvnitř závorky

V závorce někdy stojí podobné členy nebo dvě čísla. Nejdřív je sečti, pak teprve násob. Ušetříš si práci a vyhneš se chybám.

$-2 \cdot (5a - 8a) = -2 \cdot (-3a) = 6a$ ,
$(6 - 9) \cdot (a + 2) = -3(a + 2) = -3a - 6$ .

Kontrola dosazením

Upravený výraz se musí rovnat zadanému pro každé číslo. Dosaď do zadání i do výsledku stejné číslo, třeba 3. Když vyjdou různá čísla, někde je chyba.

Zadání $(x + 3)(2x - 1)$ pro $x = 3$ : $(3 + 3)(2 \cdot 3 - 1) = 6 \cdot 5 = 30$ . Výsledek $2x^2 + 5x - 3$ pro $x = 3$ : $18 + 15 - 3 = 30$ . Sedí to.

TipNedosazuj 0, 1 ani 2. S nimi se některé chyby schovají. Pro $x = 2$ vyjde $x \cdot x$ stejně jako $2x$ , takže záměnu součinu a součtu nepoznáš.

Jak na to

Sečti podobné členy uvnitř závorek.
Roznásob závorky. Výsledek součinu, před kterým je minus, napiš do závorky.
Odstraň závorky. Kde je před nimi minus, změň znaménka všech členů.
Sečti podobné členy a zkontroluj výsledek dosazením.

Řešené příklady

Příklad 1: Dvě závorky a minus před součinem

Uprav na co nejjednodušší tvar bez závorek: $(b + 5)(b - 3) - b \cdot (b + 2) + 4b$

Řešení

Dvě závorky. Každý člen první závorky vynásobíme každým členem druhé: $(b + 5)(b - 3) = b^2 - 3b + 5b - 15 = b^2 + 2b - 15$ .
Minus před součinem. Nejdřív roznásobíme, výsledek dáme do závorky a změníme znaménka: $-b \cdot (b + 2) = -(b^2 + 2b) = -b^2 - 2b$ .
Podobné členy. $b^2 + 2b - 15 - b^2 - 2b + 4b = 4b - 15$ . Členy s $b^2$ se vyruší.
Kontrola. Trojka by vynulovala závorku $(b - 3)$ , proto dosadíme $b = 4$ : zadání $9 \cdot 1 - 4 \cdot 6 + 16 = 1$ a výsledek $4 \cdot 4 - 15 = 1$ .

OdpověďUpravený výraz je $4b - 15$ .

Příklad 2: Mocnina jednočlenu a mocnina závorky

Uprav na co nejjednodušší tvar bez závorek: $(3k)^2 - (k + 4)^2 - 2k \cdot (4k - 1)$

Řešení

Mocnina jednočlenu. Umocníme číslo i proměnnou: $(3k)^2 = 9k^2$ .
Mocnina závorky. Je to součin dvou stejných závorek: $(k + 4)^2 = (k + 4)(k + 4) = k^2 + 8k + 16$ . Před ní je minus: $-(k^2 + 8k + 16) = -k^2 - 8k - 16$ .
Roznásobíme závorku. $-2k \cdot (4k - 1) = -8k^2 + 2k$ , minus krát minus je plus.
Podobné členy. $9k^2 - k^2 - 8k - 16 - 8k^2 + 2k = -6k - 16$ . Členy s $k^2$ se vyruší: $9 - 1 - 8 = 0$ .

OdpověďUpravený výraz je $-6k - 16$ .

Časté chyby

Minus před závorkou změníš jen u prvního členu: $-(3x - 4)$ přepíšeš jako $-3x - 4$ .
Minus změní znaménko každého členu v závorce: $-(3x - 4) = -3x + 4$ .
U dvou závorek vynásobíš jen první členy a poslední členy: z $(x + 2)(x + 7)$ uděláš $x^2 + 14$ .
Ze dvou dvojčlenů jsou čtyři součiny: $(x + 2)(x + 7) = x^2 + 7x + 2x + 14 = x^2 + 9x + 14$ .
Číslem před závorkou vynásobíš jen první člen: z $3(2x + 5)$ uděláš $6x + 5$ .
Číslo násobí každý člen: $3(2x + 5) = 6x + 15$ .
Ztratíš znaménko v součinu: $-2 \cdot (-5a)$ napíšeš jako $-10a$ .
Dvě znaménka minus dají plus: $-2 \cdot (-5a) = 10a$ .
Spleteš součin a součet: $x \cdot x$ napíšeš jako $2x$ nebo $x + x$ jako $x^2$ .
Násobení stejných proměnných dá mocninu, sčítání dá násobek: $x \cdot x = x^2$ , $x + x = 2x$ .
Odčítáš dřív, než dělíš: z $12b - 8b : 4$ uděláš $4b : 4$ .
Dělení má přednost: $12b - 8b : 4 = 12b - 2b = 10b$ .
Číselnou mocninu v součinu spočítáš jako násobek: $6c \cdot (-3)^2$ přepíšeš na $6c \cdot (-6)$ .
Druhá mocnina je číslo krát to samé číslo: $6c \cdot (-3)^2 = 6c \cdot 9 = 54c$ .

Zkus si

Uprav na co nejjednodušší tvar bez závorek: $a(a + 6) - (a + 2)(a + 5) + 3$

Ukaž řešení

Roznásobíme. $a(a + 6) = a^2 + 6a$ a $(a + 2)(a + 5) = a^2 + 7a + 10$ .
Minus před součinem. $-(a^2 + 7a + 10) = -a^2 - 7a - 10$ .
Sečteme. $a^2 + 6a - a^2 - 7a - 10 + 3 = -a - 7$ .

Výsledek $-a - 7$

Uprav na co nejjednodušší tvar bez závorek: $4n - (2n - 3) \cdot 3 - (n - 4)(1 - n)$

Ukaž řešení

První součin. $-(2n - 3) \cdot 3 = -(6n - 9) = -6n + 9$ .
Druhý součin. $(n - 4)(1 - n) = n - n^2 - 4 + 4n = -n^2 + 5n - 4$ , s minusem před ním $-(-n^2 + 5n - 4) = n^2 - 5n + 4$ .
Sečteme. $4n - 6n + 9 + n^2 - 5n + 4 = n^2 - 7n + 13$ .

Výsledek $n^2 - 7n + 13$

Procvič si to

Pět úloh tohoto typu, pokaždé s jinými čísly. Opraví se samy a u chyby uvidíš postup.