Výraz ze slovní úlohy

Jak zapsat výrazem „o třetinu víc“, „třikrát méně“ nebo „zbytek“, na co si dát pozor u obráceného vztahu a jak z výrazů dopočítat výsledek.

V testuSlovní úloha s výrazem byla v roce 2026 v každém testu a předtím v testech 2024 B, 2025 B a 2025 C (úlohy 5–7). Má dvě nebo tři podúlohy. Aspoň jednou vyjádříš něco výrazem s proměnnou (1 bod, v roce 2024 2 body) a na konci vypočteš výsledek (2 body). Někdy je první podúloha výpočet za 1 bod. Zapisují se jen výsledky.

Co potřebuješ znát

Ze slov do výrazu

Proměnnou ti dá zadání, třeba „počet hrušní označíme $h$ “. Každou další veličinu zapiš výrazem s touto proměnnou. Jinou proměnnou nepoužívej.

„o 5 víc než $h$ “: $h + 5$ ,
„třikrát víc než $h$ “: $3h$ , „třikrát méně než $h$ “: $\frac{h}{3}$ ,
„o třetinu víc než $h$ “: $h + \frac{1}{3}h = \frac{4}{3}h$ ,
„o třetinu méně než $h$ “: $h - \frac{1}{3}h = \frac{2}{3}h$ ,
„o 40 % víc než $h$ “: $1{,}4h$ ,
zbytek do celkového počtu 90: $90 - h$ ,
zbytek, když první část je $\frac{1}{4}h$ a druhá $\frac{2}{5}h$ : $h - \frac{1}{4}h - \frac{2}{5}h = \frac{7}{20}h$ ,
„třikrát méně než $h$ a $\frac{5}{4}h$ dohromady“: celý součet vyděl třemi, $\left(h + \frac{5}{4}h\right) : 3 = \frac{3}{4}h$ ,
cena 35 Kč za kus, kusů je $h$ : $35h$ ,
40 Kč za zpracování zakázky a 6 Kč za každou z $h$ fotek: $40 + 6h$ .

TipVýraz vyzkoušej na čísle. Pro $h = 12$ je o třetinu víc 16 a výraz dá opravdu $\frac{4}{3} \cdot 12 = 16$ .

Zlomek z čeho

Zlomek se počítá z toho, co stojí za slovem „než“ nebo „z“. „Švestek je třikrát méně než meruněk“ znamená třetinu počtu meruněk, ne třetinu všech stromů.

Na výlet jelo $z$ žáků. Pětina z nich jela na kole, pěšky šlo o polovinu víc žáků než na kole. Na kole jelo $\frac{1}{5}z$ žáků. Pěšky šlo $\frac{3}{2}$ tohoto počtu, ne $\frac{3}{2}$ všech žáků: $\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{5}z = \frac{3}{10}z$ .

TipU každého zlomku se zeptej: zlomek z čeho?

Obrácený vztah

Pozor, když je proměnná u veličiny, která je ve větě první. „Dub je o čtvrtinu vyšší než bříza“ a výška dubu je $d$ . Čtvrtina se počítá z výšky břízy, ne dubu.

Pomůžou díly. Bříza má 4 díly, dub o čtvrtinu víc, tedy 5 dílů. Dub $d$ je 5 dílů, jeden díl je $\frac{d}{5}$ a bříza měří $\frac{4}{5}d$ .

Dub má 5 dílů, bříza 4. Bříza měří

\frac{4}{5}d

, ne

\frac{3}{4}d

Jinak řečeno: dub je $\frac{5}{4}$ břízy, proto výšku dubu vydělíš: $d : \frac{5}{4} = \frac{4}{5}d$ .

Stejně u „méně“. Sešit má o pětinu méně stran než kniha a má $s$ stran. Kniha má 5 dílů, sešit 4, takže kniha má $\frac{5}{4}s$ stran.

Z výrazů rovnice

Poslední podúloha přidá jeden údaj: hodnotu jedné veličiny, nebo součet, rozdíl či rovnost dvou veličin. Z výrazů sestav rovnici a vyřeš ji. Jak na to, vykládá téma Rovnice.

Pak si znovu přečti otázku. Často se neptá na proměnnou, ale na jinou veličinu nebo na součet. Tu z proměnné dopočítej.

TipPozor na otázku „kolik celkem ujel“. Když se někdo kus cesty vracel, ujel tento úsek ještě dvakrát navíc: zpátky a znovu dopředu.

Jak na to

Přečti celé zadání a zjisti, která veličina je proměnná.
U každého vztahu urči, z čeho se zlomek nebo procento počítá.
Zapiš výraz a vyzkoušej ho na jednoduchém čísle.
Z posledního údaje sestav rovnici a vyřeš ji.
Dopočítej veličinu, na kterou se ptají, a udělej zkoušku.

Řešené příklady

Příklad 1: Ovocný sad

V sadu rostou třešně, meruňky a švestky. Meruněk je o pětinu víc než třešní. Švestek je třikrát méně než meruněk. Počet třešní označíme $t$ .

a) Vyjádři výrazem s proměnnou $t$ počet meruněk.

b) Vyjádři výrazem s proměnnou $t$ počet švestek.

c) V sadu roste celkem 130 stromů. Kolik je v sadu meruněk?

Řešení

a) Meruňky. O pětinu víc než třešní, pětina se tedy počítá z $t$ : $t + \frac{1}{5}t = \frac{6}{5}t$ .
b) Švestky. Třikrát méně než meruněk, ne než třešní. Počet meruněk vydělíme třemi: $\frac{6}{5}t : 3 = \frac{2}{5}t$ .
c) Rovnice. Všechny stromy dohromady: $t + \frac{6}{5}t + \frac{2}{5}t = 130$ .
Sečteme zlomky. Na společném jmenovateli 5: $\frac{5}{5}t + \frac{6}{5}t + \frac{2}{5}t = \frac{13}{5}t$ .
Třešně. $\frac{13}{5}t = 130$ , takže $t = 130 : \frac{13}{5} = 50$ .
Meruňky. Ptají se na meruňky, ne na třešně: $\frac{6}{5} \cdot 50 = 60$ .
Zkouška. Švestek je $60 : 3 = 20$ a všech stromů $50 + 60 + 20 = 130$ .

OdpověďMeruněk je $\frac{6}{5}t$ , švestek $\frac{2}{5}t$ a v sadu roste 60 meruněk.

Příklad 2: Kaštany a obrácený vztah

Tři sourozenci sbírali kaštany. Ondra nasbíral o pětinu víc kaštanů než Petr. Lucka nasbírala dvakrát víc kaštanů než Petr. Počet Ondrových kaštanů označíme $k$ .

a) Vyjádři výrazem s proměnnou $k$ , kolik kaštanů nasbíral Petr.

b) Vyjádři výrazem s proměnnou $k$ , kolik kaštanů nasbírala Lucka.

c) Lucka nasbírala o 36 kaštanů víc než Ondra. Kolik kaštanů nasbíral Petr?

Řešení

a) Petr. Pětina se počítá z Petrových kaštanů, ne z Ondrových. Petr má 5 dílů, Ondra o díl víc, tedy 6 dílů. Ondrových $k$ je 6 dílů, a tak Petr nasbíral $\frac{5}{6}k$ .
Ověříme. $\frac{5}{6}k + \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{6}k = \frac{5}{6}k + \frac{1}{6}k = k$ , sedí to.
b) Lucka. Dvakrát víc než Petr: $2 \cdot \frac{5}{6}k = \frac{5}{3}k$ .
c) Rovnice. Lucka má o 36 víc než Ondra: $\frac{5}{3}k - k = 36$ .
Odečteme. $\frac{5}{3}k - k = \frac{2}{3}k$ , takže $\frac{2}{3}k = 36$ a $k = 36 : \frac{2}{3} = 54$ .
Petr. Ptají se na Petra, ne na Ondru: $\frac{5}{6} \cdot 54 = 45$ .
Zkouška. Ondra má $45 + 9 = 54$ , to je o pětinu víc než Petr. Lucka má $2 \cdot 45 = 90$ a $90 - 54 = 36$ .

OdpověďPetr nasbíral $\frac{5}{6}k$ a Lucka $\frac{5}{3}k$ kaštanů. Po dosazení vyjde, že Petr nasbíral 45 kaštanů.

Časté chyby

Obrátíš vztah: z „dub je o čtvrtinu vyšší než bříza“ zapíšeš výšku břízy jako $\frac{3}{4}d$ .
Čtvrtina se počítá z břízy. Bříza má 4 díly, dub 5, bříza měří $\frac{4}{5}d$ . Výraz vyzkoušej na čísle.
Spočítáš zlomek z jiné veličiny: „švestek je třikrát méně než meruněk“ zapíšeš jako $\frac{t}{3}$ , i když $t$ je počet třešní.
Zlomek se počítá z toho, co je za slovem „než“. Třetina počtu meruněk je $\frac{6}{5}t : 3$ .
„Třikrát méně“ zapíšeš jako $x - 3$ a „o polovinu víc“ jako $\frac{x}{2}$ .
Třikrát méně je $\frac{x}{3}$ . O polovinu víc je $x + \frac{x}{2} = \frac{3}{2}x$ .
Odpovíš proměnnou, i když se ptají na jinou veličinu.
Po vyřešení rovnice si znovu přečti otázku. V sadu se ptají na meruňky, ne na třešně.
Jednorázovou částku vynásobíš počtem: ze 40 Kč za zakázku a 6 Kč za fotku uděláš $(40 + 6)x$ .
Za zakázku se platí jen jednou: $40 + 6x$ .
Zlomek ze součtu spočítáš jen z jedné veličiny: „čtyřikrát méně než $a$ a $b$ dohromady“ zapíšeš jako $a + \frac{b}{4}$ .
Součet dej do závorky a vyděl celý: $(a + b) : 4$ .
Druhou veličinu zapíšeš zase jako $x$ místo zbytku do celku.
Když je v krabici dohromady 60 kuliček a červených je $x$ , modrých je $60 - x$ .

Zkus si

Školní jídelna objednala celkem 120 balení jogurtů a pudinků. Jogurt stál 18 Kč, pudink 24 Kč. Pudinků objednala $x$ .

a) Vyjádři výrazem s proměnnou $x$ , kolik korun jídelna zaplatila za jogurty.

b) Za pudinky zaplatila o 780 Kč víc než za jogurty. Kolik pudinků objednala?

Ukaž řešení

a) Jogurty. Jogurtů je zbytek do 120, tedy $120 - x$ . Zaplatila za ně $18(120 - x)$ Kč.
b) Rovnice. Za pudinky zaplatila $24x$ Kč, o 780 Kč víc než za jogurty: $24x - 18(120 - x) = 780$ .
Minus před součinem. $24x - 18(120 - x) = 24x - 2\,160 + 18x = 42x - 2\,160$ .
Vyřešíme. $42x - 2\,160 = 780$ , takže $42x = 2\,940$ a $x = 70$ .
Zkouška. Pudinky stály $24 \cdot 70 = 1\,680$ Kč. Jogurtů bylo $120 - 70 = 50$ , stály $18 \cdot 50 = 900$ Kč. Rozdíl je $1\,680 - 900 = 780$ Kč.

Výsledeka) $18(120 - x)$ Kč, b) 70 pudinků

Rychlík jede o dvě pětiny rychleji než osobní vlak. Rychlost rychlíku je $v$ . Vyjádři výrazem s proměnnou $v$ rychlost osobního vlaku.

Ukaž řešení

Díly. Dvě pětiny se počítají z rychlosti osobního vlaku. Osobní vlak má 5 dílů, rychlík o 2 díly víc, tedy 7 dílů. Rychlost rychlíku $v$ je 7 dílů.
Osobní vlak. 5 dílů ze 7: $\frac{5}{7}v$ , ne $\frac{3}{5}v$ .
Ověříme. $\frac{5}{7}v + \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{7}v = \frac{5}{7}v + \frac{2}{7}v = v$ .

Výsledek $\frac{5}{7}v$

Procvič si to

Pět úloh tohoto typu, pokaždé s jinými čísly. Opraví se samy a u chyby uvidíš postup.