Úloha s výrazy: zjednodušení s postupem

Jak vyřešit poslední podúlohu úlohy s výrazy za 2 body: v jakém pořadí upravovat, jak zapsat postup a kde se ztrácejí body. Na konci celá úloha s výrazy jako v testu.

V testuÚloha s výrazy je v každém testu (úloha 3, v roce 2024 a v testech 2025 B, C, D úloha 4) a má tři podúlohy za 1, 1 a 2 body. Poslední podúloha za 2 body je v deseti testech z dvanácti zjednodušení výrazu bez závorek s celým postupem. Ve zbylých dvou je to úprava a vytknutí (2024 A) nebo úprava a rozklad podle vzorce (2025 A).

Co potřebuješ znát

Jak úloha s výrazy vypadá

Dvě podúlohy za 1 bod: krátké úlohy, jen výsledek. Umocnění dvojčlenu, krátká úprava, rozklad vytknutím nebo podle vzorce, dosazení nebo doplnění vzorce.
Podúloha za 2 body: delší výraz, nejčastěji s pokynem „Upravte na co nejjednodušší tvar bez závorek“. Test chce celý postup.

Výraz za 2 body je součet dvou nebo tří součinů, někdy s dalším členem. Bývá v něm druhá mocnina dvojčlenu nebo součin součtu a rozdílu, minus před součinem a někdy sčítání uvnitř závorky. Členy s $x^2$ se často vyruší a výsledek je dvojčlen.

TipKdyž se členy s $x^2$ vyruší, nehledej chybu, která tam není. Výsledek bez $x^2$ je v testu běžný. Ověř ho dosazením a pokračuj.

Pořadí úprav

Sečti podobné členy uvnitř závorek: $(6y - 4y) = 2y$ .
Spočítej mocniny podle vzorců a součiny závorek. Každý výsledek napiš do závorky.
Kde je před součinem minus, odstraň závorku a změň znaménka všech členů.
Sečti členy s $x^2$ , pak členy s $x$ , nakonec čísla.

TipVýsledek součinu nech v závorce, dokud neodstraníš minus před ním. Tak se znaménko neztratí.

Jak zapsat postup

Opiš zadání a pod něj piš upravené výrazy, každý na nový řádek.
Každý řádek vznikne z předchozího jednou úpravou. Hodnotitel musí každou úpravu vidět.
Na konci napiš výsledek a dál už nic neupravuj.

Za co se dávají body

2 body: správný výsledek s celým postupem.
1 bod: právě jeden nedostatek. Jeden člen upravený chybně, jedna chyba při roznásobení, nebo chybí jediný krok, třeba nesečtené členy s $x$ .
0 bodů: dvě a více chyb, nebo jen výsledek bez postupu.

Klíč uznává každý zápis, který se rovná správnému výsledku a má tvar, jaký chce pokyn. Pořadí členů nevadí: $7 - 4x$ je totéž co $-4x + 7$ .

TipChybná úprava navíc stojí bod i po správném výsledku. Když máš výsledek, skonči.

Kontrola dosazením

Za dvě minuty zjistíš, jestli v úpravách není chyba. Dosaď do zadání i do výsledku stejné číslo, třeba 3. Když vyjdou různá čísla, chyba tam je. Projdi úpravy znovu, nejdřív minus před závorkami.

TipDosazuj 3, ne 0, 1 ani 2. Nula smaže všechny členy s proměnnou a jednička zakryje chybu v mocnině. Pro $x = 2$ vyjde $x \cdot x$ stejně jako $2x$ , takže záměnu součinu a součtu nepoznáš.

V aplikaci

V aplikaci napíšeš jen výsledek, postup si piš na papír jako v testu. Aplikace výsledek porovná se správným a pozná i typické chyby: zapomenutý dvojnásobný součin, minus před závorkou nebo součin dvou závorek bez prostředních členů.

Jak na to

Přečti pokyn: bez závorek, nebo rozložit na součin?
Sečti podobné členy uvnitř závorek.
Umocni a roznásob každý součin zvlášť, výsledek dej do závorky.
Odstraň závorky. Kde je před nimi minus, změň všechna znaménka.
Sečti podobné členy a zkontroluj výsledek dosazením.

Řešené příklady

Příklad 1: Podúloha za 2 body

Uprav na co nejjednodušší tvar bez závorek: $(2y - 3)^2 - (y + 4)(y - 4) - y \cdot (3y - 7)$ . Napiš celý postup.

Řešení

Umocníme dvojčlen. Podle vzorce pro $(a - b)^2$ : $(2y - 3)^2 = 4y^2 - 12y + 9$ .
Součin součtu a rozdílu. $(y + 4)(y - 4) = y^2 - 16$ . Před ním je minus, proto změníme obě znaménka: $-(y^2 - 16) = -y^2 + 16$ .
Roznásobíme závorku. $-y \cdot (3y - 7) = -3y^2 + 7y$ .
Sečteme podobné členy. $4y^2 - 12y + 9 - y^2 + 16 - 3y^2 + 7y = -5y + 25$ . Členy s $y^2$ se vyruší: $4 - 1 - 3 = 0$ .
Kontrola. Pro $y = 3$ : zadání $3^2 - 7 \cdot (-1) - 3 \cdot 2 = 9 + 7 - 6 = 10$ a výsledek $-5 \cdot 3 + 25 = 10$ .

OdpověďUpravený výraz je $-5y + 25$ .

Příklad 2: Celá úloha s výrazy

Úloha má tři podúlohy, u poslední napiš celý postup.

a) Rozlož na součin vytknutím: $10m^2 - 15m$

b) Uprav na co nejjednodušší tvar bez závorek: $(m - 6)^2 - m(m - 10)$

c) Uprav na co nejjednodušší tvar bez závorek: $3(n + 2)(n - 1) - (n - 4)(n + 4) - 2n^2$

Řešení

a) Vytkneme. Čísla 10 a 15 mají největší společný dělitel 5 a proměnná $m$ je v obou členech: $10m^2 - 15m = 5m(2m - 3)$ .
b) Umocníme a roznásobíme. $(m - 6)^2 = m^2 - 12m + 36$ a $-m(m - 10) = -m^2 + 10m$ .
b) Sečteme. $m^2 - 12m + 36 - m^2 + 10m = -2m + 36$ .
c) Číslo a dvě závorky. Nejdřív roznásobíme závorky, pak trojkou: $3(n + 2)(n - 1) = 3(n^2 + n - 2) = 3n^2 + 3n - 6$ .
c) Součin součtu a rozdílu. $-(n - 4)(n + 4) = -(n^2 - 16) = -n^2 + 16$ .
c) Sečteme. $3n^2 + 3n - 6 - n^2 + 16 - 2n^2 = 3n + 10$ .

OdpověďVýsledky jsou a) $5m(2m - 3)$ , b) $-2m + 36$ a c) $3n + 10$ .

Časté chyby

Napíšeš jen výsledek, protože ho máš spočítaný zpaměti.
Podúloha za 2 body bez postupu nedostane žádný bod. Zapiš každou úpravu.
Minus před součinem uplatníš jen na první člen: z $-(y + 4)(y - 4)$ uděláš $-y^2 - 16$ .
Výsledek součinu dej do závorky a změň znaménka všech členů: $-(y^2 - 16) = -y^2 + 16$ .
Součin součtu a rozdílu roznásobíš špatně: $(y + 4)(y - 4)$ jako $y^2 + 16$ nebo $y^2 - 8y + 16$ .
Prostřední členy se vyruší a zbude $y^2 - 16$ . Druhý člen je vždy s minusem.
Číslo před součinem dvou závorek vynásobíš do obou závorek: $3(n + 2)(n - 1)$ přepíšeš na $(3n + 6)(3n - 3)$ .
Číslo násobí jen jednou. Roznásob závorky a teprve výsledek vynásob: $3(n + 2)(n - 1) = 3(n^2 + n - 2) = 3n^2 + 3n - 6$ .
V součinu tří činitelů ztratíš jedno znaménko minus: $-\frac{2}{3}y \cdot 3y \cdot (-2)$ spočítáš jako $-4y^2$ .
Nejdřív spočítej minusy: dvě znaménka minus dají plus. Pak čísla a proměnné: $-\frac{2}{3}y \cdot 3y \cdot (-2) = 4y^2$ .
Po správném výsledku pokračuješ další úpravou, třeba z $-5y + 25$ uděláš $20y$ .
Členy $-5y$ a $25$ podobné nejsou, sečíst nejdou. Chybná úprava navíc stojí bod.
Výsledek rozložíš na součin, i když zadání chce tvar bez závorek.
Přečti pokyn. „Bez závorek“ znamená roznásobit a sečíst, nic víc.

Zkus si

Uprav na co nejjednodušší tvar bez závorek: $(y + 2)(3y - 1) - (y - 2)^2 - 2y^2$

Ukaž řešení

Dvě závorky. $(y + 2)(3y - 1) = 3y^2 - y + 6y - 2 = 3y^2 + 5y - 2$ .
Mocnina s minusem. $-(y - 2)^2 = -(y^2 - 4y + 4) = -y^2 + 4y - 4$ .
Sečteme. $3y^2 + 5y - 2 - y^2 + 4y - 4 - 2y^2 = 9y - 6$ .

Výsledek $9y - 6$

Uprav na co nejjednodušší tvar bez závorek: $(2a - 5)(2a + 5) - 3a(a - 2) - a^2$

Ukaž řešení

Součin součtu a rozdílu. $(2a - 5)(2a + 5) = 4a^2 - 25$ .
Minus před součinem. $-3a(a - 2) = -3a^2 + 6a$ .
Sečteme. $4a^2 - 25 - 3a^2 + 6a - a^2 = 6a - 25$ .

Výsledek $6a - 25$

Procvič si to

Pět úloh tohoto typu, pokaždé s jinými čísly. Opraví se samy a u chyby uvidíš postup.