Mocniny a odmocniny

Druhá mocnina čísla, zlomku a závorky, druhá odmocnina ze součinu, ze zlomku a ze smíšeného čísla. A proč odmocnina ze součtu není součet odmocnin.

V testuV testech 2025: rozcvička za 1 bod (A 1 a B 2), podúloha za 1 bod (C 3.1) a složený zlomek s odmocninami a mocninami za 2 body s celým postupem (A 2.2, B 3.2, C 3.2, D 3.2). V úloze se zlomky v letech 2024 a 2026 mocniny ani odmocniny nebyly. Druhé mocniny ale potřebuješ i v geometrii a v logických úlohách.

Přijímačky 2027: V přijímačkách 2027 nebudou pravidla pro odmocninu zlomku a součinu. Odmocnina z čísla a mocniny zůstávají.

Co potřebuješ znát

Druhá mocnina

Druhá mocnina čísla je číslo krát samo sebe: $7^2 = 7 \cdot 7 = 49$ . Je to obsah čtverce, jehož strana je to číslo.

Čtverec se stranou 7 má obsah

7^2 = 49

Mocnina záporného čísla v závorce je kladná: $(-4)^2 = (-4) \cdot (-4) = 16$ .
Bez závorky se umocní jen čtyřka a minus zůstane před ní: $-4^2 = -16$ .
Mocninu zlomku spočítáš, když umocníš čitatele i jmenovatele: $\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}$ .
Když je umocněný jen čitatel, jmenovatel zůstane: $\frac{4^2}{3} = \frac{16}{3}$ .

U mocniny závorky nejdřív spočítej závorku a potom ji umocni: $\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\right)^2 = \left(\frac{5}{6}\right)^2 = \frac{25}{36}$ . Neumocňuj každý člen zvlášť: $\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\right)^2 \neq \frac{1}{4} + \frac{1}{9}$ .

TipDruhé mocniny čísel 11 až 20 najdeš v tabulce vzorců v testovém sešitu (od roku 2025 na poslední straně, v roce 2024 na druhé straně). Mocniny čísel do 10 musíš znát zpaměti.

Druhá odmocnina

Druhá odmocnina je opak druhé mocniny. Hledáš číslo, které na druhou dá číslo pod odmocninou: $\sqrt{49} = 7$ , protože $7^2 = 49$ . Odmocnina nikdy nevyjde záporná.

Z tabulky vzorců: $\sqrt{289} = 17$ , protože $17^2 = 289$ . Odmocnina z druhé mocniny je to číslo samo: $\sqrt{6^2} = \sqrt{36} = 6$ .

Odmocnina ze součinu a ze zlomku

Odmocnina ze součinu je součin odmocnin. Odmocni každého činitele zvlášť:

\sqrt{9 \cdot 16} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{16} = 3 \cdot 4 = 12

\begin{aligned} \sqrt{9 \cdot 16} &= \sqrt{9} \cdot \sqrt{16} \\ &= 3 \cdot 4 \\ &= 12 \end{aligned}

U odmocniny ze zlomku odmocni zvlášť čitatele a zvlášť jmenovatele: $\sqrt{\frac{81}{25}} = \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{25}} = \frac{9}{5}$ .

TipVelký součin pod odmocninou nenásob. U $\sqrt{\frac{9}{4} \cdot \frac{49}{25}}$ odmocni každý zlomek zvlášť: $\frac{3}{2} \cdot \frac{7}{5} = \frac{21}{10}$ .

Odmocnina ze součtu není součet odmocnin

Pod odmocninou nejdřív spočítej součet nebo rozdíl. Odmocni až výsledek:

\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5

\begin{aligned} \sqrt{9 + 16} &= \sqrt{25} \\ &= 5 \end{aligned}

Odmocnit každý člen zvlášť nejde: $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7$ , a to je jiné číslo.

Stejně u rozdílu: $\sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ , ne $13 - 5$ .

Smíšené číslo pod odmocninou

Smíšené číslo nejdřív převeď na zlomek, teprve potom odmocni: $5\frac{4}{9}$ je $\frac{5 \cdot 9 + 4}{9} = \frac{49}{9}$ a $\sqrt{\frac{49}{9}} = \frac{7}{3}$ .

Pod odmocninou bývá součin nebo podíl dvou smíšených čísel. Převeď obě na zlomky a odmocni každý zlomek zvlášť. Čísla zůstanou malá.

TipSmíšené číslo $5\frac{4}{9}$ je $5 + \frac{4}{9}$ , ne $5 \cdot \frac{4}{9}$ .

Kolikrát, nebo o kolik

Kolikrát je jedno číslo větší než druhé, zjistíš dělením: větší číslo vyděl menším. O kolik je větší, zjistíš odčítáním. Výsledek „kolikrát“ nemusí být celé číslo: $14 : 4 = 3{,}5$ , číslo 14 je 3,5krát větší než 4.

Otázka „kolikrát je menší“ se počítá stejně: větší číslo vyděl menším. Číslo 4 je 3,5krát menší než 14.

Jak na to

Smíšená čísla převeď na zlomky.
Spočítej, co je v závorce pod mocninou a pod odmocninou.
Umocni a odmocni. Mocniny a odmocniny mají přednost před násobením a dělením.
Odmocninu ze součinu spočítej po činitelích, odmocninu ze zlomku zvlášť z čitatele a zvlášť ze jmenovatele.
Pokračuj jako se zlomky. U složeného zlomku spočítej čitatele a jmenovatele hlavního zlomku zvlášť a potom je vyděl.

Řešené příklady

Příklad 1: Kolikrát je součet větší (1 bod)

Čísla 25 a 64 sečti. Potom je vynásob a ze součinu vypočítej druhou odmocninu. Kolikrát je součet větší než tato odmocnina?

Řešení

Součet. $25 + 64 = 89$ .
Součin. $25 \cdot 64 = 1\,600$ .
Odmocnina ze součinu. Odmocni každého činitele zvlášť, čísla zůstanou malá: $\sqrt{25 \cdot 64} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{64} = 5 \cdot 8 = 40$ .
Kolikrát. Kolikrát je jedno číslo větší než druhé, zjistíš dělením: $89 : 40 = 2{,}225$ .

OdpověďSoučet je 2,225krát větší než druhá odmocnina ze součinu.

Příklad 2: Složený zlomek s mocninami a odmocninou (2 body)

Vypočítej a výsledek zapiš zlomkem v základním tvaru. Napiš celý postup: $\displaystyle \frac{\sqrt{17^2 - 8^2}}{\frac{5^2}{2} - \left(\frac{5}{2}\right)^2}$

Řešení

Pod odmocninou. Druhou mocninu sedmnácti najdeš v tabulce vzorců. Nejdřív odečti, potom odmocni: $17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225$ a $\sqrt{225} = 15$ .
Mocnina jen čitatele. Ve zlomku $\frac{5^2}{2}$ je umocněná jen pětka: $\frac{5^2}{2} = \frac{25}{2}$ .
Mocnina zlomku. V závorce je celý zlomek, umocni čitatele i jmenovatele: $\left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{4}$ .
Jmenovatel. $\frac{25}{2} - \frac{25}{4} = \frac{50}{4} - \frac{25}{4} = \frac{25}{4}$ .
Dělení. $15 : \frac{25}{4} = 15 \cdot \frac{4}{25} = \frac{60}{25} = \frac{12}{5}$ .

OdpověďVýsledek je $\frac{12}{5}$ .

Časté chyby

Odmocňuješ každý člen zvlášť: $\sqrt{13^2 - 5^2}$ spočítáš jako $13 - 5$ .
Nejdřív spočítej, co je pod odmocninou: $\sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ .
Pod odmocninou je součin a ty odmocníš jen mocninu: $\sqrt{6^2 \cdot 25}$ spočítáš jako $6 \cdot 25$ .
Odmocni každého činitele, i toho bez mocniny: $\sqrt{6^2 \cdot 25} = \sqrt{6^2} \cdot \sqrt{25} = 6 \cdot 5 = 30$ .
Spleteš si $\frac{5^2}{2}$ a $\left(\frac{5}{2}\right)^2$ .
Podívej se, kde končí závorka. Bez závorky je umocněný jen čitatel, vyjde $\frac{25}{2}$ . Se závorkou celý zlomek, vyjde $\frac{25}{4}$ .
Závorku umocníš po členech: $\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\right)^2$ spočítáš jako $\frac{1}{4} + \frac{1}{9}$ .
Nejdřív sečti, potom umocni: $\left(\frac{5}{6}\right)^2 = \frac{25}{36}$ .
Mocninu počítáš jako násobení dvěma: $7^2$ napíšeš jako 14.
Druhá mocnina je číslo krát samo sebe: $7^2 = 7 \cdot 7 = 49$ .
Smíšené číslo čteš jako součin: $5\frac{4}{9}$ počítáš jako $5 \cdot \frac{4}{9}$ .
Smíšené číslo je součet celé části a zlomku: $5\frac{4}{9}$ je $\frac{49}{9}$ .
Smíšená čísla násobíš po částech: $1\frac{9}{16} \cdot 2\frac{1}{4}$ počítáš jako $1 \cdot 2 + \frac{9}{16} \cdot \frac{1}{4}$ .
Nejdřív obě smíšená čísla převeď na zlomky: $1\frac{9}{16}$ je $\frac{25}{16}$ a $2\frac{1}{4}$ je $\frac{9}{4}$ . Teprve potom násob: $\frac{25}{16} \cdot \frac{9}{4} = \frac{225}{64}$ .
U „kolikrát“ odčítáš, nebo dělíš obráceně: místo $89 : 40$ počítáš $89 - 40$ nebo $40 : 89$ .
„Kolikrát větší“ je podíl: větší číslo děleno menším. Rozdíl odpovídá na otázku „o kolik“.

Zkus si

Smíšené číslo $3\frac{6}{25}$ vyděl smíšeným číslem $1\frac{15}{49}$ a z podílu vypočítej druhou odmocninu. Výsledek zapiš zlomkem v základním tvaru.

Ukaž řešení

Smíšená čísla na zlomky. $3\frac{6}{25}$ je $\frac{3 \cdot 25 + 6}{25} = \frac{81}{25}$ a $1\frac{15}{49}$ je $\frac{1 \cdot 49 + 15}{49} = \frac{64}{49}$ .
Odmocnina z podílu. Odmocni každý zlomek zvlášť: $\sqrt{\frac{81}{25}} = \frac{9}{5}$ a $\sqrt{\frac{64}{49}} = \frac{8}{7}$ .
Podíl. Vynásob převrácenou hodnotou dělitele: $\frac{9}{5} : \frac{8}{7} = \frac{9}{5} \cdot \frac{7}{8} = \frac{63}{40}$ .

Výsledek $\frac{63}{40}$

Vypočítej a výsledek zapiš zlomkem v základním tvaru: $\displaystyle \frac{\sqrt{2 \cdot 32}}{\sqrt{7^2 + 51}}$

Ukaž řešení

Čitatel. Nejdřív vynásob, potom odmocni: $2 \cdot 32 = 64$ a $\sqrt{64} = 8$ .
Jmenovatel. Nejdřív sečti, potom odmocni: $7^2 + 51 = 49 + 51 = 100$ a $\sqrt{100} = 10$ .
Zkrácení. $\frac{8}{10} = \frac{4}{5}$ .

Výsledek $\frac{4}{5}$

Procvič si to

Pět úloh tohoto typu, pokaždé s jinými čísly. Opraví se samy a u chyby uvidíš postup.