Složený zlomek

Jak spočítat zlomek, který má v čitateli i ve jmenovateli celý výraz: nejdřív čitatel a jmenovatel zvlášť, potom jedno dělení.

V testuPodúloha za 2 body s celým postupem. Byla ve všech testech 2024 (A 3.2, B 3.2, C 3.1, D 3.1) a ve třech testech 2026 (A 2.2, B 2.3, C 2.3). Ve třech testech 2024 bylo ve složeném zlomku desetinné číslo. Složený zlomek s mocninami a odmocninami z testů 2025 vykládá další kapitola.

Co potřebuješ znát

Hlavní zlomková čára

Složený zlomek má nad sebou dva výrazy. Odděluje je hlavní zlomková čára: je nejdelší a stojí v úrovni rovnítka. Výraz nad ní je čitatel, výraz pod ní jmenovatel.

Hlavní zlomková čára znamená dělení, stejně jako každá zlomková čára:

\frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{8}} = \frac{3}{4} : \frac{5}{8} = \frac{3}{4} \cdot \frac{8}{5} = \frac{6}{5}

\begin{aligned} \frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{8}} &= \frac{3}{4} : \frac{5}{8} \\ &= \frac{3}{4} \cdot \frac{8}{5} \\ &= \frac{6}{5} \end{aligned}

Zároveň funguje jako závorka. Celého čitatele dělíš celým jmenovatelem: $\frac{1 + \frac{1}{2}}{3} = \left(1 + \frac{1}{2}\right) : 3 = \frac{3}{2} : 3 = \frac{1}{2}$ .

Nejdřív čitatel, potom jmenovatel

Čitatele i jmenovatele hlavního zlomku spočítej zvlášť, každého jako výraz v závorce. V každém platí přednost operací. Teprve dva hotové zlomky vyděl:

Spočítej čitatele hlavního zlomku do jednoho zlomku.
Spočítej jmenovatele hlavního zlomku do jednoho zlomku.
Čitatele vyděl jmenovatelem: vynásob ho převrácenou hodnotou jmenovatele.
Výsledek zkrať.

TipKdyž čitatel i jmenovatel hlavního zlomku vyjdou jako zlomky se stejným jmenovatelem, ten se při dělení zkrátí: $\frac{7}{10} : \frac{3}{10} = \frac{7}{10} \cdot \frac{10}{3} = \frac{7}{3}$ .

Desetinné číslo ve složeném zlomku

Desetinné číslo převeď na zlomek a zkrať: $1{,}2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$ . S jedním druhem čísel se počítá snáz.

Pozor na desetiny: $0{,}8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$ . Není to $\frac{1}{8}$ ani $\frac{8}{100}$ .

Znaménko výsledku

Když vyjde záporný jen čitatel, nebo jen jmenovatel hlavního zlomku, dej minus před celý zlomek. Výsledek je záporný, když je záporný jen jeden z nich. Když je záporný čitatel i jmenovatel, výsledek je kladný.

\frac{\frac{4}{5}}{-\frac{2}{3}} = \frac{4}{5} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = -\frac{6}{5}

\begin{aligned} \frac{\frac{4}{5}}{-\frac{2}{3}} &= \frac{4}{5} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) \\ &= -\frac{6}{5} \end{aligned}

Jak na to

Najdi hlavní zlomkovou čáru.
Spočítej čitatele hlavního zlomku do jednoho zlomku. Hlídej přednost operací a desetinná čísla převeď na zlomky.
Stejně spočítej jmenovatele hlavního zlomku.
Čitatele vyděl jmenovatelem: vynásob ho převrácenou hodnotou jmenovatele. Znaménko urči předem.
Výsledek zkrať na základní tvar.

Řešené příklady

Příklad 1: Desetinné číslo ve jmenovateli

Vypočítej a výsledek zapiš zlomkem v základním tvaru. Napiš celý postup: $\displaystyle \frac{\frac{7}{10} - \frac{3}{4}}{0{,}6 \cdot \frac{5}{8}}$

Řešení

Čitatel hlavního zlomku. Jmenovatelé jsou 10 a 4, nejmenší společný jmenovatel je 20: $\frac{7}{10} - \frac{3}{4} = \frac{14}{20} - \frac{15}{20} = -\frac{1}{20}$ .
Desetinné číslo. Převeď ho na zlomek a zkrať: $0{,}6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ .
Jmenovatel hlavního zlomku. Pětky se zkrátí: $\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{8} = \frac{3}{8}$ .
Hlavní zlomková čára znamená dělení. Jmenovatele převrať a vynásob. Minus krát plus je minus: $-\frac{1}{20} : \frac{3}{8} = -\frac{1}{20} \cdot \frac{8}{3} = -\frac{8}{60} = -\frac{2}{15}$ .

OdpověďVýsledek je $-\frac{2}{15}$ .

Příklad 2: Přednost operací v čitateli i ve jmenovateli

Vypočítej a výsledek zapiš zlomkem v základním tvaru. Napiš celý postup: $\displaystyle \frac{\frac{5}{6} \cdot \frac{9}{10} - 1}{\frac{7}{12} + \frac{1}{3} : 4}$

Řešení

Čitatel hlavního zlomku. Násobení má přednost před odčítáním. Krať do kříže: $\frac{5}{6} \cdot \frac{9}{10} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4}$ , potom $\frac{3}{4} - 1 = \frac{3}{4} - \frac{4}{4} = -\frac{1}{4}$ .
Jmenovatel hlavního zlomku. Dělení má přednost před sčítáním: $\frac{1}{3} : 4 = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$ , potom $\frac{7}{12} + \frac{1}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$ .
Dělení. Minus krát plus je minus: $-\frac{1}{4} : \frac{2}{3} = -\frac{1}{4} \cdot \frac{3}{2} = -\frac{3}{8}$ .

OdpověďVýsledek je $-\frac{3}{8}$ .

Časté chyby

Dělíš obráceně: jmenovatele hlavního zlomku vydělíš čitatelem a místo $-\frac{2}{15}$ ti vyjde $-\frac{15}{2}$ .
Vždy dělíš čitatele hlavního zlomku jeho jmenovatelem. Převrací se jmenovatel, tedy to, co je pod hlavní zlomkovou čarou.
Hlavní zlomkovou čáru vezmeš jako násobení a čitatele hlavního zlomku vynásobíš jeho jmenovatelem.
Každá zlomková čára znamená dělení, hlavní zlomková čára také.
Desetinné číslo převedeš špatně: $0{,}7$ napíšeš jako $\frac{1}{7}$ .
0,7 je sedm desetin: $0{,}7 = \frac{7}{10}$ .
V čitateli hlavního zlomku odečteš zvlášť čitatele a zvlášť jmenovatele: $\frac{7}{10} - \frac{3}{4}$ spočítáš jako $\frac{4}{6}$ .
Převeď zlomky na společného jmenovatele 20: $\frac{7}{10} - \frac{3}{4} = \frac{14}{20} - \frac{15}{20} = -\frac{1}{20}$ .
Ve jmenovateli hlavního zlomku přehlédneš přednost: v $\frac{7}{12} + \frac{1}{3} : 4$ nejdřív sečteš.
Čitatel i jmenovatel hlavního zlomku jsou výrazy jako každý jiný. Dělení spočítej dřív než sčítání.
Celý výraz vynásobíš společným jmenovatelem, jako by to byla rovnice.
Výraz není rovnice, násobením se jeho hodnota změní. Klíč za takový postup dává 0 bodů.

Zkus si

Vypočítej a výsledek zapiš zlomkem v základním tvaru: $\displaystyle \frac{2{,}5 - \frac{3}{4}}{\frac{7}{6}}$

Ukaž řešení

Desetinné číslo. $2{,}5 = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}$ .
Čitatel. $\frac{5}{2} - \frac{3}{4} = \frac{10}{4} - \frac{3}{4} = \frac{7}{4}$ .
Dělení. $\frac{7}{4} : \frac{7}{6} = \frac{7}{4} \cdot \frac{6}{7} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ .

Výsledek $\frac{3}{2}$

Vypočítej a výsledek zapiš zlomkem v základním tvaru: $\displaystyle \frac{\frac{5}{6} - \frac{3}{2}}{\frac{4}{9} : \frac{1}{3}}$

Ukaž řešení

Čitatel. $\frac{5}{6} - \frac{3}{2} = \frac{5}{6} - \frac{9}{6} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$ .
Jmenovatel. $\frac{4}{9} : \frac{1}{3} = \frac{4}{9} \cdot 3 = \frac{4}{3}$ .
Dělení. $-\frac{2}{3} : \frac{4}{3} = -\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$ .

Výsledek $-\frac{1}{2}$

Procvič si to

Pět úloh tohoto typu, pokaždé s jinými čísly. Opraví se samy a u chyby uvidíš postup.