Delší výrazy se zlomky: přednost operací

Jak spočítat výraz se zlomky, ve kterém je několik operací a závorky: co má přednost, jak počítat dělení za sebou a jak zapsat postup po krocích.

V testuPodúlohy za 1 bod, jen výsledek: 2026 B 2.2, C 2.1, C 2.2 a D 2.2. Za 2 body s celým postupem: dlouhý výraz v řádku v testech 2024 (A 3.1, B 3.1, C 3.2, D 3.2) a podíl dvou závorek 2026 D 2.3.

Co potřebuješ znát

Přednost platí i pro zlomky

Pořadí je stejné jako u celých čísel: závorky, potom násobení a dělení zleva doprava, nakonec sčítání a odčítání.

\frac{1}{2} + \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{9} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

\begin{aligned} \frac{1}{2} + \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{9} &= \frac{1}{2} + \frac{1}{6} \\ &= \frac{3}{6} + \frac{1}{6} \\ &= \frac{4}{6} \\ &= \frac{2}{3} \end{aligned}

Kdo začne sčítáním, spočítá ve skutečnosti $\left(\frac{1}{2} + \frac{3}{4}\right) \cdot \frac{2}{9} = \frac{5}{18}$ , a to je jiný výraz.

TipPodtrhni si každé násobení a dělení i se zlomky, které k němu patří. Ty spočítej jako první.

Dělení za sebou

Dvě dělení za sebou počítej zleva: $\frac{3}{4} : \frac{1}{2} : 3 = \frac{3}{2} : 3 = \frac{1}{2}$ .

Zprava by to byl jiný výraz: $\frac{3}{4} : \left(\frac{1}{2} : 3\right) = \frac{3}{4} : \frac{1}{6} = \frac{9}{2}$ .

TipV testu bývá dělení za sebou se závorkami. Pak o pořadí rozhoduje závorka: nejdřív spočítej, co je v ní.

Dělení celým číslem a jednička děleno zlomkem

Dělit šesti je totéž co vzít šestinu, tedy násobit zlomkem $\frac{1}{6}$ : $\frac{4}{9} : 6 = \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{6} = \frac{4}{54} = \frac{2}{27}$ .

Jednička děleno zlomkem je převrácená hodnota zlomku: $1 : \frac{5}{7} = \frac{7}{5}$ . Dělit polovinou znamená násobit dvěma: $3 : \frac{1}{2} = 6$ .

Nezkrácený zlomek a desetinné číslo v zadání

Test schválně dává zlomky, které nejsou v základním tvaru. Zkrať je hned, budeš počítat s menšími čísly: $\frac{12}{16} \cdot \frac{2}{9} = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{9} = \frac{1}{6}$ .

Desetinné číslo převeď na zlomek a zkrať. Potom počítej jako se zlomky:

\frac{4}{9} \cdot (-0{,}75) = \frac{4}{9} \cdot \left(-\frac{75}{100}\right) = \frac{4}{9} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) = -\frac{1}{3}

\begin{aligned} \frac{4}{9} \cdot (-0{,}75) &= \frac{4}{9} \cdot \left(-\frac{75}{100}\right) \\ &= \frac{4}{9} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) \\ &= -\frac{1}{3} \end{aligned}

Součin dvou závorek

Každou závorku spočítej zvlášť do jednoho zlomku a teprve potom výsledky vynásob. Je to kratší než roznásobovat.

Kdo závorky roznásobí, musí vynásobit každý člen první závorky každým členem druhé. Jsou to čtyři součiny, ne dva.

Jak zapsat postup

Výraz za 2 body chce celý postup. Hodnotitel musí vidět každou úpravu:

Každý řádek je rovnost: co počítáš, rovnítko, výsledek.
Závorky můžeš spočítat každou zvlášť a nadepsat je. Na konci výsledky dej dohromady.
Mezivýsledky krať hned.
Výsledek zkrať na základní tvar a dál ho neupravuj.

TipVýraz není rovnice. Nenásob ho společným jmenovatelem, tím by se jeho hodnota změnila. Klíč za to dává 0 bodů.

Jak na to

Desetinná čísla převeď na zlomky a nezkrácené zlomky zkrať.
Najdi závorky. V každé spočítej nejdřív násobení a dělení, potom sčítání a odčítání.
Mimo závorky stejně: nejdřív násobení a dělení zleva doprava, potom sčítání a odčítání.
Každý mezivýsledek zkrať a zapiš na samostatný řádek.
Výsledek zkrať na základní tvar.

Řešené příklady

Příklad 1: Dělení má přednost (1 bod)

Vypočítej a výsledek zapiš zlomkem v základním tvaru: $\frac{5}{6} - \frac{5}{9} : \frac{10}{3}$

Řešení

Přednost. Dělení má přednost před odčítáním. Spočítej ho jako první.
Dělení. Dělit zlomkem znamená násobit převrácenou hodnotou. Krať do kříže: $\frac{5}{9} : \frac{10}{3} = \frac{5}{9} \cdot \frac{3}{10} = \frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 2} = \frac{1}{6}$ .
Odčítání. Jmenovatelé jsou stejné: $\frac{5}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ .

OdpověďVýsledek je $\frac{2}{3}$ .

Příklad 2: Výraz se závorkou (2 body s postupem)

Vypočítej a výsledek zapiš zlomkem v základním tvaru. Napiš celý postup: $\frac{1}{2} - \frac{3}{4} \cdot \left(\frac{2}{3} + \frac{1}{2} : 3\right)$

Řešení

Dělení v závorce má přednost. Dělit třemi znamená násobit třetinou: $\frac{1}{2} : 3 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ .
Závorka. Společný jmenovatel je 6: $\frac{2}{3} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ .
Násobení má přednost před odčítáním. Trojku a šestku zkrať třemi: $\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} = \frac{1 \cdot 5}{4 \cdot 2} = \frac{5}{8}$ .
Odčítání. Společný jmenovatel je 8: $\frac{1}{2} - \frac{5}{8} = \frac{4}{8} - \frac{5}{8} = -\frac{1}{8}$ .
Zápis. Tyto čtyři řádky jsou celý postup. Každý obsahuje jednu úpravu a výsledek je v základním tvaru.

OdpověďVýsledek je $-\frac{1}{8}$ .

Časté chyby

Počítáš zleva doprava bez ohledu na přednost: v $\frac{1}{2} + \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{9}$ nejdřív sečteš $\frac{1}{2} + \frac{3}{4}$ .
Spočítáš tím jiný výraz a v podúloze za 2 body přijdeš o oba body. Nejdřív násobení a dělení, potom sčítání a odčítání.
Dělení za sebou počítáš zprava: $\frac{3}{4} : \frac{1}{2} : 3$ spočítáš jako $\frac{3}{4} : \frac{1}{6}$ .
Dělení jdou zleva doprava: nejdřív $\frac{3}{4} : \frac{1}{2}$ , výsledek potom vyděl třemi.
Přidáš závorku, která v zadání není: $\frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{5}{6}$ spočítáš jako $\left(\frac{1}{2} + 3\right) \cdot \frac{5}{6}$ .
Násobení má přednost: $\frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{5}{6} = \frac{1}{2} + \frac{5}{2} = 3$ .
Přehlédneš závorku a vydělíš jen poslední člen: v $\left(\frac{5}{2} - \frac{2}{3}\right) : 11$ vydělíš jedenácti jen $\frac{2}{3}$ .
Dělíš celou závorku: $\left(\frac{5}{2} - \frac{2}{3}\right) : 11 = \frac{11}{6} : 11 = \frac{1}{6}$ .
Dělení celým číslem spočítáš jako násobení: $\frac{4}{9} : 6$ napíšeš jako $\frac{24}{9}$ .
Dělit šesti znamená násobit šestinou: $\frac{4}{9} : 6 = \frac{4}{54} = \frac{2}{27}$ .
Desetinné číslo převedeš špatně: $2{,}5$ napíšeš jako $\frac{25}{100}$ nebo jako 25.
2,5 je dvacet pět desetin: $2{,}5 = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}$ .

Zkus si

Vypočítej a výsledek zapiš zlomkem v základním tvaru: $\frac{5}{6} : \frac{1}{3} : \frac{5}{4} - \frac{3}{4}$

Ukaž řešení

Dělení zleva. $\frac{5}{6} : \frac{1}{3} = \frac{5}{6} \cdot 3 = \frac{5}{2}$ , potom $\frac{5}{2} : \frac{5}{4} = \frac{5}{2} \cdot \frac{4}{5} = 2$ .
Odčítání. $2 - \frac{3}{4} = \frac{8}{4} - \frac{3}{4} = \frac{5}{4}$ .

Výsledek $\frac{5}{4}$

Vypočítej a výsledek zapiš zlomkem v základním tvaru. Napiš celý postup: $\left(\frac{1}{4} - \frac{5}{6}\right) \cdot \left(\frac{2}{7} + \frac{1}{2}\right)$

Ukaž řešení

První závorka. $\frac{1}{4} - \frac{5}{6} = \frac{3}{12} - \frac{10}{12} = -\frac{7}{12}$ .
Druhá závorka. $\frac{2}{7} + \frac{1}{2} = \frac{4}{14} + \frac{7}{14} = \frac{11}{14}$ .
Součin. Minus krát plus je minus. Sedmičku a čtrnáctku zkrať sedmi: $-\frac{7}{12} \cdot \frac{11}{14} = -\frac{1 \cdot 11}{12 \cdot 2} = -\frac{11}{24}$ .

Výsledek $-\frac{11}{24}$

Procvič si to

Pět úloh tohoto typu, pokaždé s jinými čísly. Opraví se samy a u chyby uvidíš postup.