Válec: objem, dutina a přelití

Jak spočítat objem válce s π ≐ 3,14 i jako násobek π, objem tělesa s dutinou a do jaké výšky sahá přelitá voda.

V testuOtevřená úloha 2 za 2 body (dílčí bod za objem první nádoby nebo za nezaokrouhlený výsledek), nebo výběr z pěti možností za 2 body (úloha 14). Vzorec pro obsah kruhu je v tabulce, vzorec pro objem válce ne.

Přijímačky 2027: V přijímačkách 2027 objem ani povrch válce nebude, CERMAT je z požadavků vypustil. Poznat válec v obrázku a načrtnout jeho síť zůstává.

Co potřebuješ znát

Poloměr, průměr a výška

Válec má dvě shodné podstavy, které jsou kruhy, a mezi nimi zakřivený plášť. Rozměry válce jsou poloměr podstavy r a výška v. Zadání často dá průměr d. Ten je dvakrát delší než poloměr: $r = d : 2$ .

Válec s poloměrem podstavy r a výškou v. Podstavy jsou kruhy, v obrázku se kreslí jako elipsy.

Objem válce

Válec je jako hranol, jen jeho podstava je kruh. Objem je zase obsah podstavy krát výška. Obsah kruhu je $\pi r^2$ , proto:

V = \pi r^2 v

Válec s poloměrem 3 cm a výškou 10 cm: $V = 3{,}14 \cdot 3^2 \cdot 10 = 3{,}14 \cdot 90 = 282{,}6$ cm³.

TipUmocňuješ jen poloměr: $r^2 = r \cdot r$ . Průměr nejdřív vyděl dvěma.

S π ≐ 3,14, nebo jako násobek π

Když zadání chce zaokrouhlenou hodnotu π z tabulky, dosaď 3,14. Zaokrouhli až výsledek, a to přesně tak, jak chce zadání, třeba na desítky cm³: $1\,256{,}6 \doteq 1\,260$ .

Když jsou v nabídce výsledky jako „90π cm³“, π nedosazuj. Spočítej jen $r^2 \cdot v$ a π připiš: válec s poloměrem 3 cm a výškou 10 cm má objem $\pi \cdot 9 \cdot 10 = 90\pi$ cm³. Násobky π sčítáš jako čísla: $90\pi + 40\pi = 130\pi$ .

Válec s dutinou

Váza, svícen nebo těžítko s barevným válcem uvnitř: každé z nich je velký válec a v něm menší válec. Ten menší je dutina, nebo část z jiného materiálu. Spočítej oba objemy a odečti je. Každý válec má svůj poloměr i svou výšku.

V = \pi r_1^2 v_1 - \pi r_2^2 v_2 = \pi \cdot (r_1^2 v_1 - r_2^2 v_2)

\begin{aligned} V &= \pi r_1^2 v_1 - \pi r_2^2 v_2 \\ &= \pi \cdot (r_1^2 v_1 - r_2^2 v_2) \end{aligned}

TipOdečítají se objemy, ne poloměry a výšky. Válec s poloměrem $r_1 - r_2$ a výškou $v_1 - v_2$ s tělesem nemá nic společného.

Přelití do jiné nádoby

Když vodu přeliješ, její objem se nezmění. V nové nádobě tvoří válec s podstavou nové nádoby. Výška vody je objem děleno obsahem podstavy:

v = V : (\pi r^2)

Pozor na širší nádobu. Dvakrát větší průměr znamená čtyřikrát větší obsah podstavy, protože se poloměr umocňuje. Voda pak sahá jen do čtvrtiny původní výšky, ne do poloviny.

TipPři dělení se 3,14 vykrátí. Pro kontrolu stačí vydělit $r^2 \cdot v$ první nádoby číslem $r^2$ druhé nádoby. Objem první nádoby si ale napiš, v testu za něj bývá dílčí bod.

Menší poloměr

„Poloměr je o čtvrtinu menší“ znamená, že od poloměru odečteš jeho čtvrtinu. Z poloměru 12 cm je $12 - 3 = 9$ cm. Zlomek se týká poloměru, ne objemu. Objem se změní víc, protože se poloměr umocňuje.

Plášť není objem

Plášť rozvinutý do roviny je obdélník. Jedna jeho strana je obvod podstavy $2\pi r$ , druhá výška válce. Povrch válce se v testech 2024–2026 nepočítal. Když ale do vzorce pro objem dosadíš místo obsahu podstavy $\pi r^2$ obvod $2\pi r$ , vyjde obsah pláště, a to je chyba.

Jak na to

Zjisti poloměr každého válce. Průměr vyděl dvěma.
Spočítej objem každého válce zvlášť: $\pi r^2 v$ .
Objemy odečti (dutina), sečti (dva válce), nebo objem vyděl obsahem podstavy (přelití).
Zaokrouhli, jak chce zadání, a zkontroluj jednotky.

Řešené příklady

Příklad 1: Svícen s otvorem

Dřevěný svícen má tvar rotačního válce s poloměrem podstavy 5 cm a výškou 9 cm. Shora je v něm vyvrtaný otvor pro svíčku. Otvor má tvar rotačního válce s poloměrem podstavy 3 cm a hloubkou 6 cm. Počítej s π ≐ 3,14. Kolik cm³ dřeva je ve svícnu? Výsledek zaokrouhli na desítky cm³.

Řešení

Objem plného válce. Nejdřív spočítej svícen, jako by v něm otvor nebyl: $3{,}14 \cdot 5^2 \cdot 9 = 3{,}14 \cdot 225 = 706{,}5$ cm³.
Objem otvoru. Otvor je válec s vlastním poloměrem a jeho výška je hloubka otvoru: $3{,}14 \cdot 3^2 \cdot 6 = 3{,}14 \cdot 54 = 169{,}56$ cm³.
Objem dřeva. Odečti objemy: $706{,}5 - 169{,}56 = 536{,}94$ cm³.
Zaokrouhlení. Na desítky cm³: $536{,}94 \doteq 540$ cm³.

OdpověďVe svícnu je asi 540 cm³ dřeva.

Příklad 2: Čaj z termosky do konvice

Termoska A má tvar rotačního válce s vnitřním průměrem podstavy 8 cm a výškou 18 cm. Je až po okraj plná čaje. Čaj přelijeme do prázdné konvice B tvaru rotačního válce s průměrem podstavy 12 cm a výškou 15 cm. Počítej s π ≐ 3,14. Do jaké výšky bude čaj v konvici sahat?

Řešení

Poloměry. Termoska má poloměr $8 : 2 = 4$ cm, konvice $12 : 2 = 6$ cm.
Objem čaje. Čaj vyplní celou termosku: $3{,}14 \cdot 4^2 \cdot 18 = 3{,}14 \cdot 288 = 904{,}32$ cm³.
Obsah podstavy konvice. $3{,}14 \cdot 6^2 = 3{,}14 \cdot 36 = 113{,}04$ cm².
Výška čaje. Čaj v konvici tvoří válec s podstavou konvice: $904{,}32 : 113{,}04 = 8$ cm. Kontrola bez π: $288 : 36 = 8$ . Výška konvice do výpočtu nepatří, jen ukazuje, že čaj nepřeteče.

OdpověďČaj bude v konvici sahat do výšky 8 cm.

Časté chyby

Dosadíš průměr místo poloměru.
Ve vzorci je poloměr r. Když zadání dá průměr, nejdřív ho vyděl dvěma.
Zapomeneš umocnit poloměr, nebo místo obsahu podstavy $\pi r^2$ dosadíš obvod $2\pi r$ .
Objem je obsah podstavy krát výška. Obsah kruhu je $\pi r^2$ , obvod $2\pi r$ patří k plášti.
U tělesa s dutinou odečteš poloměry a výšky a teprve pak počítáš objem. Nebo objemy sečteš.
Spočítej objem velkého válce a objem dutiny zvlášť, každý s jeho vlastní výškou. Pak je odečti.
Při přelití do dvakrát širší nádoby čekáš poloviční výšku vody.
Podstava má čtyřikrát větší obsah, protože se umocňuje poloměr. Spočítej objem a vyděl ho obsahem podstavy nové nádoby.
„O čtvrtinu menší poloměr“ spočítáš jako čtvrtinu poloměru, nebo ubereš čtvrtinu z objemu.
Od poloměru odečti jeho čtvrtinu. S novým poloměrem pak spočítej objem.
Nezaokrouhlíš, jak chce zadání, nebo počítáš s jiným π: s π z kalkulačky, nebo se zlomkem 22/7 z tabulky.
Když zadání chce zaokrouhlenou hodnotu π z tabulky, počítej s 3,14 a výsledek zaokrouhli až na konci. S jiným π přijdeš o bod, i když po zaokrouhlení vyjde stejné číslo.

Zkus si

U branky na zahradu stojí dva betonové sloupky tvaru válce, oba vysoké 30 cm. Levý má poloměr podstavy 15 cm, pravý má poloměr o třetinu menší. Kolik cm³ betonu je v obou sloupcích dohromady? Výsledek zapiš jako násobek π.

Ukaž řešení

Menší poloměr. Třetina z 15 cm je $15 : 3 = 5$ cm, menší poloměr je $15 - 5 = 10$ cm.
Objemy. $\pi \cdot 15^2 \cdot 30 = 6\,750\pi$ cm³ a $\pi \cdot 10^2 \cdot 30 = 3\,000\pi$ cm³.
Celkem. $6\,750\pi + 3\,000\pi = 9\,750\pi$ cm³.

Výsledek $9\,750\pi$ cm³

Válec A má poloměr podstavy 2 cm a výšku 7 cm. Válec B je stejně vysoký a má dvakrát větší poloměr. Kolikrát větší objem má válec B?

Ukaž řešení

Objem A. $\pi \cdot 2^2 \cdot 7 = 28\pi$ cm³.
Objem B. Poloměr je 4 cm: $\pi \cdot 4^2 \cdot 7 = 112\pi$ cm³.
Porovnání. $112 : 28 = 4$ . Poloměr se umocňuje, dvakrát větší poloměr dá čtyřikrát větší objem.

VýsledekČtyřikrát.