Objem v litrech a výška hladiny

Kolik litrů vody přibude, když hladina stoupne o několik milimetrů, a o kolik stoupne hladina, když vodu přilijeme.

V testuÚloha 6 se dvěma podúlohami po 1 bodu, bez obrázku. Do záznamového archu píšeš jen výsledek, a to v jednotce, kterou chce otázka.

Přijímačky 2027: V přijímačkách 2027 objem válce nebude, CERMAT ho z požadavků vypustil.

Co potřebuješ znát

Přibylá voda je vrstva

Když v nádobě se svislými stěnami stoupne hladina, přibude vrstva vody. Má tvar dna nádoby a její výška je to, o kolik hladina stoupla. Vrstva je hranol, nebo válec. Její objem je obsah dna krát výška vrstvy.

Přibylá vrstva vody (tmavší) má stejné dno jako nádoba. Její výška h je to, o kolik stoupla hladina.

V = S \cdot h

objem vrstvy: obsah dna krát výška vrstvy

Platí to pro válcový sud i pro akvárium tvaru kvádru. Když zadání dá obsah dna, π nepotřebuješ.

Nejdřív stejné jednotky

Obsah dna bývá v cm², výška hladiny v milimetrech. Než je vynásobíš, převeď výšku na centimetry. Protože 1 cm = 10 mm, milimetry dělíš deseti. Objem pak vyjde v cm³.

Nakonec cm³ převeď na litry. Protože 1 l = 1 dm³ = 1 000 cm³, dělíš tisícem.

25 mm je 2,5 cm,
4 200 cm³ je 4,2 l,
0,8 l je 800 cm³.

Obráceně: o kolik stoupne hladina

Když víš, kolik vody přibylo, převeď litry na cm³ (násobíš tisícem). Výšku vrstvy dostaneš, když objem vydělíš obsahem dna. Vyjde v centimetrech. Když otázka chce milimetry, vynásob výsledek deseti.

h = V : S

TipVe stejné nádobě platí přímá úměrnost: dvakrát víc vody zvedne hladinu dvakrát víc. Když 2 litry zvednou hladinu o 6 mm, zvedne ji 5 litrů o 15 mm.

Když hladina klesne

Když vodu z nádoby odebereš, třeba při zalévání nebo odčerpání, hladina klesne. Počítá se stejně: ubylá voda je vrstva s tvarem dna a s výškou, o kolik hladina klesla. Otázka pak zní, kolik litrů se spotřebovalo, nebo o kolik milimetrů hladina klesla.

Jak na to

Převeď údaje na stejnou jednotku: když je dno v cm², výšku převeď na cm a objem na cm³.
Objem vrstvy je obsah dna krát výška. Výška vrstvy je objem děleno obsahem dna.
Výsledek převeď na jednotku z otázky: litry, nebo milimetry.
Zkontroluj, že výsledek dává smysl. Déšť nepřidá do sudu stovky litrů.

Řešené příklady

Příklad 1: Akvárium

Akvárium tvaru kvádru má dno 60 cm × 40 cm.

a) Dolili jsme vodu a hladina stoupla o 15 mm. Kolik litrů vody jsme dolili?

b) Při čištění jsme odčerpali 6 litrů vody. O kolik milimetrů klesla hladina?

Řešení

Obsah dna. $60 \cdot 40 = 2\,400$ cm².
a) Výška vrstvy. Dno je v cm², výšku převeď na cm: $15 : 10 = 1{,}5$ cm.
a) Objem vrstvy. $2\,400 \cdot 1{,}5 = 3\,600$ cm³.
a) Litry. $3\,600 : 1\,000 = 3{,}6$ l.
b) Objem v cm³. $6 \cdot 1\,000 = 6\,000$ cm³.
b) Výška vrstvy. $6\,000 : 2\,400 = 2{,}5$ cm.
b) Milimetry. $2{,}5 \cdot 10 = 25$ mm.

OdpověďDolili jsme 3,6 litru vody a při čištění klesla hladina o 25 mm.

Příklad 2: Nádrž na zalévání

Nádrž na vodu u skleníku má tvar rotačního válce a její dno má obsah 4 000 cm².

a) Při zalévání klesla hladina o 35 mm. Kolik litrů vody se spotřebovalo?

b) Další den se spotřebovalo 22 litrů vody. O kolik milimetrů klesla hladina?

Řešení

a) Výška vrstvy. Dno je v cm², výšku převeď na cm: $35 : 10 = 3{,}5$ cm.
a) Objem ubylé vody. Ubylá voda je válec s dnem nádrže: $4\,000 \cdot 3{,}5 = 14\,000$ cm³.
a) Litry. $14\,000 : 1\,000 = 14$ l.
b) Objem v cm³. $22 \cdot 1\,000 = 22\,000$ cm³.
b) Výška vrstvy. $22\,000 : 4\,000 = 5{,}5$ cm, to je 55 mm.
b) Kontrola úměrností. 14 litrů snížilo hladinu o 35 mm, 1 litr tedy o $35 : 14 = 2{,}5$ mm a 22 litrů o $22 \cdot 2{,}5 = 55$ mm.

OdpověďPři zalévání se spotřebovalo 14 litrů vody a další den klesla hladina o 55 mm.

Časté chyby

Nepřevedeš milimetry na centimetry a výsledek vyjde desetkrát větší.
Obsah dna je v cm², proto i výšku převeď na cm: milimetry vyděl deseti.
Centimetry krychlové převádíš na litry dělením stem.
1 l = 1 dm³ = 1 000 cm³. Objem se převádí po tisíci, ne po stu.
Odpovíš v jiné jednotce, než chce otázka: v cm³ místo litrů, nebo v cm místo mm.
Přečti si znovu otázku. Převod na její jednotku udělej jako poslední krok.
Při výpočtu výšky vydělíš obsah dna objemem.
Výška je objem děleno obsahem dna. Zkontroluj, že vyjde rozumná výška v centimetrech.
Litry nepřevedeš na cm³ a vydělíš je rovnou obsahem dna v cm².
Než dělíš, převeď litry na cm³, aby jednotky seděly s obsahem dna.

Zkus si

Válcová nádoba má dno s obsahem 800 cm². Hladina v ní stoupla o 35 mm. Kolik litrů vody přibylo?

Ukaž řešení

Výška vrstvy. $35 : 10 = 3{,}5$ cm.
Objem. $800 \cdot 3{,}5 = 2\,800$ cm³, to je 2,8 l.

Výsledek2,8 l

Do hrnce tvaru válce s dnem 400 cm² nalijeme 2,4 litru vody. O kolik milimetrů stoupne hladina?

Ukaž řešení

Objem v cm³. $2{,}4 \cdot 1\,000 = 2\,400$ cm³.
Výška vrstvy. $2\,400 : 400 = 6$ cm, to je 60 mm.

Výsledek60 mm