Lichoběžník

Základny, ramena a výška. Obsah a obvod lichoběžníku a jak ho rozdělit na obdélník a trojúhelníky, když chybí nějaká strana.

V testuÚloha s podúlohami za 3 až 4 body (úlohy 6–8). Lichoběžník byl v pěti z dvanácti testů 2024–2026.

Co potřebuješ znát

Co je lichoběžník

Lichoběžník je čtyřúhelník, který má právě dvě strany rovnoběžné. Rovnoběžné strany jsou základny (a, c), zbylé dvě jsou ramena (b, d). Výška v je vzdálenost základen, měří se kolmo.

Pravoúhlý lichoběžník má jedno rameno kolmé k základnám. To rameno je zároveň výška.
Rovnoramenný lichoběžník má obě ramena stejně dlouhá. Je souměrný podle osy, která prochází středy obou základen.

Obsah

S = \frac{(a + c) \cdot v}{2}

Proč: dva stejné lichoběžníky, jeden otočený vzhůru nohama, složíš do rovnoběžníku. Jeho strana je $a + c$ a výška v. Lichoběžník je jeho polovina.

V tabulce v testovém sešitu vzorec pro obsah lichoběžníku není.

Trojúhelníky uvnitř lichoběžníku

Úhlopříčka AC rozdělí lichoběžník na trojúhelníky ABC a ACD. Oba mají stejnou výšku jako lichoběžník, protože třetí vrchol každého z nich leží na druhé základně.

Obsah lichoběžníku je proto součet obsahů obou trojúhelníků: $\frac{a \cdot v}{2} + \frac{c \cdot v}{2}$ . A obráceně: ze známého obsahu trojúhelníku a jeho strany na základně spočítáš výšku lichoběžníku.

U pravoúhlého lichoběžníku tvoří úhlopříčka s kolmým ramenem a se základnou pravoúhlý trojúhelník. Úhlopříčka je jeho přepona.

Rovnoběžník

Rovnoběžník má obě dvojice protějších stran rovnoběžné a protější strany jsou stejně dlouhé. Když lichoběžník rozdělíš úsečkou rovnoběžnou s jedním ramenem, vznikne rovnoběžník a trojúhelník.

Obvod

Obvod je součet všech čtyř stran: $o = a + b + c + d$ . Šikmé rameno bývá potřeba dopočítat Pythagorovou větou.

Rozdělení na obdélník a trojúhelníky

Dokresli výšky z koncových bodů kratší základny. Lichoběžník se rozpadne na obdélník uprostřed a pravoúhlé trojúhelníky po stranách.

U pravoúhlého lichoběžníku vznikne jeden trojúhelník. Jeho dolní odvěsna je rozdíl základen $a - c$ .
U rovnoramenného vzniknou dva stejné trojúhelníky. Každý má dolní odvěsnu $(a - c) : 2$ .
Druhá odvěsna je vždy výška v, přepona je rameno.

Jak na to

Zapiš do obrázku základny, výšku a ramena, která znáš.
Chybí rameno nebo výška? Dokresli výšku a najdi pravoúhlý trojúhelník.
Spočítej jeho dolní odvěsnu z rozdílu základen.
Dopočítej chybějící stranu Pythagorovou větou.
Dosaď do vzorce pro obsah nebo obvod.

Řešené příklady

Příklad 1: Pravoúhlý lichoběžník

Pravoúhlý lichoběžník ABCD má základny AB = 26 cm a CD = 14 cm. Rameno AD = 9 cm je kolmé k základnám.

a) Vypočti obsah lichoběžníku.

b) Vypočti jeho obvod.

Řešení

a) Výška. Rameno AD je kolmé k základnám, je to zároveň výška: 9 cm.
a) Obsah. $S = \frac{(26 + 14) \cdot 9}{2} = \frac{40 \cdot 9}{2} = 180$ cm².
b) Pravoúhlý trojúhelník. Výška CE odřízne trojúhelník EBC. Úsečka AE je stejně dlouhá jako CD, zbytek základny je $26 - 14 = 12$ cm. Trojúhelník EBC má odvěsny 12 cm a 9 cm.
b) Rameno BC. Je to přepona: $\sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15$ cm.
b) Obvod. $26 + 15 + 14 + 9 = 64$ cm.

OdpověďObsah lichoběžníku je 180 cm² a jeho obvod 64 cm.

Příklad 2: Lichoběžník ze čtverce

Ze čtverce se stranou 24 cm odstřihneme v horních rozích dva shodné pravoúhlé trojúhelníky. Zbude rovnoramenný lichoběžník s kratší základnou 10 cm.

a) Jaký obsah má lichoběžník?

b) Jaký má obvod?

Řešení

Rozměry lichoběžníku. Dolní strana čtverce zůstala celá, delší základna má 24 cm. Výška lichoběžníku je strana čtverce, 24 cm. Kratší základna má 10 cm.
a) Obsah. $S = \frac{(24 + 10) \cdot 24}{2} = \frac{34 \cdot 24}{2} = 408$ cm².
b) Odstřižené trojúhelníky. Z horní strany čtverce zbylo 10 cm. Na oba trojúhelníky připadá $24 - 10 = 14$ cm, na každý $14 : 2 = 7$ cm.
b) Rameno. Rameno je přepona trojúhelníku s odvěsnami 7 cm a 24 cm: $\sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$ cm.
b) Obvod. $24 + 10 + 25 + 25 = 84$ cm.

OdpověďLichoběžník má obsah 408 cm² a obvod 84 cm.

Časté chyby

Zapomeneš dělit dvěma: $(a + c) \cdot v$ .
Bez dělení dvěma máš obsah dvou lichoběžníků, tedy celého rovnoběžníku.
Šikmé rameno dosadíš místo výšky.
Výška je kolmá k základnám. Šikmé rameno je vždy delší než výška.
U rovnoramenného lichoběžníku vezmeš jako odvěsnu celý rozdíl základen.
Rozdíl základen se dělí na dva trojúhelníky po stranách, každý má polovinu.
V Pythagorově větě dosadíš celou základnu místo rozdílu základen.
Nakresli si pravoúhlý trojúhelník zvlášť a popiš jeho strany.
V obvodu zapomeneš jednu stranu, nebo přičteš výšku.
Obvod tvoří čtyři strany okraje. Výška uvnitř do obvodu nepatří. U pravoúhlého lichoběžníku je výškou rameno, to se počítá jednou.

Zkus si

Lichoběžník má základny 11 cm a 7 cm a výšku 6 cm. Jaký má obsah?

Ukaž řešení

Obsah. $S = \frac{(11 + 7) \cdot 6}{2} = \frac{18 \cdot 6}{2} = 54$ cm².

Výsledek54 cm²

Rovnoramenný lichoběžník má základny 20 cm a 8 cm a ramena 10 cm. Jakou má výšku?

Ukaž řešení

Odvěsna. Každý trojúhelník po straně má dolní odvěsnu $(20 - 8) : 2 = 6$ cm.
Výška. $\sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ cm.

Výsledek8 cm

Procvič si to

Pět úloh tohoto typu, pokaždé s jinými čísly. Opraví se samy a u chyby uvidíš postup.