Kružnice a Thaletova věta

Poloměr a průměr, proč je trojúhelník se středem kružnice rovnoramenný a kdy je úhel pravý podle Thaletovy věty.

V testuTvrzení ano/ne za 4 body (úloha 11) nebo podúlohy s úhly. Thaletova kružnice se objevuje i v rýsování.

Přijímačky 2027: Thaletova věta v požadavcích na přijímačky 2027 není, úloha s ní nejspíš nepřijde. Úhly v kružnici a v trojúhelníku zůstávají.

Co potřebuješ znát

Kružnice, střed a poloměr

Kružnice je čára. Všechny její body mají stejnou vzdálenost od středu S. Té vzdálenosti se říká poloměr r. Průměr d je úsečka přes střed z jedné strany kružnice na druhou. Je dvakrát delší než poloměr: $d = 2r$ .

Úsečka mezi dvěma body kružnice je tětiva. Nejdelší tětiva vede přes střed, je to průměr.

Kruh je plocha uvnitř kružnice. Obvodem a obsahem kruhu se zabývá kapitola Kruh a kružnice: obvod a obsah.

Dva poloměry dají rovnoramenný trojúhelník

Když má trojúhelník dva vrcholy na kružnici a třetí ve středu, jsou dvě jeho strany poloměry. Mají stejnou délku, takže trojúhelník je rovnoramenný. Úhly u bodů na kružnici jsou shodné.

Úhly u bodů A a K jsou shodné:

(180^\circ - 100^\circ) : 2 = 40^\circ

Thaletova věta

Vezmi průměr AB a libovolný bod C na kružnici. Úhel ACB je vždy pravý. Kružnici s průměrem AB se proto říká Thaletova kružnice nad úsečkou AB.

Proč: úsečka SC rozdělí trojúhelník na dva rovnoramenné, protože SA, SB a SC jsou poloměry. Úhel u vrcholu C je proto součet úhlů u A a u B. Celý trojúhelník má 180°, takže úhel u C je polovina: 90°.

Jak to poznáš v úloze: hledej trojúhelník, jehož všechny tři vrcholy leží na kružnici a jedna strana prochází jejím středem. Zadání to často řekne nepřímo: „střed kružnice opsané leží na straně AB“. Kružnice opsaná trojúhelníku prochází všemi třemi jeho vrcholy.

TipPlatí to i obráceně: když má trojúhelník u vrcholu C pravý úhel, leží C na kružnici s průměrem AB. Střed kružnice opsané je uprostřed přepony.

Jak na to

Najdi střed kružnice a všechny úsečky, které z něj vedou k bodům kružnice. Jsou to poloměry.
Trojúhelník se dvěma poloměry je rovnoramenný. Označ si v něm shodné úhly.
Úsečka přes střed z kraje na kraj je průměr. Úhel nad ním u bodu kružnice je pravý.
Dál počítej se součtem úhlů v trojúhelníku a s vedlejšími úhly.

Řešené příklady

Příklad 1: Úhly u kružnice

Body A, B a M leží na kružnici se středem S, úsečka AB je průměr. Úhel mezi úsečkami MA a MS má 27° (viz obrázek). Vypočti velikosti úhlů φ, ψ a ε.

Obrázek je jen ilustrativní.

Řešení

Rovnoramenný trojúhelník ASM. Úsečky SA a SM jsou poloměry, mají stejnou délku. Trojúhelník ASM je rovnoramenný se základnou AM a úhly u A a u M jsou shodné: $\varphi = 27^\circ$ .
Úhel ε. Součet úhlů v trojúhelníku ASM je 180°: $\varepsilon = 180^\circ - 27^\circ - 27^\circ = 126^\circ$ .
Thaletova věta. Úsečka AB je průměr a bod M leží na kružnici, proto je úhel AMB pravý.
Úhel ψ. V trojúhelníku ABM je u vrcholu M pravý úhel, úhly φ a ψ dají dohromady 90°: $\psi = 90^\circ - 27^\circ = 63^\circ$ .

OdpověďÚhel φ má velikost 27°, úhel ψ 63° a úhel ε 126°.

Časté chyby

Nevšimneš si, že úsečka prochází středem, a Thaletovu větu nepoužiješ.
U každé kružnice se zeptej: Vede nějaká úsečka přes střed? Pak je to průměr a úhel u bodu na kružnici je pravý.
Trojúhelník se dvěma poloměry nebereš jako rovnoramenný.
Všechny úsečky ze středu k bodům kružnice jsou stejně dlouhé. Označ si je čárkami.
V tvrzení s nerovností přehlédneš, že obě strany vyšly stejně. Tvrzení „ $\alpha + \beta > 90^\circ$ “ neplatí, když je součet přesně 90°.
Spočítej obě strany. Znak > platí, jen když je levá strana opravdu větší.
Úhel odhadneš z obrázku.
Obrázek je jen ilustrativní. Úhel spočítej z poloměrů, průměru a součtu úhlů.

Zkus si

Trojúhelník ABC má střed kružnice opsané uprostřed strany AB. Úhel u vrcholu A má 28°. Jak velký je úhel u vrcholu B?

Ukaž řešení

Thaletova věta. Střed kružnice opsané leží na straně AB, AB je tedy průměr a úhel u vrcholu C je pravý.
Úhel u vrcholu B. $180^\circ - 90^\circ - 28^\circ = 62^\circ$ .

Výsledek62°

Body A a B leží na kružnici se středem S. Úhel ASB má 50°. Jak velký je úhel SAB?

Ukaž řešení

Rovnoramenný trojúhelník. SA a SB jsou poloměry, úhly u A a u B jsou shodné.
Úhel SAB. $(180^\circ - 50^\circ) : 2 = 65^\circ$ .

Výsledek65°

Procvič si to

Pět úloh tohoto typu, pokaždé s jinými čísly. Opraví se samy a u chyby uvidíš postup.