Úhly ve čtyřúhelníku a v pravidelném mnohoúhelníku

Součet úhlů ve čtyřúhelníku, osa úhlu a úhly v pravidelném pětiúhelníku, šestiúhelníku a dalších mnohoúhelnících.

V testuVýběr z pěti možností za 2 body nebo podúlohy za 1 a 2 body.

Co potřebuješ znát

Součet úhlů ve čtyřúhelníku

Úhlopříčka rozdělí čtyřúhelník na dva trojúhelníky. Každý má součet úhlů 180°, dohromady $2 \cdot 180^\circ = 360^\circ$ .

\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ

V obdélníku a ve čtverci jsou všechny čtyři úhly pravé: $4 \cdot 90^\circ = 360^\circ$ .

Osa úhlu

Osa úhlu je polopřímka z vrcholu, která úhel rozpůlí. Oba nové úhly jsou poloviční. V obrázku to poznáš podle stejných obloučků. V testu se osa kreslí i jako celá přímka a označuje se třeba o.

V obdélníku má každý úhel 90°. Osa ho rozdělí na dva úhly po $90^\circ : 2 = 45^\circ$ .

Pravidelný mnohoúhelník

Pravidelný mnohoúhelník má všechny strany stejně dlouhé a všechny úhly stejně velké. Pravidelný trojúhelník je rovnostranný, pravidelný čtyřúhelník je čtverec.

Součet vnitřních úhlů: úhlopříčky z jednoho vrcholu rozdělí n-úhelník na $n - 2$ trojúhelníků. Každý má 180°:

(n - 2) \cdot 180^\circ

Pětiúhelník se rozdělí na tři trojúhelníky:

3 \cdot 180^\circ = 540^\circ

. Jeden úhel má

540^\circ : 5 = 108^\circ

Šestiúhelník: $(6 - 2) \cdot 180^\circ = 720^\circ$ , jeden úhel $720^\circ : 6 = 120^\circ$ .

Středový úhel: spoj střed se všemi vrcholy. Vznikne n shodných rovnoramenných trojúhelníků. Úhel u středu má $360^\circ : n$ .

U šestiúhelníku má středový úhel

360^\circ : 6 = 60^\circ

. Všech šest trojúhelníků je proto rovnostranných.

Osy souměrnosti: pravidelný n-úhelník jich má n. U pětiúhelníku vede každá osa vrcholem a středem protější strany a půlí úhel u toho vrcholu.

Jak na to

U pravidelného mnohoúhelníku si nejdřív spočítej jeden vnitřní úhel.
Najdi v obrázku trojúhelníky. Často jsou rovnoramenné: mají dvě strany mnohoúhelníku nebo dvě úsečky ze středu.
Úhly u základny rovnoramenného trojúhelníku dopočítáš ze součtu 180°.
Osu úhlu ber jako půlku: úhel na jedné straně osy je polovina celého úhlu.

Řešené příklady

Příklad 1: Pravidelný pětiúhelník

ABCDE je pravidelný pětiúhelník a AC je jeho úhlopříčka. Vypočti velikost úhlu φ mezi stranou AB a úhlopříčkou AC a velikost úhlu ω mezi úhlopříčkou AC a stranou AE.

Obrázek je jen ilustrativní.

Řešení

Vnitřní úhel. Součet úhlů pětiúhelníku je $(5 - 2) \cdot 180^\circ = 540^\circ$ . Jeden úhel má $540^\circ : 5 = 108^\circ$ .
Rovnoramenný trojúhelník. Úsečky AB a BC jsou strany pětiúhelníku, mají stejnou délku. Trojúhelník ABC je rovnoramenný, úhel 108° u vrcholu B leží proti základně AC.
Úhel φ. Úhly u základny jsou shodné: $\varphi = (180^\circ - 108^\circ) : 2 = 36^\circ$ .
Úhel ω. Celý úhel u vrcholu A má 108°. Úhlopříčka AC ho dělí na φ a ω: $\omega = 108^\circ - 36^\circ = 72^\circ$ .

OdpověďÚhel φ má velikost 36° a úhel ω 72°.

Příklad 2: Osa úhlu v obdélníku

V obdélníku ABCD protne osa úhlu u vrcholu A stranu CD v bodě X. Úsečka BX svírá se stranou BC úhel 25°. Vypočti velikost úhlu φ mezi úsečkami XA a XB.

Obrázek je jen ilustrativní.

Řešení

Osa úhlu. Úhel u vrcholu A je v obdélníku pravý. Osa ho dělí na dvě poloviny, úhel BAX má $90^\circ : 2 = 45^\circ$ .
Úhel u vrcholu B. Úhel ABC je také pravý. Úsečka BX z něj odděluje 25°, zbytek je úhel ABX: $90^\circ - 25^\circ = 65^\circ$ .
Úhel φ. V trojúhelníku ABX znáš dva úhly. Součet je 180°: $\varphi = 180^\circ - 45^\circ - 65^\circ = 70^\circ$ .

OdpověďÚhel φ má velikost 70°.

Časté chyby

Zapomeneš, že osa dělí úhel na polovinu. Počítáš s celým úhlem tam, kde je potřeba polovina, nebo naopak.
Napiš si do obrázku obě poloviny i celý úhel. Pak vidíš, se kterým pracuješ.
Jako vnitřní úhel pravidelného pětiúhelníku vezmeš středový úhel $360^\circ : 5 = 72^\circ$ .
Středový úhel je u středu, vnitřní úhel je u vrcholu. Vnitřní úhel pětiúhelníku má 108°.
Součet úhlů mnohoúhelníku spočítáš jako počet vrcholů krát 180°.
Trojúhelníků je o dva méně než vrcholů: $(n - 2) \cdot 180^\circ$ . Kontrola: čtyřúhelník má $2 \cdot 180^\circ = 360^\circ$ .
Úsečku v obrázku považuješ za osu úhlu, i když to zadání neříká.
Osou je jen to, co zadání osou nazve. Úhlopříčka obdélníku, který není čtverec, úhel nepůlí.

Zkus si

Kolik stupňů má jeden vnitřní úhel pravidelného šestiúhelníku?

Ukaž řešení

Součet úhlů. $(6 - 2) \cdot 180^\circ = 720^\circ$ .
Jeden úhel. $720^\circ : 6 = 120^\circ$ .

Výsledek120°

Ve čtyřúhelníku mají tři úhly 75°, 95° a 110°. Kolik má čtvrtý úhel?

Ukaž řešení

Součet úhlů. $360^\circ - 75^\circ - 95^\circ - 110^\circ = 80^\circ$ .

Výsledek80°

Procvič si to

Pět úloh tohoto typu, pokaždé s jinými čísly. Opraví se samy a u chyby uvidíš postup.