Trojúhelník: strany, výška a obsah

Jak dlouhé strany může trojúhelník mít, co je výška a jak spočítat obvod a obsah.

V testuTrojúhelníková nerovnost bývá jako dvě podúlohy po 1 bodu. Obsah trojúhelníku potřebuješ v úlohách s lichoběžníkem a s Pythagorovou větou.

Co potřebuješ znát

Druhy trojúhelníků

Podle stran: obecný (každá strana jiná), rovnoramenný (dvě strany stejné), rovnostranný (všechny tři stejné).
Podle úhlů: ostroúhlý (všechny úhly ostré), pravoúhlý (jeden úhel pravý), tupoúhlý (jeden úhel tupý).

Trojúhelníková nerovnost

Ze tří úseček složíš trojúhelník, jen když je každá kratší než součet zbylých dvou. Zkus to s proužky papíru dlouhými 3 cm, 4 cm a 9 cm: dva krátké se nad dlouhým nepotkají.

a + b > c

Stačí ověřit nejdelší stranu: musí být kratší než součet dvou kratších. Tady $3 + 4 = 7$ , a to je méně než 9.

Když znáš dvě strany, třetí strana musí být delší než jejich rozdíl a kratší než jejich součet. Pro strany 7 cm a 12 cm: $12 - 7 < c < 12 + 7$ , tedy $5 < c < 19$ .

TipRovnost nestačí. Se stranami 7 cm, 12 cm a 19 cm by se trojúhelník „zplacatil“ do úsečky. Když má být délka strany c celé číslo, může mít nejvýš 18 cm a nejméně 6 cm.

Výška

Výška je kolmice z vrcholu na protější stranu. Každý trojúhelník má tři výšky, ke každé straně jednu. Výška $v_c$ patří ke straně c.

U pravoúhlého trojúhelníku jsou výškami i odvěsny: jsou na sebe kolmé. U tupoúhlého trojúhelníku padnou dvě výšky mimo něj, na prodloužení strany.

Obvod a obsah

Obvod je součet všech tří stran: $o = a + b + c$ .

Obsah: trojúhelník je polovina obdélníku, který má stejnou stranu a stejnou výšku. Obsah je proto polovina součinu strany a výšky k ní:

S = \frac{c \cdot v_c}{2}

Obdélník má obsah

8 \cdot 5 = 40

cm², trojúhelník polovinu:

\frac{8 \cdot 5}{2} = 20

cm².

Násob vždy stranu výškou, která k ní patří a je na ni kolmá. U pravoúhlého trojúhelníku stačí odvěsny: $S = \frac{a \cdot b}{2}$ .

Ze známého obsahu spočítáš výšku: $v_c = \frac{2S}{c}$ . Trojúhelník s obsahem 24 cm² a stranou 8 cm má výšku k ní $2 \cdot 24 : 8 = 6$ cm.

Jak na to

Zjisti, které strany znáš a ke které straně patří výška.
Pro obsah vynásob stranu výškou k ní a vyděl dvěma.
U trojúhelníkové nerovnosti napiš obě meze: delší než rozdíl, kratší než součet.
Když má být délka celé číslo, vezmi nejbližší celé číslo uvnitř mezí. Rovnost nepatří.

Řešené příklady

Příklad 1: Největší a nejmenší délka strany

Trojúhelník má strany a = 9 cm a b = 15 cm. Délka strany c je v centimetrech celé číslo.

a) Jakou největší délku může mít strana c?

b) Jaký je nejmenší možný obvod trojúhelníku?

Řešení

Meze pro stranu c. Strana c musí být delší než rozdíl a kratší než součet zbylých dvou stran: $15 - 9 < c < 15 + 9$ , tedy $6 < c < 24$ .
a) Největší délka. Největší celé číslo menší než 24 je 23. Se stranou 24 cm by trojúhelník nevznikl, vrchol by ležel na úsečce.
b) Nejmenší délka. Nejmenší celé číslo větší než 6 je 7.
b) Obvod. Sečti všechny tři strany: $9 + 15 + 7 = 31$ .

OdpověďStrana c může měřit nejvýš 23 cm a nejmenší možný obvod je 31 cm.

Příklad 2: Výška na přeponu

Pravoúhlý trojúhelník ABC má odvěsny 12 cm a 9 cm a přeponu 15 cm. Jak dlouhá je výška na přeponu?

Řešení

Obsah z odvěsen. Odvěsny jsou na sebe kolmé, jedna je výškou k druhé: $S = \frac{12 \cdot 9}{2} = 54$ cm².
Stejný obsah z přepony. Obsah je i polovina součinu přepony a výšky na ni: $S = \frac{15 \cdot v}{2}$ .
Výška. Z toho $v = \frac{2 \cdot 54}{15} = 7{,}2$ cm.

OdpověďVýška na přeponu měří 7,2 cm.

Časté chyby

Připustíš rovnost: ze stran 9 cm a 15 cm uděláš nejdelší stranu 24 cm.
Nerovnost je ostrá. Při rovnosti by z trojúhelníku zbyla úsečka.
Odpovíš obvodem, když se ptají na stranu, nebo naopak.
Před zápisem odpovědi si otázku přečti ještě jednou.
V obsahu zapomeneš dělit dvěma.
Bez dělení dvěma máš obsah celého obdélníku, ne trojúhelníku.
Vynásobíš stranu jinou šikmou stranou místo výškou.
Výška je vždy kolmá na stranu, ke které patří. Šikmá strana výškou není, kromě odvěsen v pravoúhlém trojúhelníku.

Zkus si

Trojúhelník má stranu 10 cm a výšku k ní 7 cm. Jaký má obsah?

Ukaž řešení

Obsah. $S = \frac{10 \cdot 7}{2} = 35$ cm².

Výsledek35 cm²

Dá se sestrojit trojúhelník se stranami 5 cm, 6 cm a 12 cm?

Ukaž řešení

Nejdelší strana. Dvě kratší strany mají dohromady $5 + 6 = 11$ cm, a to je méně než 12 cm. Trojúhelník nevznikne.

VýsledekNe.

Procvič si to

Pět úloh tohoto typu, pokaždé s jinými čísly. Opraví se samy a u chyby uvidíš postup.