Složené a dělené obrazce

Obrazce složené z obdélníků, čtverců nebo trojúhelníků. Jak spočítat jejich obvod a obsah, když se části dotýkají.

V testuVýběr z pěti možností za 2 body nebo podúlohy za 3 až 4 body.

Co potřebuješ znát

Obvod je jen vnější okraj

Obvod složeného obrazce tvoří jen jeho okraj. Strany, kde se dvě části dotýkají, leží uvnitř a do obvodu nepatří.

Čárkovaná strana je uvnitř obrazce, do obvodu se nepočítá.

Když obrazec rozstřihneš, součet obvodů částí se zvětší. Řez přibude dvakrát, jednou ke každé části. Když části složíš k sobě, obvod se o společné strany zmenší.

Schody posuň ven

Obrazec, který má jen vodorovné a svislé strany a jehož schody jdou pořád jedním směrem, má stejný obvod jako obdélník, do kterého se přesně vejde. Vodorovné schody dají dohromady horní stranu, svislé schody pravou stranu.

Obvod schodů je stejný jako obvod čtverce:

4 \cdot 6 = 24

TipPlatí to jen pro obvod, obsah schodů je menší než obsah čtverce. A neplatí to pro zářez dovnitř (obrazec ve tvaru U): každý zářez přidá k obvodu dvakrát svou hloubku.

Obsah složeného obrazce

Obsahy částí se sčítají. Když je obrazec velký útvar s výřezem, obsahy odečti: velký útvar minus to, co chybí.

Strany označ písmeny

Když jsou části shodné (stejné trojúhelníky, stejné obdélníky), mají shodné i strany. Označ je stejným písmenem. Obvod pak zapíšeš třeba jako $4a + 3b$ a dosadíš.

Stejně dlouhé jsou jen strany, o kterých to plyne ze zadání: shodné části, strany čtverce, protější strany obdélníku a rovnoběžníku.

Dlouhá strana se často skládá z několika kratších stran částí. Když rameno velkého trojúhelníku tvoří dvě základny malých trojúhelníků, je rameno dvakrát delší než základna.

Úsečky rovnoběžné se stranami obdélníku ho dělí na menší obdélníky. Protější strany každého z nich jsou stejně dlouhé, takže se úseky na protějších stranách velkého obdélníku rovnají.

Jak na to

Najdi části, ze kterých se obrazec skládá. Stejné strany označ stejným písmenem.
Obejdi obrazec po okraji a zapiš každou stranu, kterou cestou potkáš.
Sečti je a dosaď. Čáry uvnitř vynech.
Když zadání dá obvody dvou obrazců, zapiš dvě rovnosti a porovnej je.

Řešené příklady

Příklad 1: Čtverec rozdělený na pruhy

Čtverec rozdělíme svislými čarami na čtyři stejné pruhy. Obvod jednoho pruhu je 50 cm. Jaký je obvod čtverce?

Řešení

Strany pruhu. Pruh je stejně vysoký jako čtverec a široký čtvrtinu strany čtverce.
Obvod pruhu ve čtvrtinách. Strana čtverce má čtyři čtvrtiny. Obvod pruhu tvoří dvě dlouhé strany po čtyřech čtvrtinách a dvě krátké po jedné: $4 + 4 + 1 + 1 = 10$ čtvrtin.
Strana čtverce. Jedna čtvrtina je $50 : 10 = 5$ cm, celá strana $4 \cdot 5 = 20$ cm.
Obvod čtverce. $4 \cdot 20 = 80$ cm.

OdpověďObvod čtverce je 80 cm.

Příklad 2: Dva obrazce ze stejných dílů

Tři shodné obdélníky se stranami a a b (a je delší) složíme dvěma způsoby. V obrazci A se dotýkají delšími stranami, jeho obvod je 42 cm. V obrazci B se dotýkají kratšími stranami, jeho obvod je 62 cm. Jaké rozměry má jeden obdélník?

Řešení

Obrazec A. Vznikne obdélník se stranami a a 3b. Polovina jeho obvodu: $a + 3b = 42 : 2 = 21$ cm.
Obrazec B. Vznikne obdélník se stranami 3a a b. Polovina jeho obvodu: $3a + b = 62 : 2 = 31$ cm.
Součet. Sečti obě poloviny obvodů: $4a + 4b = 21 + 31 = 52$ . Jeden obdélník má $a + b = 52 : 4 = 13$ cm.
Strana b. Polovina obvodu A je $a + 3b = (a + b) + 2b$ . Proto $2b = 21 - 13 = 8$ a $b = 8 : 2 = 4$ cm.
Strana a. $a = 13 - 4 = 9$ cm.
Kontrola. $2 \cdot 9 + 6 \cdot 4 = 42$ a $6 \cdot 9 + 2 \cdot 4 = 62$ . Sedí to.

OdpověďJeden obdélník má rozměry 9 cm a 4 cm.

Časté chyby

Do obvodu započítáš i čáry uvnitř obrazce.
Obvod je jen okraj. Obejdi obrazec prstem a počítej jen čáry, po kterých jdeš.
Zapomeneš na některou stranu, třeba na krátké strany po bocích.
Při obcházení si strany odškrtávej, dokud nedojdeš zpátky na začátek.
Rozdíl obvodů dvou částí bereš jako rozdíl jejich stran.
V obvodu je každá strana dvakrát. Rozdíl obvodů je dvojnásobek rozdílu stran.
Myslíš si, že strany jsou stejně dlouhé, protože tak vypadají v obrázku.
Stejné jsou jen strany, o kterých to plyne ze zadání: shodné části, čtverec, rovnoběžky.

Zkus si

Obdélník 10 cm × 6 cm rozstřihneme rovnoběžně s kratší stranou na dva menší obdélníky. Jaký je součet jejich obvodů?

Ukaž řešení

Obvod obdélníku. $2 \cdot (10 + 6) = 32$ cm.
Řez. Řez je rovnoběžný s kratší stranou, měří 6 cm a přibude dvakrát: $32 + 2 \cdot 6 = 44$ cm.

Výsledek44 cm

Dva čtverce se stranou 5 cm položíme vedle sebe. Jaký je obvod vzniklého obdélníku?

Ukaž řešení

Rozměry. Vznikne obdélník 10 cm × 5 cm.
Obvod. $2 \cdot (10 + 5) = 30$ cm. Je menší než součet obvodů čtverců $2 \cdot 20 = 40$ cm, protože společná strana je uvnitř.

Výsledek30 cm

Procvič si to

Pět úloh tohoto typu, pokaždé s jinými čísly. Opraví se samy a u chyby uvidíš postup.