Pythagorova věta

Jak v pravoúhlém trojúhelníku spočítat třetí stranu ze dvou známých a kde se v úlohách pravý úhel schovává.

V testuVýběr z pěti možností za 2 body a skoro každá úloha s lichoběžníkem. V tabulce v testovém sešitu Pythagorova věta není, musíš ji umět.

Co potřebuješ znát

Odvěsny a přepona

Pravoúhlý trojúhelník má jeden pravý úhel. Strany u pravého úhlu jsou odvěsny (a, b). Strana naproti pravému úhlu je přepona (c). Přepona je vždy nejdelší strana.

Pythagorova věta

c^2 = a^2 + b^2

Čtverec nad přeponou má stejný obsah jako čtverce nad oběma odvěsnami dohromady.

3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2

Hledáš přeponu: sečti druhé mocniny odvěsen a odmocni.

c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10

\begin{aligned} c &= \sqrt{a^2 + b^2} \\ &= \sqrt{6^2 + 8^2} \\ &= \sqrt{36 + 64} \\ &= \sqrt{100} \\ &= 10 \end{aligned}

Hledáš odvěsnu: od druhé mocniny přepony odečti druhou mocninu známé odvěsny a odmocni.

a = \sqrt{c^2 - b^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12

\begin{aligned} a &= \sqrt{c^2 - b^2} \\ &= \sqrt{13^2 - 5^2} \\ &= \sqrt{169 - 25} \\ &= \sqrt{144} \\ &= 12 \end{aligned}

Čísla v testu vycházejí celá

V testu vychází odmocnina celá. Pomůže, když poznáš tyhle trojice a jejich násobky:

3, 4, 5 a násobky: 6, 8, 10; 9, 12, 15; 30, 40, 50,
5, 12, 13,
8, 15, 17,
7, 24, 25,
9, 40, 41.

V tabulce v testovém sešitu jsou druhé mocniny čísel 11 až 20. Druhé mocniny do 10 musíš znát zpaměti.

TipKdyž ti odmocnina nevychází celá, zkontroluj, která strana je přepona a jestli máš sčítat, nebo odčítat.

TipVelká čísla nemusíš umocňovat. Rozdíl druhých mocnin rozlož na součin: $41^2 - 40^2 = (41 - 40) \cdot (41 + 40) = 81$ , takže odvěsna je $\sqrt{81} = 9$ .

Kde se schovává pravý úhel

Úhlopříčka obdélníku a dvě jeho strany tvoří pravoúhlý trojúhelník.
Výška rovnoramenného trojúhelníku dělí základnu na dvě poloviny. Vzniknou dva pravoúhlé trojúhelníky, přeponou je rameno.
Lichoběžník: výška odřízne pravoúhlý trojúhelník, jeho odvěsna je část rozdílu základen.
Cesta po pravoúhlých ulicích a zkratka přes park: zkratka je přepona.

Výška rovnoramenného trojúhelníku je odvěsna, polovina základny je druhá odvěsna a rameno je přepona.

Jak na to

Najdi pravoúhlý trojúhelník. Když v obrázku není, dokresli ho: výšku, úhlopříčku.
Urči, která strana je přepona. Leží naproti pravému úhlu.
Hledáš přeponu? Druhé mocniny sečti. Hledáš odvěsnu? Odečti.
Odmocni a zkontroluj, že přepona vyšla nejdelší.

Řešené příklady

Příklad 1: Rovnoramenný trojúhelník

Rovnoramenný trojúhelník ABC má základnu AB = 10 cm a obvod 36 cm. Vypočti jeho obsah.

Řešení

Ramena. Na obě ramena zbývá $36 - 10 = 26$ cm, každé rameno má $26 : 2 = 13$ cm.
Pravoúhlý trojúhelník. Výška na základnu ji dělí na dvě poloviny po 5 cm. Vznikne pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami 5 cm a v. Přeponou je rameno, 13 cm.
Výška. Hledáš odvěsnu, druhé mocniny odečítáš: $v = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ cm.
Obsah. $S = \frac{10 \cdot 12}{2} = 60$ cm².

OdpověďObsah trojúhelníku je 60 cm².

Příklad 2: Zkratka přes park

Park má tvar obdélníku 72 m × 21 m. Pavla chodí z jednoho rohu do protějšího kolem dvou stran, Tomáš zkratkou po úhlopříčce. O kolik procent je Pavlina cesta delší než Tomášova?

Řešení

Cesta kolem. $72 + 21 = 93$ m.
Zkratka. Úhlopříčka je přepona pravoúhlého trojúhelníku s odvěsnami 72 m a 21 m: $\sqrt{72^2 + 21^2} = \sqrt{5\,184 + 441} = \sqrt{5\,625} = 75$ m.
Rozdíl. Cesta kolem je delší o $93 - 75 = 18$ m.
Procenta. Porovnáváš s Tomášovou cestou, ta je základ (100 %): $18 : 75 = 0{,}24$ , to je 24 %.

OdpověďPavlina cesta je o 24 % delší než Tomášova.

Časté chyby

Sečteš druhé mocniny, i když hledáš odvěsnu.
Přepona je nejdelší. Když ji znáš a hledáš kratší stranu, musíš odečítat.
Zapomeneš odmocnit a odpovíš 144 místo 12.
Po sečtení nebo odečtení máš druhou mocninu hledané strany. Ještě odmocni.
Sečteš délky odvěsen místo druhých mocnin: $8 + 15 = 23$ .
Pythagorova věta platí pro druhé mocniny. Přepona je vždy kratší než součet odvěsen.
V rovnoramenném trojúhelníku dosadíš celou základnu místo poloviny.
Výška dělí základnu napůl. Odvěsna pravoúhlého trojúhelníku je polovina základny.
U procent porovnáš se špatným základem.
Základ je to, s čím porovnáváš. Ve větě „o kolik je delší než zkratka“ je to zkratka.

Zkus si

Obdélník má strany 5 cm a 12 cm. Jak dlouhá je jeho úhlopříčka?

Ukaž řešení

Přepona. $\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ cm.

Výsledek13 cm

Lano dlouhé 10 m vede z vrcholu svislého sloupu k zemi. Na zemi je ukotvené 6 m od paty sloupu. Jak vysoký je sloup?

Ukaž řešení

Přepona a odvěsna. Lano je přepona, vzdálenost od sloupu odvěsna. Hledáš druhou odvěsnu, druhé mocniny odečítáš.
Výška sloupu. $\sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ m.

Výsledek8 m

Procvič si to

Pět úloh tohoto typu, pokaždé s jinými čísly. Opraví se samy a u chyby uvidíš postup.