Středová a osová souměrnost

Jak sestrojit obraz bodu podle středu a podle osy, které body zůstanou na místě a kde se souměrnost v zadání schovává za slova „střed strany“ nebo „osa“.

V testuStředová souměrnost je nejčastější krok rýsovacích úloh: v 15 z 24 úloh z let 2024 až 2026 sestrojíš některý vrchol jako obraz jiného podle středu. Osová souměrnost je ve 4 úlohách. Hlavně na souměrnost jsou úlohy 2025 D 9 a 2026 C 9, každá za 3 body.

Co potřebuješ znát

Středová souměrnost: obraz bodu

Představ si, že bod A „přeskočí“ přes střed S a doskočí stejně daleko na druhou stranu. Tam je jeho obraz A′. Bod S je střed úsečky AA′. Sestrojíš ho kružítkem, nic neměříš:

Krok 1 ze 2

\mapsto AS

Obraz A′ leží na polopřímce AS, za středem S, stejně daleko jako A.

Zapisuje se to $S(S)\colon A \rightarrow A'$ : ve středové souměrnosti se středem $S$ se bod $A$ zobrazí na bod $A'$ .

Obraz trojúhelníku je stejně velký, jen otočený o půl otáčky. Strana A′B′ je rovnoběžná se stranou AB.

Osová souměrnost: obraz bodu

Osa souměrnosti je jako zrcadlo. Obraz B′ leží na kolmici k ose bodem B, na druhé straně osy a stejně daleko od ní. Osa je tedy kolmá k úsečce BB′ a půlí ji.

Krok 1 ze 2

q;\ q \perp o,\ B \in q

Kolmici narýsuj trojúhelníkem s ryskou, vzdálenost od osy přenes kružítkem.

Zápis: $O(o)\colon B \rightarrow B'$ , v osové souměrnosti s osou $o$ se bod $B$ zobrazí na bod $B'$ .

Které body zůstanou na místě

Ve středové souměrnosti se sám na sebe zobrazí jen střed $S$ .
V osové souměrnosti se sám na sebe zobrazí každý bod osy.

Vrchol M leží na ose, proto je společný trojúhelníku i jeho obrazu.

V úlohách se to hodí obráceně. Když zadání řekne, že obraz trojúhelníku ABC je trojúhelník A′B′C, zobrazí se vrchol C sám na sebe. Takový bod leží na ose souměrnosti. Tak najdeš vrchol, který mají oba trojúhelníky společný.

Osa z bodu a jeho obrazu

Když znáš bod A a jeho obraz A′ v osové souměrnosti, osu najdeš snadno. Osa je kolmá k úsečce AA′ a půlí ji. Je to tedy osa úsečky AA′.

Osa souměrnosti, která zobrazí bod A na bod A′, je osa úsečky AA′.

Kde se souměrnost v zadání skrývá

Zadání skoro nikdy neřekne „sestroj obraz“. Souměrnost se schovává v jiných slovech:

„Bod S je střed strany BC.“ Vrchol C je obraz vrcholu B ve středové souměrnosti se středem S. Leží na polopřímce BS a $|SC| = |SB|$ .
„Bod S je střed (průsečík úhlopříček) rovnoběžníku, obdélníku nebo kosočtverce.“ Úhlopříčky se půlí, protější vrcholy jsou souměrné podle S.
„Přímka o je osa souměrnosti.“ Vrcholy se k sobě přiřadí v osové souměrnosti, vrchol na ose zůstane na místě.
Rovnoramenný trojúhelník je souměrný podle osy základny. Vrchol proti základně leží na této ose, vrcholy základny jsou podle ní souměrné.
Rovnoramenný lichoběžník je souměrný podle přímky, která prochází středy obou základen.
„Bod M je střed strany KL a strana KN je stejně dlouhá.“ Stejně dlouhé strany mají stejně dlouhé i poloviny. Střed R strany KN je proto od vrcholu K stejně daleko jako bod M. Leží na kružnici se středem K a poloměrem $|KM|$ . Vrchol N pak sestrojíš jako obraz vrcholu K ve středové souměrnosti se středem R.

Bod S půlí obě úhlopříčky. Vrchol C je obraz vrcholu A a vrchol D obraz vrcholu B ve středové souměrnosti se středem S.

Osa o zobrazí vrchol A na vrchol B. Vrchol C leží na ose.

Středová, nebo osová?

Střed souměrnosti je bod. Obraz leží na přímce, která prochází tímto bodem.
Osa souměrnosti je přímka. Obraz leží na kolmici k ose.
Ve středové souměrnosti je obraz úsečky rovnoběžný s původní úsečkou (nebo leží na stejné přímce). V osové souměrnosti rovnoběžný být nemusí.

TipKdyž zadání mluví o středu (bodu), použij středovou souměrnost. Když mluví o ose (přímce), použij osovou. Záměna je jedna z nejčastějších chyb.

Jak na to

Najdi v zadání střed (bod) nebo osu (přímku) souměrnosti. Hledej slova „střed strany“, „průsečík úhlopříček“, „osa souměrnosti“, „obraz“.
Rozhodni, které body si odpovídají. Střed strany $BC$ přiřadí k sobě jen body $B$ a $C$ .
Obraz sestroj kružítkem: ve středové souměrnosti na polopřímce přes střed, v osové na kolmici k ose.
Střed souměrnosti a body na ose nech na místě, zobrazí se samy na sebe.
Zkontroluj: střed půlí úsečku mezi bodem a obrazem, osa je k ní kolmá a také ji půlí.

Řešené příklady

Příklad 1: Rovnoběžník ze dvou vrcholů a středu

Narýsuj úsečku $AB$ , $|AB| = 56$ mm. Vyznač bod $S$ , který je od bodu $A$ vzdálený 40 mm a od bodu $B$ 27 mm. Body $A$ , $B$ jsou vrcholy rovnoběžníku $ABCD$ a bod $S$ je průsečík jeho úhlopříček. Sestroj vrcholy $C$ , $D$ a rovnoběžník narýsuj.

Řešení

Klíčová úvaha. Úhlopříčky rovnoběžníku se půlí. Bod $S$ je proto střed úhlopříčky $AC$ i střed úhlopříčky $BD$ .
Vrchol C. Je to obraz vrcholu $A$ ve středové souměrnosti se středem $S$ . Leží na polopřímce $AS$ za bodem $S$ a $|SC| = |SA|$ .
Vrchol D. Stejně je to obraz vrcholu $B$ : leží na polopřímce $BS$ za bodem $S$ a $|SD| = |SB|$ .
Kontrola. Úhlopříčky jsou dvakrát delší než vzdálenosti od středu: $|AC| = 80$ mm a $|BD| = 54$ mm. Protější strany jsou stejně dlouhé: $|CD| = |AB| = 56$ mm a $|BC| = |AD| \doteq 39$ mm.

OdpověďRovnoběžník ABCD má strany $|AB| = |CD| = 56$ mm a $|AD| = |BC| \doteq 39$ mm, úhlopříčky $|AC| = 80$ mm a $|BD| = 54$ mm. Úloha má jedno řešení.

Konstrukce krok po kroku

Krok 1 z 5

\mapsto AS

Příklad 2: Rovnoramenný trojúhelník z osy souměrnosti

Narýsuj úsečku $AM$ , $|AM| = 42$ mm. Na ní vyznač bod $X$ , $|AX| = 26$ mm, a bodem $X$ veď přímku $o$ , která svírá s úsečkou $XM$ úhel 58°. Úsečku $AM$ narýsuj tence, k zadání nepatří. Přímka $o$ je osa souměrnosti rovnoramenného trojúhelníku $ABC$ se základnou $AB$ . Bod $M$ leží na rameni $BC$ . Sestroj vrcholy $B$ , $C$ a trojúhelník narýsuj.

Řešení

Klíčová úvaha. Rovnoramenný trojúhelník je souměrný podle osy základny. Osa $o$ proto zobrazí vrchol $A$ na vrchol $B$ a vrchol $C$ leží na ose.
Vrchol B. Je to obraz vrcholu $A$ v osové souměrnosti s osou $o$ . Narýsuj kolmici k ose $o$ bodem $A$ . Protne osu v bodě $P$ a vrchol $B$ leží na kolmici za bodem $P$ , $|PB| = |PA|$ .
Vrchol C. Bod $M$ leží na rameni $BC$ , vrchol $C$ je proto na přímce $BM$ . Zároveň leží na ose $o$ . Je to průsečík přímky $BM$ s osou. Pozor, přímka $AM$ by dala jiný bod, $M$ na rameni $AC$ neleží.
Kontrola. Základna $|AB| \doteq 44$ mm, ramena $|AC| = |BC| \doteq 62$ mm. Bod $M$ leží mezi vrcholy $B$ a $C$ .

OdpověďTrojúhelník ABC má základnu $|AB| \doteq 44$ mm a ramena $|AC| = |BC| \doteq 62$ mm. Úloha má jedno řešení.

Konstrukce krok po kroku

Krok 1 z 5

q;\ q \perp o,\ A \in q

Časté chyby

Zaměníš středovou a osovou souměrnost. Bod $S$ je střed obdélníku, ale obraz vrcholu narýsuješ jako zrcadlení podle přímky.
Podívej se, co zadání dává. Bod (střed): obraz leží na přímce přes tento bod. Přímka (osa): obraz leží na kolmici k ose.
Zobrazíš jiný bod, než říká zadání. „ $S$ je střed strany $BC$ “, ale ty sestrojíš obraz vrcholu $A$ , nebo bod $S$ vezmeš rovnou jako vrchol.
Střed strany $BC$ patří jen ke straně $BC$ : vrchol $C$ je obraz vrcholu $B$ . Bod $S$ sám vrcholem není.
Obraz v osové souměrnosti narýsuješ od oka, bez kolmice k ose.
Vždy narýsuj kolmici trojúhelníkem s ryskou a vzdálenost od osy přenes kružítkem. Klíč v roce 2024 hlídal kolmici s přesností na 3°.
Osu souměrnosti, která zobrazí $A$ na $A'$ , narýsuješ jako přímku $AA'$ nebo jako kolmici v bodě $A$ .
Osa souměrnosti půlí úsečku $AA'$ a je k ní kolmá. Je to osa úsečky $AA'$ , sestrojíš ji oblouky z obou bodů.
Střed $R$ strany $KN$ hledáš na kružnici se středem v bodě $M$ nebo v jiném vrcholu než $K$ . Nebo dáš vrchol $N$ na přímku, na které má ležet střed $R$ .
Poloměr $|KM|$ je polovina strany, která vede z vrcholu $K$ . Kružnice má proto střed v $K$ . Na přímce leží jen střed $R$ , vrchol $N$ sestrojíš až jako obraz vrcholu $K$ podle $R$ .
Při přenesení vzdálenosti vezmeš špatný průsečík oblouku s přímkou a obraz splyne s původním bodem.
Obraz leží vždy na druhé straně od středu nebo od osy. Oblouk dělej za středem, ne před ním.

Zkus si

Narýsuj trojúhelník $KLM$ se stranami $|KL| = 50$ mm, $|LM| = 34$ mm a $|KM| = 72$ mm. Sestroj rovnoběžník $KLMN$ . Jak dlouhá je jeho úhlopříčka $LN$ ?

Ukaž řešení

Střed úhlopříček. Úsečka $KM$ je úhlopříčka rovnoběžníku. Její střed $S$ najdeš osou úsečky $KM$ .
Vrchol N. Úhlopříčky se půlí, vrchol $N$ je obraz vrcholu $L$ ve středové souměrnosti se středem $S$ .
Úhlopříčka. Změř úsečku $LN$ : $|LN| \doteq 46$ mm.

Výsledek $|LN| \doteq 46$ mm

Konstrukce krok po kroku

Krok 1 ze 3

S;\ S \in KM,\ |KS| = |SM|

Narýsuj úsečku $AB$ , $|AB| = 46$ mm, a přímku $o$ , která prochází bodem $B$ a svírá s úsečkou $AB$ úhel 35°. Sestroj obraz úsečky $AB$ v osové souměrnosti s osou $o$ . Jak daleko je obraz $A'$ od bodu $A$ ?

Ukaž řešení

Obraz bodu A. Narýsuj kolmici k ose $o$ bodem $A$ . Bod $A'$ leží na ní, na druhé straně osy, stejně daleko od osy jako bod $A$ .
Obraz bodu B. Bod $B$ leží na ose, zobrazí se sám na sebe. Obraz úsečky $AB$ je úsečka $A'B$ a $|A'B| = 46$ mm.
Vzdálenost. Změř úsečku $AA'$ : $|AA'| \doteq 53$ mm.

Výsledek $|AA'| \doteq 53$ mm

Konstrukce krok po kroku

Krok 1 ze 3

q;\ q \perp o,\ A \in q

Procvič si to

Dvě rýsovací úlohy tohoto typu, pokaždé jinak zadané. Narýsuješ je na papír, pak uvidíš správnou konstrukci krok po kroku a ohodnotíš se podle klíče.