Rovnoběžník a kosočtverec: úhlopříčky se půlí

Úhlopříčky rovnoběžníku se navzájem půlí. Jejich průsečík je střed souměrnosti a z něj doplníš chybějící vrcholy. Kosočtverec má navíc všechny strany stejně dlouhé a úhlopříčky k sobě kolmé.

V testuRovnoběžník nebo kosočtverec je ve 4 z 24 rýsovacích úloh z let 2024 až 2026, třikrát za 3 body a jednou za 2 body. Dvakrát je klíčem polovina úhlopříčky jako poloměr kružnice, dvakrát vlastnost kosočtverce: stejně dlouhé strany, nebo úhlopříčka na ose souměrnosti.

Co potřebuješ znát

Co platí v rovnoběžníku

Protější strany jsou rovnoběžné a stejně dlouhé: $AB \parallel CD$ , $BC \parallel AD$ .
Úhlopříčky $AC$ a $BD$ se navzájem půlí. Jejich průsečík $S$ je střed rovnoběžníku.
Stejně dlouhé úhlopříčky obecně nejsou. To platí jen v obdélníku a ve čtverci.

Bod S půlí obě úhlopříčky, úhlopříčka AC je ale delší než BD.

Střed souměrnosti a čtvrtý vrchol

Rovnoběžník je středově souměrný podle průsečíku úhlopříček $S$ . Vrchol $C$ je obraz vrcholu $A$ , vrchol $D$ obraz vrcholu $B$ . Proto se úhlopříčky půlí: $|SA| = |SC|$ a $|SB| = |SD|$ . Když znáš tři vrcholy, čtvrtý doplníš takhle:

Krok 1 ze 3

S;\ S \in AC,\ |AS| = |SC|

Stejný vrchol D dostaneš i jako průsečík rovnoběžky s AB bodem C a rovnoběžky s BC bodem A.

TipPozor na pořadí vrcholů. Vrcholy rovnoběžníku $ABCD$ jdou dokola, protější jsou $A$ a $C$ , $B$ a $D$ . Vrchol $D$ proto hledej naproti vrcholu $B$ . Naproti vrcholu $A$ by vyšel překřížený čtyřúhelník.

Polovina úhlopříčky jako poloměr

Zadání často řekne, jak dlouhá je úhlopříčka, ale ne, kde leží její střed. Střed $S$ je od každého konce úhlopříčky vzdálený polovinu její délky. Leží proto na kružnici se středem v konci úhlopříčky a s poloměrem rovným polovině úhlopříčky. Polovinu délky najdeš osou úsečky, ne odhadem.

Když je úhlopříčka BD stejně dlouhá jako úsečka XY, leží střed S na kružnici k. Přesné místo určí další podmínka ze zadání, třeba přímka, na které S leží.

Stejně to funguje se stranou: „úhlopříčka $BD$ je stejně dlouhá jako strana $AB$ “ znamená, že střed $S$ je od vrcholu $B$ vzdálený polovinu $|AB|$ .

Kosočtverec

Všechny strany jsou stejně dlouhé. Vrchol leží na kružnici se středem v sousedním vrcholu a s poloměrem rovným straně.
Úhlopříčky se půlí (kosočtverec je rovnoběžník) a jsou k sobě kolmé. Úhlopříčka $BD$ proto leží na ose úsečky $AC$ .
Úhlopříčky leží na osách souměrnosti kosočtverce a půlí jeho úhly.

Úhlopříčky kosočtverce se půlí a jsou k sobě kolmé.

Ze strany a směru druhé strany ho sestrojíš jedním rozevřením kružítka, protože všechny strany mají délku $|AB|$ :

Krok 1 ze 3

D;\ D \in \mapsto AX \cap k(A; |AB|)

Jedna úhlopříčka několikrát delší

Zadání může říct, kolikrát je jedna úhlopříčka delší než druhá. Vrcholy delší úhlopříčky pak naneseš ze středu $S$ ve vzdálenosti poloviny její délky. Když je úhlopříčka $LN$ dvakrát delší než $KM$ , je její polovina stejně dlouhá jako celá úhlopříčka $KM$ : $|SL| = |SN| = |KM|$ . Nic nepočítáš, kružítko rozevřeš na $|KM|$ .

Krok 1 ze 3

o;\ o \text{ je osa úsečky } KM;\ S;\ S \in KM,\ |KS| = |SM|

Ze středu se nanáší polovina úhlopříčky. Polovina dvojnásobku je celá kratší úhlopříčka.

Obecně: když je jedna úhlopříčka $k$ -krát delší než druhá, je i její polovina $k$ -krát delší než polovina druhé. Ze středu proto naneseš $k$ -krát polovinu kratší úhlopříčky. Pozor na dvojnásobek: vzdálenost $|SL|$ je jedna celá úhlopříčka $KM$ , ne dvě.

Rovnoběžník, nebo kosočtverec?

Zadání může mluvit o rovnoběžníku, a přitom z podmínek vyjde kosočtverec (s pravými úhly čtverec). Rovnoběžník má všechny strany stejně dlouhé, když platí aspoň jedno z toho:

jeho úhlopříčky jsou k sobě kolmé,
dvě sousední strany jsou stejně dlouhé,
má osu souměrnosti, která prochází dvěma jeho vrcholy (leží na ní úhlopříčka).

TipKdyž osa souměrnosti rovnoběžníku prochází vrcholy $B$ a $D$ , je vrchol $C$ obraz vrcholu $A$ v osové souměrnosti s touto osou. Leží na kolmici z bodu $A$ k ose, stejně daleko za ní.

Jak na to

Nakresli si od ruky hotový rovnoběžník s oběma úhlopříčkami a středem $S$ . Vyznač, co je dané.
Najdi střed $S$ : je to střed známé úhlopříčky, nebo průsečík čáry ze zadání s kružnicí, jejíž poloměr je polovina úhlopříčky.
Zbylé vrcholy doplň středovou souměrností se středem $S$ , nebo rovnoběžkami se stranami.
U kosočtverce využij kružnici s poloměrem strany nebo osu úhlopříčky.
Vyřaď průsečíky, které leží mimo polopřímku ze zadání nebo dají překřížený čtyřúhelník. Ostatní narýsuj a obtáhni propiskou.

Řešené příklady

Příklad 1: Rovnoběžník z úhlopříček a strany

Narýsuj úsečku $AC$ , $|AC| = 72$ mm. Sestroj rovnoběžník $ABCD$ , jehož úhlopříčka $BD$ měří 50 mm a strana $AB$ 40 mm. Vrchol $B$ leží nad přímkou $AC$ . Jak dlouhá je strana $AD$ ?

Řešení

Náčrt a rozbor. Úhlopříčky se půlí v bodě $S$ . Proto $|AS| = 36$ mm (polovina úhlopříčky $AC$ ) a $|SB| = 25$ mm (polovina úhlopříčky $BD$ ). Vrchol $B$ je vrchol trojúhelníku $ABS$ se stranami $|AB| = 40$ mm, $|AS| = 36$ mm a $|SB| = 25$ mm.
Střed S. Je to střed úsečky $AC$ , najdeš ho osou úsečky.
Vrchol B. Leží 25 mm od středu $S$ a 40 mm od vrcholu $A$ . Je to průsečík dvou kružnic. Kružnice se protnou nad přímkou $AC$ i pod ní, zadání chce vrchol nad přímkou.
Vrchol D. Je to obraz vrcholu $B$ ve středové souměrnosti se středem $S$ . Leží na polopřímce $BS$ za bodem $S$ , $|SD| = |SB|$ .
Strana AD. Změř ji: $|AD| \doteq 47$ mm. Stejně dlouhá je protější strana $BC$ .

OdpověďStrana $AD$ měří asi 47 mm. Rovnoběžník ABCD má strany 40 mm a 47 mm.

Konstrukce krok po kroku

Krok 1 ze 4

S;\ S \in AC,\ |AS| = |SC|

Příklad 2: Kosočtverec z úhlopříčky a přímky

V rovině leží úsečka $AC$ a přímka $p$ , která prochází bodem $A$ . Úsečka $AC$ je úhlopříčka kosočtverce $ABCD$ , vrchol $B$ leží na přímce $p$ . Sestroj kosočtverec $ABCD$ . Zadání si narýsuj takhle: $|AC| = 62$ mm, přímka $p$ svírá s úsečkou $AC$ úhel 37°.

Řešení

Náčrt a rozbor. Úhlopříčky kosočtverce se půlí a jsou k sobě kolmé. Úhlopříčka $BD$ proto leží na ose úsečky $AC$ . Každý bod osy je stejně daleko od $A$ i od $C$ , takže $|BA| = |BC|$ , jak to v kosočtverci má být.
Vrchol B. Leží na ose úsečky $AC$ i na přímce $p$ . Je to jejich průsečík, jiný není.
Vrchol D. Je to obraz vrcholu $B$ ve středové souměrnosti se středem $S$ . Leží na ose za bodem $S$ , na druhé straně od úhlopříčky $AC$ .
Kontrola. Úhlopříčka $AC$ půlí úhel u vrcholu $A$ , proto i strana $AD$ svírá s $AC$ úhel $|\sphericalangle CAD| = 37^\circ$ .
Rozměry. Úhlopříčka $AC$ měří 62 mm. Změř stranu $|AB| \doteq 39$ mm a druhou úhlopříčku $|BD| \doteq 47$ mm.

OdpověďKosočtverec ABCD má stranu asi 39 mm a úhlopříčky 62 mm a asi 47 mm.

Konstrukce krok po kroku

Krok 1 ze 4

o;\ o \text{ je osa úsečky } AC;\ S;\ S \in AC,\ |AS| = |SC|

Časté chyby

Jako poloměr kružnice, na které leží střed $S$ , vezmeš celou délku úhlopříčky.
Střed $S$ je od konce úhlopříčky vzdálený jen polovinu její délky. Polovinu najdeš osou úsečky a teprve pak rozevři kružítko.
Vezmeš průsečík, který leží na přímce, ale mimo polopřímku ze zadání (za jejím počátečním bodem).
Polopřímka $XY$ začíná v bodě $X$ a vede přes bod $Y$ dál. Průsečík, který leží za bodem $X$ na opačné straně než bod $Y$ , na ní neleží a řešení nedá.
U kosočtverce hledáš vrchol $C$ na kružnici se středem $A$ a poloměrem $|AB|$ .
Úsečka $AC$ je úhlopříčka, ne strana. Vrchol $C$ sousedí s vrcholem $B$ , leží proto na kružnici se středem $B$ a poloměrem $|AB|$ .
Pomocný bod ze zadání (třeba $O$ nebo $M$ ) vezmeš za střed rovnoběžníku nebo za vrchol.
Pomocný bod jen určuje přímku nebo délku. Střed a vrcholy sestroj podle podmínek zadání, písmeno bodu nic neznamená.
Rovnoběžník, jehož osa souměrnosti prochází dvěma vrcholy, narýsuješ jako obecný rovnoběžník.
Na takové ose leží úhlopříčka a druhá úhlopříčka je k ní kolmá. Je to kosočtverec (nebo čtverec), protější vrchol je obraz v osové souměrnosti s touto osou.
Když je jedna úhlopříčka dvakrát delší než druhá, naneseš ze středu $S$ na obě strany dvojnásobek kratší úhlopříčky.
Ze středu se nanáší polovina úhlopříčky. Polovina dvojnásobku je právě jedna celá kratší úhlopříčka, kružítko proto rozevři jen na její délku.
Vrcholy označíš v jiném pořadí, třeba $ABDC$ : vrchol $D$ dáš vedle vrcholu $B$ .
Vrcholy rovnoběžníku jdou dokola. Vrchol $D$ leží naproti vrcholu $B$ , na polopřímce $BS$ za středem $S$ .

Zkus si

Narýsuj úsečku $AC$ , $|AC| = 56$ mm. Sestroj kosočtverec $ABCD$ s úhlopříčkou $AC$ , jehož druhá úhlopříčka $BD$ měří 42 mm. Jak dlouhá je jeho strana?

Ukaž řešení

Úhlopříčka BD. Je k $AC$ kolmá a obě se půlí. Leží proto na ose úsečky $AC$ , střed $S$ je průsečík osy s úsečkou $AC$ .
Vrcholy B a D. Leží na ose 21 mm od středu $S$ na obě strany, protože 21 mm je polovina úhlopříčky $BD$ .
Strana. Změř ji: $|AB| = 35$ mm. Všechny čtyři strany jsou stejně dlouhé.

Výsledek $|AB| = 35$ mm

Konstrukce krok po kroku

Krok 1 ze 3

o;\ o \text{ je osa úsečky } AC;\ S;\ S \in AC,\ |AS| = |SC|

Narýsuj úsečku $AB$ , $|AB| = 45$ mm. Bod $S$ je střed rovnoběžníku $ABCD$ (průsečík úhlopříček), je od vrcholu $A$ vzdálený 36 mm a od vrcholu $B$ 27 mm. Bod $S$ leží nad přímkou $AB$ . Sestroj rovnoběžník $ABCD$ . Jak dlouhá je strana $AD$ ? Jaký rovnoběžník vznikne?

Ukaž řešení

Střed S. Je to průsečík oblouku se středem $A$ a poloměrem 36 mm a oblouku se středem $B$ a poloměrem 27 mm, ten nad přímkou $AB$ .
Vrcholy C a D. Jsou obrazy vrcholů $A$ a $B$ ve středové souměrnosti se středem $S$ .
Strana AD. Změř ji: $|AD| = 45$ mm, stejně jako $|AB|$ . Úhel $ASB$ je pravý, ověř ho trojúhelníkem s ryskou. Platí totiž $27^2 + 36^2 = 729 + 1296 = 2025 = 45^2$ .
Jaký rovnoběžník. Úhlopříčky jsou k sobě kolmé, proto má všechny strany stejně dlouhé. Čtverec to není, úhlopříčky nejsou stejně dlouhé. Vznikne kosočtverec.

Výsledek $|AD| = 45$ mm, vznikne kosočtverec

Konstrukce krok po kroku

Krok 1 ze 4

S;\ S \in k(A; 36\ \text{mm}) \cap l(B; 27\ \text{mm})

Procvič si to

Dvě rýsovací úlohy tohoto typu, pokaždé jinak zadané. Narýsuješ je na papír, pak uvidíš správnou konstrukci krok po kroku a ohodnotíš se podle klíče.