Obdélník a čtverec: úhlopříčky a kružnice opsaná

Úhlopříčky obdélníku jsou stejně dlouhé a navzájem se půlí. Proto leží všechny vrcholy na jedné kružnici a protější vrchol najdeš středovou souměrností. Na tom stojí skoro každá úloha s obdélníkem.

V testuObdélník je v 6 z 24 rýsovacích úloh z let 2024 až 2026, čtyřikrát za 3 body a dvakrát za 2 body. Ve čtyřech z nich je klíčem vlastnost úhlopříček: vrchol leží na kružnici se středem v průsečíku úhlopříček, nebo na kružnici s poloměrem rovným úhlopříčce. Ty jsou v této kapitole.

Co potřebuješ znát

Co platí v obdélníku

Protější strany jsou rovnoběžné a stejně dlouhé.
Všechny úhly jsou pravé. Sousední strany jsou k sobě kolmé, vrchol proto často hledáš na kolmici.
Úhlopříčky $AC$ a $BD$ jsou stejně dlouhé a navzájem se půlí. Protínají se ve středu obdélníku, v bodě $S$ .

Bod S půlí obě úhlopříčky a obě úhlopříčky jsou stejně dlouhé.

Všechny vrcholy leží na jedné kružnici

Úhlopříčky se půlí, proto $|SA| = |SC|$ a $|SB| = |SD|$ . Jsou stejně dlouhé, proto jsou stejně dlouhé i jejich poloviny. Všechny čtyři vrcholy jsou tedy od bodu $S$ stejně daleko a leží na kružnici se středem $S$ . Je to kružnice opsaná obdélníku.

Kružnice opsaná má střed v průsečíku úhlopříček a prochází všemi vrcholy.

**Znáš střed $S$ a jeden vrchol?** Narýsuj kružnici $k(S; |SA|)$ . Ostatní vrcholy leží na ní.
Úhlopříčka je průměr kružnice opsané. Přímka, na které leží úhlopříčka, proto vždy prochází středem $S$ .
Kružnice opsaná je zároveň Thaletova kružnice nad každou úhlopříčkou. Když jsou $A$ a $C$ konce průměru a vrchol $B$ leží na kružnici, je úhel u vrcholu $B$ pravý sám od sebe. Kolmici rýsovat nemusíš.
Bod stejně daleko od všech vrcholů je střed obdélníku. Když to zadání řekne jinými slovy, jde pořád o kružnici opsanou.

Protější vrchol: středová souměrnost

Bod $S$ je střed úhlopříčky $AC$ . Vrchol $C$ proto leží na polopřímce $AS$ za bodem $S$ a $|SC| = |SA|$ . Říká se, že $C$ je obraz bodu $A$ ve středové souměrnosti se středem $S$ . Stejně je $D$ obraz bodu $B$ . Takhle se obdélník vepíše do dané kružnice, když na ní znáš vrchol $A$ a přímku $q$ , na které leží strana $AB$ :

Krok 1 ze 4

B;\ B \in q \cap k,\ B \ne A

Každé dva různé průměry kružnice jsou úhlopříčky obdélníku. Stačí najít jeden vrchol navíc a zbylé dva dá středová souměrnost.

TipKdyž kružnice opsaná narýsovaná není, najdeš obraz bodu $A$ i tak: na polopřímku $AS$ přeneseš kružítkem délku $|SA|$ za bod $S$ .

Délka úhlopříčky jako poloměr

Zadání někdy řekne, jak dlouhá je jedna úhlopříčka: číslem, nebo tak, že ji porovná s jinou úsečkou v obrázku. Obě úhlopříčky obdélníku jsou stejně dlouhé, proto znáš i délku druhé úhlopříčky $AC$ . Vrchol $C$ pak leží na kružnici se středem $A$ a poloměrem rovným úhlopříčce.

Oblouk se středem A a poloměrem |BD| prochází vrcholem C, protože |AC| = |BD|.

Když znáš stranu $AB$ , leží vrchol $C$ navíc na kolmici k $AB$ v bodě $B$ . Průsečík kolmice a kružnice je vrchol $C$ . Tak to ukazuje první řešený příklad.

Když stranu $AB$ neznáš, ale víš, na které přímce leží, najdi nejdřív vrchol $C$ : na kružnici s poloměrem úhlopříčky a na další čáře ze zadání. Vrchol $B$ je pak pata kolmice z vrcholu $C$ na tuto přímku. Proč, vysvětluje další oddíl.

Vrchol jako pata kolmice

Sousední strany obdélníku jsou k sobě kolmé. Když víš, na které přímce leží strana, najdeš vrchol na ní jako patu kolmice. Z bodu, který leží na sousední straně, vedeš kolmici k přímce. Průsečík kolmice s přímkou je vrchol, úhel u něj je pravý.

Znáš vrchol mimo přímku. Vrchol $G$ obdélníku $EFGH$ neleží na přímce $p$ , na které leží strana $EF$ . Strana $FG$ je k přímce $p$ kolmá, proto je vrchol $F$ pata kolmice z vrcholu $G$ na přímku $p$ .
Znáš bod uvnitř strany. Bod $U$ leží uvnitř strany $EH$ . Strana $EH$ je kolmá k přímce $p$ , leží tedy na kolmici z bodu $U$ k přímce $p$ . Vrchol $E$ je pata této kolmice. Bod $U$ sám vrchol není.

Krok 1 z 5

q;\ q \perp p,\ U \in q

Strany EH a FG leží na kolmicích k přímce p, proto jsou úhly u vrcholů E a F pravé.

Čtverec

Čtverec má všechny úhly pravé jako obdélník a navíc všechny strany stejně dlouhé. Jeho úhlopříčky jsou stejně dlouhé, půlí se a jsou k sobě kolmé. Úhlopříčka $BD$ proto leží na ose úsečky $AC$ . Každá úhlopříčka půlí pravý úhel u vrcholu na dva úhly po 45°.

Krok 1 ze 3

o;\ o \text{ je osa úsečky } AC;\ S;\ S \in AC,\ |AS| = |SC|

Ze dvou protějších vrcholů sestrojíš čtverec osou úsečky a jednou kružnicí.

Průsečík, který nevyhovuje

Kružnice protne přímku nejvýš ve dvou bodech. Než průsečík označíš jako vrchol, ověř, že s ním vznikne opravdu obdélník.

Průsečík splývá s daným bodem nebo vrcholem. Dva vrcholy by splynuly a obdélník by se zvrhl v úsečku. Vrchol je druhý průsečík.
Průsečík nesplní podmínku zadání, třeba leží pod přímkou, ale vrchol má být nad ní.
Oba průsečíky vyhovují. Pak má úloha dvě řešení a narýsuješ obě. Bývá to tam, kde vrchol leží na dané přímce a na kružnici opsané.

Jak na to

Nakresli si od ruky hotový obdélník s úhlopříčkami a jejich průsečíkem $S$ . Vyznač, co je dané.
U každého chybějícího vrcholu hledej dvě čáry: kružnici opsanou, kolmici, přímku ze zadání, nebo kružnici s poloměrem úhlopříčky.
Jakmile máš střed $S$ a jeden vrchol, další vrcholy leží na kružnici $k(S; |SA|)$ a protější vrcholy dostaneš středovou souměrností.
Spočítej průsečíky. Vyřaď ty, se kterými obdélník nevznikne, a narýsuj všechna zbylá řešení.
Kontrola: protější strany i obě úhlopříčky jsou stejně dlouhé. Obtáhni vše propiskou.

Řešené příklady

Příklad 1: Obdélník ze strany a úhlopříčky

Narýsuj úsečku $AB$ , $|AB| = 56$ mm. Sestroj obdélník $ABCD$ , jehož úhlopříčka $AC$ měří 65 mm. Vrcholy $C$ a $D$ leží nad přímkou $AB$ . Jak dlouhá je strana $BC$ ?

Řešení

Náčrt a rozbor. Nakresli od ruky obdélník $ABCD$ s úhlopříčkou $AC$ . Trojúhelník $ABC$ má u vrcholu $B$ pravý úhel, strana $|AB| = 56$ mm je daná a strana $AC$ je úhlopříčka.
Vrchol C. Leží na kolmici k $AB$ v bodě $B$ a zároveň 65 mm od bodu $A$ , tedy na kružnici se středem $A$ a poloměrem $|AC| = 65$ mm. Oblouk protne kolmici nad přímkou $AB$ i pod ní. Zadání chce vrchol nad přímkou.
Vrchol D. Leží na kolmici k $AB$ v bodě $A$ a na rovnoběžce s $AB$ bodem $C$ . Je to jejich průsečík.
Kontrola. Změř stranu $BC$ : $|BC| = 33$ mm. Druhá úhlopříčka $BD$ musí mít také 65 mm.

OdpověďObdélník ABCD má strany $|AB| = 56$ mm a $|BC| = 33$ mm, obě úhlopříčky měří 65 mm.

Konstrukce krok po kroku

Krok 1 z 5

q;\ q \perp AB,\ B \in q

Příklad 2: Střed obdélníku leží na přímce

V rovině leží úsečka $AB$ a přímka $p$ . Úsečka $AB$ je strana obdélníku $ABCD$ . Střed $S$ obdélníku (průsečík úhlopříček) leží na přímce $p$ . Sestroj obdélník $ABCD$ . Zadání si narýsuj takhle: $|AB| = 44$ mm, přímka $p$ protne polopřímku $AB$ v bodě $X$ za bodem $B$ , $|BX| = 16$ mm, a nad přímkou $AB$ svírá s polopřímkou $XA$ úhel 35°.

Řešení

Náčrt a rozbor. Střed $S$ obdélníku je stejně daleko od všech čtyř vrcholů. Je tedy stejně daleko i od vrcholů $A$ a $B$ . Body, které jsou stejně daleko od $A$ i od $B$ , leží na ose úsečky $AB$ .
Střed S. Leží na ose úsečky $AB$ i na přímce $p$ . Je to jejich průsečík, jiný není.
Vrcholy C a D. Úhlopříčky se v bodě $S$ půlí. Vrchol $C$ je obraz bodu $A$ a vrchol $D$ obraz bodu $B$ ve středové souměrnosti se středem $S$ .
Kontrola. Úhlopříčky musí být stejně dlouhé: $|AC| = |BD| \doteq 69$ mm. Strana $AB$ měří 44 mm, strana $|BC| \doteq 53$ mm.
Počet řešení. Osa a přímka $p$ se protnou v jediném bodě, úloha má jedno řešení.

OdpověďObdélník ABCD má strany $|AB| = 44$ mm a $|BC| \doteq 53$ mm, úhlopříčky měří asi 69 mm.

Konstrukce krok po kroku

Krok 1 z 5

o;\ o \text{ je osa úsečky } AB

Časté chyby

Kružnici, na které leží vrcholy, narýsuješ nad jinou úsečkou: jako Thaletovu kružnici nad úsečkou $AS$ , tedy s poloměrem jen poloviny $|AS|$ .
Kružnice opsaná má střed v průsečíku úhlopříček $S$ a poloměr $|SA|$ . Je to Thaletova kružnice nad celou úhlopříčkou $AC$ , ne nad její polovinou.
Za vrchol vezmeš průsečík, který už v obrázku je: bod, kterým kružnice prochází.
Ověř, jestli s takovým průsečíkem vznikne obdélník. Kdyby dva vrcholy splynuly, je vrchol druhý průsečík.
Délku úhlopříčky naneseš jako stranu: vrchol $B$ dáš do vzdálenosti úhlopříčky od $A$ .
Úhlopříčka spojuje protější vrcholy $A$ a $C$ . Kružnice se středem $A$ a poloměrem úhlopříčky nese vrchol $C$ , ne sousední vrchol $B$ .
Protější vrchol sestrojíš osovou souměrností (překlopíš ho přes přímku) místo středové.
Protější vrchol leží na polopřímce z vrcholu přes střed $S$ , za bodem $S$ stejně daleko. Středem souměrnosti je bod $S$ , ne přímka.
Bod, který leží uvnitř strany, vezmeš za vrchol. Nebo bod stejně daleko od všech vrcholů vezmeš za střed strany.
Strana bodem jen prochází. Vrchol najdeš jinak, třeba jako patu kolmice z tohoto bodu na přímku sousední strany. Bod stejně daleko od všech vrcholů je střed obdélníku, střed kružnice opsané.
Přímku, na které leží úhlopříčka, vedeš daným bodem libovolným směrem.
Úhlopříčka obdélníku je průměr kružnice opsané, prochází proto středem $S$ . Přímka s úhlopříčkou jde daným bodem a středem $S$ .
Narýsuješ jen jeden obdélník, i když přímka protne kružnici opsanou ve dvou bodech, které oba vyhovují.
Každý vyhovující průsečík dá jedno řešení, narýsuj a označ všechna ( $D_1$ , $D_2$ ). V testu stojí chybějící řešení bod.

Zkus si

Narýsuj úsečku $SA$ , $|SA| = 31$ mm. Bod $S$ je střed čtverce $ABCD$ (průsečík úhlopříček) a bod $A$ je jeho vrchol. Sestroj čtverec $ABCD$ . Jak dlouhá je jeho strana?

Ukaž řešení

Vrchol C. Je to obraz bodu $A$ ve středové souměrnosti se středem $S$ . Leží na polopřímce $AS$ za bodem $S$ , 31 mm od $S$ .
Vrcholy B a D. Úhlopříčky čtverce jsou stejně dlouhé, půlí se a jsou k sobě kolmé. Vrcholy $B$ a $D$ leží na kolmici k $AC$ v bodě $S$ , 31 mm od bodu $S$ na obě strany.
Strana. Změř ji: $|AB| \doteq 44$ mm.

Výsledek $|AB| \doteq 44$ mm

Konstrukce krok po kroku

Krok 1 ze 4

C;\ S(S)\colon A \rightarrow C

Narýsuj kružnici $k$ se středem $S$ a poloměrem 35 mm a její průměr $AC$ . Sestroj obdélník $ABCD$ vepsaný do kružnice $k$ , jehož strana $AB$ měří 42 mm. Vrchol $B$ leží nad přímkou $AC$ . Jak dlouhá je strana $BC$ ?

Ukaž řešení

Vrchol B. Leží na kružnici $k$ a 42 mm od bodu $A$ . Je to průsečík kružnice $k$ s obloukem se středem $A$ a poloměrem 42 mm, ten nad přímkou $AC$ .
Vrchol D. Je to obraz bodu $B$ ve středové souměrnosti se středem $S$ , leží na kružnici $k$ naproti bodu $B$ .
Proč je to obdélník. Kružnice $k$ je Thaletova kružnice nad průměrem $AC$ , úhel u vrcholu $B$ je proto pravý. Úhlopříčky $AC$ a $BD$ jsou průměry, proto jsou stejně dlouhé a půlí se.
Strana BC. Změř ji: $|BC| = 56$ mm.

Výsledek $|BC| = 56$ mm

Konstrukce krok po kroku

Krok 1 ze 3

B;\ B \in k \cap l(A; 42\ \text{mm})

Procvič si to

Dvě rýsovací úlohy tohoto typu, pokaždé jinak zadané. Narýsuješ je na papír, pak uvidíš správnou konstrukci krok po kroku a ohodnotíš se podle klíče.