Rovnoramenný a rovnostranný trojúhelník

Kde leží vrchol, když jsou dvě strany stejně dlouhé, která strana je základna a co všechno umí výška k základně. Rovnostranný trojúhelník a úhel 30°.

V testuRovnoramenný nebo rovnostranný trojúhelník rýsuješ v sedmi z 24 rýsovacích úloh z let 2024 až 2026, vždy za 3 body. Klíčová úvaha je většinou podobná: na které čáře leží vrchol, když jsou dvě strany stejně dlouhé.

Co potřebuješ znát

Ramena a základna

Rovnoramenný trojúhelník má dvě strany stejně dlouhé. Říká se jim ramena. Třetí strana je základna. Vrchol proti základně je hlavní vrchol, ramena z něj vycházejí.

Úhly při základně jsou shodné. Zadání může rovnoramennost říct různě: „se základnou $AB$ “, „strany $AC$ a $BC$ mají stejnou délku“, nebo jen „rovnoramenný trojúhelník $ABC$ “. Vždy si nejdřív ujasni, které dvě strany jsou stejné.

Hlavní vrchol leží na ose základny

Hlavní vrchol $C$ je od obou konců základny $AB$ stejně daleko, protože $|AC| = |BC|$ . Body, které jsou stejně daleko od $A$ i od $B$ , leží na ose úsečky $AB$ . Hlavní vrchol proto hledej na ose základny.

Každý bod osy základny dá rovnoramenný trojúhelník se základnou AB.

TipNa kterém místě osy vrchol leží, určí další údaj zadání: výška, délka ramene, úhel, nebo jiná přímka, která osu protne.

Vrchol na rameni leží na kružnici

Když znáš jedno rameno, třeba $AB$ , a hledáš konec druhého ramene $AC$ , platí $|AC| = |AB|$ . Bod $C$ je od bodu $A$ stejně daleko jako bod $B$ . Leží proto na **kružnici se středem $A$ a poloměrem $|AB|$ **. Hlavní vrchol je tu $A$ a základna $BC$ .

Každý bod kružnice k(A; |AB|) dá rovnoramenný trojúhelník s rameny AB a AC.

Která strana je základna

Když zadání neřekne, která strana je základna, máš nad úsečkou $AB$ tři možnosti. Projdi všechny a u každé zjisti, jestli dá trojúhelník, který splní zbytek zadání.

** $AB$ je základna**, $|AC| = |BC|$ : vrchol $C$ leží na ose úsečky $AB$ .
** $AB$ je rameno a hlavní vrchol je $A$ **, $|AC| = |AB|$ : vrchol $C$ leží na kružnici $k_1(A; |AB|)$ .
** $AB$ je rameno a hlavní vrchol je $B$ **, $|BC| = |AB|$ : vrchol $C$ leží na kružnici $k_2(B; |AB|)$ .

Tři čáry, na kterých může ležet vrchol C. Kde se potkají všechny tři, vznikne rovnostranný trojúhelník.

TipNěkdy jedna možnost nevyjde: čára se s druhou podmínkou neprotne, nebo průsečík leží na přímce $AB$ a trojúhelník nevznikne. To je v pořádku, jen ji vyřaď. Úloha pak má méně řešení.

TipVrchol na těžnici nebo na dané přímce. Když zadání dá bod, kterým prochází těžnice z vrcholu $C$ , leží vrchol $C$ na polopřímce ze středu strany $AB$ přes ten bod. Osa úsečky $AB$ tuhle polopřímku protne jen ve středu strany $AB$ (když daný bod na ose neleží). Základna $AB$ proto nevyjde a zbývají kružnice $k_1$ a $k_2$ . Když leží vrchol na jiné dané přímce, protni s ní všechny tři čáry a každý průsečík prověř.

Výška k základně leží na ose souměrnosti

Rovnoramenný trojúhelník je osově souměrný. Osou souměrnosti je osa základny. Proto výška z hlavního vrcholu dopadá přesně do středu základny a půlí úhel u hlavního vrcholu. Je to zároveň těžnice a leží na ose úhlu u hlavního vrcholu.

Platí to jen pro výšku k základně. Výška z vrcholu základny na rameno je jiná úsečka: je kolmá k rameni, ale její pata není střed ramene a trojúhelník podle ní souměrný není. Výjimkou je rovnostranný trojúhelník, o něm je další oddíl.

Rovnostranný trojúhelník

Rovnostranný trojúhelník má všechny tři strany stejně dlouhé a všechny úhly 60°. Je rovnoramenný a za základnu můžeš vzít kteroukoli stranu. Každá jeho výška proto dopadá do středu strany a půlí úhel 60° na dva úhly po 30°.

Znáš stranu: oblouky z obou konců s poloměrem strany se protnou ve třetím vrcholu (kapitola „Základní konstrukce“).
**Znáš vrchol $M$ a střed $P$ protější strany:** úsečka $MP$ je výška. Strana $KL$ leží na kolmici k úsečce $MP$ v bodě $P$ . Strana $MK$ svírá s výškou úhel 30°, vrchol $K$ je proto průsečík kolmice s polopřímkou z bodu $M$ pod úhlem 30° k výšce. Vrchol $L$ je obraz vrcholu $K$ ve středové souměrnosti se středem $P$ .
Úhel 30° je polovina úhlu 60°. Sestroj 60° a jeho osu, nebo ho naměř úhloměrem.

Jak na to

Ze zadání zjisti, které strany jsou stejně dlouhé a která strana je základna. Když to zadání neříká, počítej se třemi možnostmi.
Hlavní vrchol hledej na ose základny. Konec ramene hledej na kružnici se středem v hlavním vrcholu a poloměrem ramene.
Druhou čáru pro vrchol vezmi z dalšího údaje: výška, těžnice, úhel nebo daná přímka.
Každý průsečík ověř: je trojúhelník opravdu rovnoramenný a splňuje celé zadání? Spočítej řešení a obtáhni je.

Řešené příklady

Příklad 1: Rovnoramenný trojúhelník ze základny a výšky

Narýsuj úsečku $AB$ , $|AB| = 42$ mm. Sestroj rovnoramenný trojúhelník $ABC$ se základnou $AB$ a výškou $v_c = 28$ mm. Vrchol $C$ leží nad úsečkou $AB$ . Jak dlouhá jsou ramena?

Řešení

Náčrt a rozbor. Základna je $AB$ , hlavní vrchol $C$ proto leží na ose úsečky $AB$ . Výška z vrcholu $C$ dopadá do středu $S$ základny.
Osa základny. Sestroj osu úsečky $AB$ . Protne základnu v jejím středu $S$ .
Vrchol C. Na osu nanes od bodu $S$ kružítkem výšku 28 mm. Zadání chce vrchol nad úsečkou $AB$ , úloha má jedno řešení.
Kontrola. Změř rameno: $|AC| = 35$ mm. Výška rozdělí trojúhelník na dva pravoúhlé s odvěsnami 21 mm a 28 mm, podle Pythagorovy věty $21^2 + 28^2 = 441 + 784 = 1225 = 35^2$ .

OdpověďObě ramena měří 35 mm.

Konstrukce krok po kroku

Krok 1 ze 3

o;\ o \text{ je osa úsečky } AB;\ S \in o \cap AB

Příklad 2: Rovnoramenný trojúhelník, když základna není daná

Narýsuj úsečku $AB$ , $|AB| = 50$ mm, a polopřímku $BX$ , která svírá s úsečkou $BA$ úhel 70°. Sestroj všechny rovnoramenné trojúhelníky $ABC$ , jejichž vrchol $C$ leží na polopřímce $BX$ .

Řešení

Náčrt a rozbor. Zadání neříká, která strana je základna. Projdi všechny tři možnosti: základna $AB$ , rameno $AB$ s hlavním vrcholem $B$ a rameno $AB$ s hlavním vrcholem $A$ .
Základna AB. Vrchol $C_1$ leží na ose úsečky $AB$ . Osa protne polopřímku $BX$ , $|BC_1| \doteq 73$ mm.
Hlavní vrchol B. $|BC_2| = |AB|$ , vrchol $C_2$ leží na kružnici $k_2(B; |AB|)$ . Na polopřímce je $|BC_2| = 50$ mm.
Hlavní vrchol A. $|AC_3| = |AB|$ , vrchol $C_3$ leží na kružnici $k_1(A; |AB|)$ . Ta protne polopřímku v bodě $B$ , který nevyhovuje, a v bodě $C_3$ , $|BC_3| \doteq 34$ mm.
Počet řešení. Každá možnost dala jeden vrchol a všechny tři vrcholy jsou různé. Úloha má tři řešení.

OdpověďÚloha má tři řešení: $|BC_1| \doteq 73$ mm, $|BC_2| = 50$ mm a $|BC_3| \doteq 34$ mm.

Konstrukce krok po kroku

Krok 1 ze 6

C_1;\ C_1 \in o \cap \mapsto BX

Časté chyby

Zadání říká „se základnou $AB$ “ a ty sestrojíš trojúhelník, ve kterém je $AB$ rameno, třeba $|BC| = |AB|$ .
Ramena jsou dvě stejné strany, základna je ta třetí. Se základnou $AB$ jsou stejné strany $AC$ a $BC$ a vrchol $C$ leží na ose úsečky $AB$ .
Když zadání základnu neurčí, zkusíš jen jednu možnost a najdeš jen jedno řešení. Nebo naopak narýsuješ i trojúhelník, který zbytek zadání nesplní.
Projdi všechny tři možnosti (osa $AB$ , $k(A; |AB|)$ , $k(B; |AB|)$ ) a každý průsečík ověř. Nevyhovující trojúhelník navíc stojí bod.
Výšku na rameno bereš jako osu souměrnosti: patu výšky dáš do středu ramene, nebo trojúhelník uděláš souměrný podle výšky.
Střed protější strany a půlení úhlu platí jen pro výšku k základně (v rovnostranném trojúhelníku pro každou výšku). Výšku na rameno sestroj kolmicí a nic dalšího od ní nečekej.
V rovnostranném trojúhelníku zaměníš výšku a stranu: vrcholy dáš od středu strany do vzdálenosti poloviny výšky, nebo celé výšky.
Výška je kratší než strana. Vrcholy na kolmici najdeš úhlem 30° od výšky, ne kružítkem rozevřeným na výšku.
V rovnostranném trojúhelníku $KLM$ naneseš úhel 60° u vrcholu $M$ od výšky $MP$ . Strana $MK$ pak svírá s výškou 60° místo 30° a vyjde příliš dlouhá.
Výška půlí úhel 60° u vrcholu $M$ . Strana svírá s výškou úhel 30°, s protější stranou 60°.
Bod, o kterém zadání říká, že leží na těžnici, bereš jako těžiště, nebo vrchol hledáš na polopřímce, která míří na opačnou stranu.
Těžnice vede z vrcholu do středu protější strany. Bod na ní ti dá jen směr. Vrchol je na polopřímce ze středu strany přes ten bod.

Zkus si

Narýsuj úsečku $AB$ , $|AB| = 60$ mm. Sestroj rovnoramenný trojúhelník $ABC$ se základnou $AB$ , který má u hlavního vrcholu $C$ úhel 120°. Jak dlouhá jsou ramena?

Ukaž řešení

Úhly při základně. Jsou shodné a se 120° dají dohromady 180°: $(180^\circ - 120^\circ) : 2 = 30^\circ$ .
Vrchol C. Leží na ose základny $AB$ a na polopřímce z bodu $A$ , která svírá se základnou úhel 30°. Úhel 30° sestrojíš jako osu úhlu 60°.
Délka ramen. Změř: $|AC| = |BC| \doteq 35$ mm.

Výsledek $|AC| = |BC| \doteq 35$ mm

Konstrukce krok po kroku

Krok 1 ze 4

o;\ o \text{ je osa úsečky } AB

Narýsuj úsečku $AB$ , $|AB| = 50$ mm. Sestroj rovnoramenný trojúhelník $ABC$ se základnou $AB$ , ve kterém výška z vrcholu $A$ na rameno $BC$ měří 40 mm. Vrchol $C$ leží nad úsečkou $AB$ . Jak dlouhá jsou ramena?

Ukaž řešení

Pata výšky. Pata $P$ výšky z vrcholu $A$ leží na rameni $BC$ a úhel $APB$ je pravý. Bod $P$ proto leží na Thaletově kružnici nad $AB$ a na kružnici se středem $A$ a poloměrem 40 mm.
Přímka ramene. Rameno $BC$ leží na polopřímce $BP$ .
Vrchol C. Základna je $AB$ , vrchol $C$ proto leží na ose úsečky $AB$ . Je to průsečík osy s polopřímkou $BP$ .
Délka ramen. Změř: $|AC| = |BC| \doteq 42$ mm.

Výsledek $|AC| = |BC| \doteq 42$ mm

Konstrukce krok po kroku

Krok 1 z 5

t;\ t(S; |SA|)

Procvič si to

Dvě rýsovací úlohy tohoto typu, pokaždé jinak zadané. Narýsuješ je na papír, pak uvidíš správnou konstrukci krok po kroku a ohodnotíš se podle klíče.