Výška, těžnice a pravoúhlý trojúhelník

Co je výška a těžnice, jak je narýsovat a co z nich plyne pro konstrukci: směr strany, střed strany a druhý vrchol. Pravoúhlý trojúhelník kolmicí nebo Thaletovou kružnicí.

V testuV letech 2024 až 2026 jsou výška nebo těžnice přímo v zadání tří rýsovacích úloh, jedna z nich (za 2 body) má obě najednou. Pravoúhlý trojúhelník se rýsuje ve třech dalších úlohách.

Přijímačky 2027: Těžnice v požadavcích na přijímačky 2027 není, úloha s ní nejspíš nepřijde. Výška zůstává.

Co potřebuješ znát

Strany a vrcholy trojúhelníku

Strana proti vrcholu má stejné písmeno jako vrchol, jen malé: strana $c$ je $AB$ , strana $a$ je $BC$ a strana $b$ je $AC$ . Výška $v_c$ a těžnice $t_c$ proto vedou z vrcholu $C$ ke straně $c = AB$ .

Výška

Výška je úsečka z vrcholu kolmá k přímce protější strany. Bod, ve kterém na přímku dopadne, je pata výšky. Narýsuješ ji trojúhelníkem s ryskou jako kolmici z bodu na přímku.

Výška z vrcholu C dopadá do paty P na straně AB.

Když má trojúhelník u vrcholu $A$ nebo $B$ tupý úhel, pata výšky z vrcholu $C$ leží mimo stranu $AB$ . Stranu prodluž a kolmici veď na prodloužení.

U tupého úhlu dopadá výška na prodloužení strany.

Co ti řekne přímka výšky

Výška je ke straně kolmá. Když znáš přímku, na které výška leží, znáš i směr strany: strana leží na kolmici k přímce výšky. Stačí k tomu jeden její bod, třeba vrchol $B$ .

Výška leží na přímce p, strana AB proto leží na kolmici r bodem B.

TipKdyž znáš délku výšky $v_c$ , leží vrchol $C$ na rovnoběžce s přímkou $AB$ ve vzdálenosti $v_c$ . Rovnoběžku narýsuješ tak, že na kolmici k $AB$ naneseš výšku a vedeš jejím koncem rovnoběžku.

Těžnice

Těžnice je úsečka z vrcholu do středu protější strany. Výška a těžnice z jednoho vrcholu jsou obvykle dvě různé úsečky. Splynou jen v rovnoramenném trojúhelníku, když vedou k základně.

Těžnice CS vede do středu strany, výška CP je kolmá ke straně.

Co ti řekne těžnice

Těžnice $t_c$ prochází středem $S$ strany $AB$ . Když znáš přímku těžnice a přímku, na které leží strana $AB$ , je jejich průsečík střed $S$ . Když znáš střed $S$ a jeden vrchol strany, druhý vrchol je jeho **obraz ve středové souměrnosti se středem $S$ **: leží na polopřímce za bodem $S$ , stejně daleko jako první vrchol.

Krok 1 ze 3

\mapsto BS

Bod S je střed strany AB, proto |SA| = |SB|.

TipPrůsečík přímky strany s přímkou těžnice je střed strany, ne vrchol. Vrchol dostaneš až středovou souměrností.

Pravoúhlý trojúhelník

V pravoúhlém trojúhelníku se strany kolem pravého úhlu jmenují odvěsny, strana naproti pravému úhlu je přepona. Pravý úhel narýsuješ podle toho, u kterého vrcholu je:

U vrcholu, který znáš: kolmice v tom vrcholu. Druhý vrchol leží na ní.
U vrcholu, který hledáš: Thaletova kružnice nad přeponou (kapitola „Thaletova kružnice v konstrukcích“). Když znáš přímku, na které leží jedno rameno pravého úhlu, je hledaný vrchol pata kolmice na tuto přímku.
Zadání neříká, u kterého vrcholu: zkus každý vrchol, u kterého pravý úhel být může. Úloha pak často má víc řešení (kapitola „Kolik má úloha řešení“).

V pravoúhlém trojúhelníku s pravým úhlem u vrcholu $B$ je odvěsna $BC$ zároveň výškou na stranu $AB$ a odvěsna $AB$ výškou na stranu $BC$ . Třetí výška vede z vrcholu $B$ kolmo na přeponu.

Jak na to

V náčrtu vyznač výšku (s pravým úhlem u paty) a těžnici (se značkou stejných polovin strany). Zjisti, ke které straně vedou.
Z přímky výšky odvoď směr strany (kolmice). Z délky výšky rovnoběžku.
Z přímky těžnice odvoď střed strany. Z délky těžnice kružnici se středem ve středu strany.
Chybějící vrchol strany doplň středovou souměrností podle středu strany.
Každý průsečík ověř a spočítej řešení. Výšku a těžnici nezaměň, splývají jen u rovnoramenného trojúhelníku.

Řešené příklady

Příklad 1: Trojúhelník ze dvou stran a výšky

Narýsuj úsečku $AB$ , $|AB| = 60$ mm. Sestroj trojúhelník $ABC$ , ve kterém $|AC| = 50$ mm a výška $v_c = 30$ mm. Vrchol $C$ leží nad přímkou $AB$ . Najdi všechna řešení a změř stranu $BC$ .

Řešení

Náčrt a rozbor. Výška $v_c$ je vzdálenost vrcholu $C$ od přímky $AB$ . Vrchol $C$ proto leží na rovnoběžce s $AB$ ve vzdálenosti 30 mm. Zároveň je od bodu $A$ vzdálený 50 mm, leží na kružnici se středem $A$ a poloměrem 50 mm.
Rovnoběžka. V bodě $A$ narýsuj kolmici k $AB$ , vyznač na ní bod $V$ , $|AV| = 30$ mm, a veď jím rovnoběžku s $AB$ .
Vrcholy C₁ a C₂. Kružnice protne rovnoběžku dvakrát. U vrcholu $C_1$ dopadá výška na stranu $AB$ . V trojúhelníku $ABC_2$ je u vrcholu $A$ tupý úhel a výška dopadá na prodloužení strany za bodem $A$ . Oba trojúhelníky zadání splňují.
Počet řešení. Úloha má dvě řešení. Změřené strany: $|BC_1| \doteq 36$ mm a $|BC_2| \doteq 104$ mm.

OdpověďÚloha má dvě řešení: v trojúhelníku $ABC_1$ je $|BC_1| \doteq 36$ mm, v trojúhelníku $ABC_2$ je $|BC_2| \doteq 104$ mm.

Konstrukce krok po kroku

Krok 1 z 5

q;\ q \perp AB,\ A \in q;\ V \in q,\ |AV| = 30\ \text{mm}

Příklad 2: Výška a těžnice ke stejné straně

Narýsuj úsečku $AB$ , $|AB| = 70$ mm. Sestroj trojúhelník $ABC$ s výškou $v_c = 36$ mm a těžnicí $t_c = 39$ mm. Vrchol $C$ leží nad přímkou $AB$ a je blíž k bodu $B$ než k bodu $A$ . Změř strany $AC$ a $BC$ .

Řešení

Náčrt a rozbor. Výška $v_c$ dá rovnoběžku s $AB$ ve vzdálenosti 36 mm. Těžnice $t_c$ vede do středu $S$ strany $AB$ , vrchol $C$ je proto od bodu $S$ vzdálený 39 mm.
Střed S. Najdi střed úsečky $AB$ osou úsečky.
Vrchol C. Kružnice se středem $S$ a poloměrem 39 mm protne rovnoběžku ve dvou bodech. Zadání chce ten, který je blíž k bodu $B$ .
Výška a těžnice. Pata výšky $P$ a střed $S$ jsou různé body, $|SP| = 15$ mm. Změřené strany: $|AC| \doteq 62$ mm a $|BC| \doteq 41$ mm.

OdpověďStrany měří $|AC| \doteq 62$ mm a $|BC| \doteq 41$ mm. Pata výšky je od středu strany $AB$ vzdálená 15 mm.

Konstrukce krok po kroku

Krok 1 z 5

S;\ S \in AB,\ |AS| = |SB|

Časté chyby

Zaměníš výšku a těžnici: výšku vedeš do středu strany, nebo těžnici kolmo ke straně.
Výška je kolmá ke straně, těžnice vede do jejího středu. Splývají jen u rovnoramenného trojúhelníku, když vedou k základně.
Stranu $AB$ narýsuješ kolmo k přímce těžnice místo k přímce výšky.
Kolmá ke straně je jen výška. Přímka těžnice ti dá střed strany, ne její směr.
Vrchol $A$ dáš rovnou do průsečíku strany s přímkou těžnice.
Ten průsečík je střed strany $AB$ . Vrchol $A$ je obraz vrcholu $B$ ve středové souměrnosti podle něj.
Druhý vrchol sestrojíš osovou souměrností podle přímky těžnice nebo výšky.
Střed strany je střed souměrnosti: vrchol leží na polopřímce $BS$ za bodem $S$ a $|SA| = |SB|$ .
Bodem $B$ vedeš rovnoběžku s přímkou výšky místo kolmice.
Výška a strana svírají pravý úhel. Rysku trojúhelníku polož na přímku výšky a podél přepony veď kolmici bodem $B$ .
U tupoúhlého trojúhelníku výšku nenarýsuješ, protože kolmice „netrefí“ stranu.
Prodluž stranu za vrchol. Pata výšky leží na prodloužení, mimo trojúhelník.

Zkus si

Narýsuj trojúhelník $KLM$ , ve kterém $|KL| = 40$ mm, $|LM| = 50$ mm a úhel u vrcholu $L$ má 120°. Sestroj výšku z vrcholu $M$ na stranu $KL$ . Jak je dlouhá a jak daleko od bodu $L$ leží její pata $P$ ?

Ukaž řešení

Trojúhelník. Polopřímka z bodu $L$ svírá s úsečkou $LK$ úhel 120°, vrchol $M$ je na ní 50 mm od bodu $L$ .
Výška. Úhel u vrcholu $L$ je tupý, pata výšky proto leží na prodloužení strany $KL$ za bodem $L$ . Stranu prodluž a veď na ni kolmici z bodu $M$ .
Měření. $|MP| \doteq 43$ mm a $|LP| = 25$ mm. Trojúhelník $LPM$ má u vrcholu $L$ úhel 60° a u paty pravý úhel, je to polovina rovnostranného trojúhelníku: $50 : 2 = 25$ .

Výsledek $|MP| \doteq 43$ mm, $|LP| = 25$ mm

Konstrukce krok po kroku

Krok 1 ze 3

M;\ |\sphericalangle KLM| = 120^\circ,\ |LM| = 50\ \text{mm}

Narýsuj úsečku $AB$ , $|AB| = 45$ mm. Sestroj pravoúhlý trojúhelník $ABC$ s pravým úhlem u vrcholu $B$ , ve kterém těžnice $t_a$ z vrcholu $A$ měří 51 mm. Vrchol $C$ leží nad úsečkou $AB$ . Jak dlouhá je strana $BC$ ?

Ukaž řešení

Pravý úhel. Je u vrcholu $B$ , který znáš. Strana $BC$ leží na kolmici k $AB$ v bodě $B$ .
Střed strany BC. Těžnice $t_a$ vede z vrcholu $A$ do středu $S$ strany $BC$ . Bod $S$ leží na kolmici a na kružnici se středem $A$ a poloměrem 51 mm.
Vrchol C. Je to obraz bodu $B$ ve středové souměrnosti se středem $S$ . Leží na polopřímce $BS$ za bodem $S$ , $|SC| = |SB|$ .
Délka BC. $|BS| = 24$ mm, protože $45^2 + 24^2 = 2025 + 576 = 2601 = 51^2$ . Strana $BC$ je dvakrát delší: $|BC| = 48$ mm.

Výsledek $|BC| = 48$ mm

Konstrukce krok po kroku

Krok 1 ze 4

q;\ q \perp AB,\ B \in q

Procvič si to

Dvě rýsovací úlohy tohoto typu, pokaždé jinak zadané. Narýsuješ je na papír, pak uvidíš správnou konstrukci krok po kroku a ohodnotíš se podle klíče.