Opakující se děje: perioda a zbytek

Co se děje každé 4 sekundy nebo každou třetí minutu. Naučíš se spočítat, kolikrát se to stalo, kdy se dva děje sejdou a jak se mění počet, který jeden děj zvětšuje a druhý zmenšuje. Bez vypisování všech minut.

V testuOpakující se děje byly úlohou 16 v testu 2026 A 16 za 4 body. Úloha je jen textová: tři děje s různou periodou mění jeden počet, dva přidávají a jeden ubírá. Podúlohy se ptaly na stav v daném čase, na okamžik, kdy stav poprvé překročí hranici, a na stav při třicáté změně určité velikosti.

Co potřebuješ znát

Kolikrát se to stane: kolikrát se perioda vejde

Maják se zapne a pak blikne každé 4 sekundy. Čas mezi dvěma bliknutími je perioda, tady 4 sekundy. Kolikrát maják blikne za prvních 30 sekund? Nakresli si časovou osu a tečku v každém okamžiku, kdy blikne.

Bliknutí jsou v násobcích čísla 4. Do 30 sekund jich je 7.

Maják bliká ve 4., 8., 12., … sekundě, v čase 0 ještě ne. Bliknutí je tolik, kolikrát se 4 celá vejde do 30:

30 = 7 \cdot 4 + 2

Čtyřka se vejde sedmkrát a 2 sekundy zbudou. Maják blikne 7krát.

Nevadí, že $30 : 4 = 7{,}5$ . Osmé bliknutí přijde až ve 32. sekundě. Bereš jen celou část podílu, nahoru nezaokrouhluješ.

TipVypiš si první dva okamžiky, třeba „4. a 8. sekunda“. Hned uvidíš, kdy děj začíná, a nespleteš se o jedna.

Dva děje: kdy se sejdou

Na stožáru blikají dvě světla. Červené každé 4 sekundy, modré každých 6 sekund. Kdy bliknou současně?

Obě světla bliknou současně ve 12., 24. a 36. sekundě.

Červené bliká v násobcích čísla 4, modré v násobcích čísla 6. Současně bliknou v číslech, která jsou v obou řadách: 12, 24, 36, … To jsou násobky čísla 12, nejmenšího společného násobku čísel 4 a 6.

TipNejmenší společný násobek najdeš rychle: vypisuj násobky většího čísla (6, 12, …) a u každého se zeptej, jestli je dělitelný menším číslem. Číslo 6 dělitelné čtyřmi není, 12 ano.

Kolikrát bliknou současně za minutu? $60 = 5 \cdot 12$ , takže pětkrát. A kolikrát blikne červené samo, bez modrého? Za minutu blikne $60 : 4 = 15$ krát, z toho 5krát spolu s modrým. Samo blikne $15 - 5 = 10$ krát.

Za sto dní: perioda a zbytek

Dny v týdnu se opakují s periodou 7. Dnes je středa. Jaký den bude za 100 dní? Za každých 7 dní je zase středa, celé týdny nic nezmění. Rozhoduje jen zbytek:

100 = 14 \cdot 7 + 2

Za 14 celých týdnů je zase středa. Zbývají 2 dny: čtvrtek, pátek.

Za 100 dní bude pátek. Zbytek 0 znamená konec celého týdne: $98 = 14 \cdot 7$ , za 98 dní je zase středa. Tak se počítá u všeho, co se opakuje dokola.

Dva děje mění jeden počet: každý zvlášť

Ve frontě u kabinkové lanovky čeká na začátku 20 lyžařů. Každé 3 minuty přiveze skibus 12 dalších. Každé 4 minuty odjede kabina a odveze 14 lyžařů. Kolik lyžařů čeká na konci 22. minuty?

Spočítej každý děj zvlášť: kolikrát nastal a kolik pokaždé přidá nebo ubere. Pak přičti lyžaře, kteří čekali na začátku.

Skibus: $22 = 7 \cdot 3 + 1$ , přijel sedmkrát a přivezl $7 \cdot 12 = 84$ lyžařů.
Kabina: $22 = 5 \cdot 4 + 2$ , odjela pětkrát a odvezla $5 \cdot 14 = 70$ lyžařů.

20 + 84 - 70 = 34

Na konci 22. minuty čeká 34 lyžařů.

Průměr tu nestačí. Za 12 minut přijede skibus čtyřikrát a kabina odjede třikrát, fronta se prodlouží o $48 - 42 = 6$ lyžařů, v průměru o půl lyžaře za minutu. Podle průměru by čekalo $20 + 22 : 2 = 31$ lyžařů, ve skutečnosti 34. Lyžaři přijíždějí po dvanácti najednou.

Perioda celé situace: tabulka jednoho kola

Skibus přijíždí po 3 minutách, kabina odjíždí po 4 minutách. Obojí se sejde po 12 minutách, to je nejmenší společný násobek čísel 3 a 4. Pak se všechno opakuje. Těch 12 minut je jedno kolo:

Po 12 minutách se tečky v obou řádcích opakují.

Stačí rozepsat jedno kolo. U každé minuty sečti změny obou dějů a připiš stav na konci minuty:

Na konci kola čeká 26 lyžařů, o 6 víc než na začátku.

Ve 12. minutě skibus přiveze 12 lyžařů a kabina odveze 14, změna je $12 - 14 = -2$ . Z tabulky je vidět i to, že se fronta zkrátí o 14 lyžařů jen ve 4. a 8. minutě kola.

Každé další kolo vypadá stejně, jen je o 6 lyžařů výš. 22. minuta je 10. minuta 2. kola. V tabulce je u 10. minuty stav 28:

28 + 6 = 34

Stejně jako při počítání každého děje zvlášť. Dva pohledy jsou nejlepší zkouška.

Kdy poprvé: skutečné okamžiky, ne průměr

Kdy bude ve frontě poprvé čekat víc než 38 lyžařů? Další kola nemusíš počítat znovu. Každé kolo je jako první, jen o 6 výš. Opiš řádek Stav z tabulky a přičti 6 pro 2. kolo a 12 pro 3. kolo:

1. kolo (1. až 12. minuta): nejvíc 32 lyžařů ve 3. minutě.
2. kolo (13. až 24. minuta): nejvíc $32 + 6 = 38$ v 15. minutě. To není víc než 38.
3. kolo (od 25. minuty): $20 + 12 = 32$ ve 25. a 26. minutě, pak $32 + 12 = 44$ ve 27. minutě.

Víc než 38 lyžařů čeká poprvé na konci 27. minuty. Pozor, aspoň 38 lyžařů čeká už v 15. minutě. Podle průměru by to bylo až ve 37. minutě, a to je špatně: průměr přeskočí okamžiky, kdy je fronta nejdelší.

TipPodtrhni si v otázce „víc než“, nebo „aspoň“. A jestli se ptají na minutu (kdy), nebo na počet (kolik).

Jak na to

Zapiš si každý děj: perioda, změna, kdy nastane poprvé. A stav na začátku.
Stav v čase $t$ : u každého děje spočítej, kolikrát nastal, vynásob změnou a přičti ke stavu na začátku.
Rozepiš jedno kolo (nejmenší společný násobek period) do tabulky: změna a stav.
Kdy poprvé, nebo kolikátý výskyt: celá kola přeskoč, v posledním kole projdi okamžiky jeden po druhém.
Zkouška: dosaď do nakresleného nebo vypsaného případu.
Odpověz přesně na otázku: kdy, nebo kolik? Víc než, nebo aspoň?

Řešené příklady

Příklad 1: Zalévání a hnojení

Zahradnice ve skleníku zalévá každý 3. den a hnojí každý 4. den. Poprvé zalévá 3. den a hnojí 4. den. 1. den je pondělí.

a) Kolikrát během prvních 72 dní zalévá i hnojí v tentýž den?

b) Kolikrát během prvních 72 dní zalévá, ale nehnojí?

c) Který den v týdnu zalévá bez hnojení po 21.?

Řešení

Jedno kolo. Zalévání a hnojení se sejdou po 12 dnech (nejmenší společný násobek čísel 3 a 4). V kole zalévá 3., 6., 9. a 12. den. Ve 12. den zároveň hnojí, bez hnojení zalévá jen 3., 6. a 9. den kola.
a) Oba úkoly. Zalévá i hnojí ve dnech 12, 24, 36, 48, 60 a 72, protože $72 = 6 \cdot 12$ . Je to šestkrát.
b) Jen zalévání. Zalévá $72 : 3 = 24$ krát, z toho šestkrát i hnojí. Bez hnojení zalévá $24 - 6 = 18$ krát.
c) Které kolo. Bez hnojení zalévá třikrát za kolo. $21 = 7 \cdot 3$ , zbytek 0: je to poslední takový den 7. kola, tedy jeho 9. den. Před 7. kolem je $6 \cdot 12 = 72$ dní, takže je to 81. den: $72 + 9 = 81$ .
c) Den v týdnu. Ptají se na den v týdnu, ne na pořadí dne. 1. den je pondělí a $81 = 11 \cdot 7 + 4$ , takže 81. den je stejný jako 4. den: čtvrtek.
Zkouška. Do 72. dne zalévá bez hnojení 18krát, to víš z b). Pak 75., 78. a 81. den, to je 19. až 21. Sedí.

OdpověďZa 72 dní zalévá i hnojí šestkrát a bez hnojení zalévá 18krát. Bez hnojení zalévá po 21. ve čtvrtek, 81. den.

Příklad 2: Fronta u lanovky celou hodinu

Vezmi frontu u lanovky z výkladu. Na začátku čeká 20 lyžařů, každé 3 minuty přiveze skibus 12 lyžařů a každé 4 minuty odveze kabina 14 lyžařů.

a) Kolik lyžařů čeká na konci 60. minuty?

b) Kolik nejvíc lyžařů čeká ve frontě během prvních 60 minut a ve které minutě?

Řešení

a) Celá kola. $60 = 5 \cdot 12$ , to je 5 celých kol. Za každé kolo přibude 6 lyžařů: $20 + 5 \cdot 6 = 50$ .
a) Zkouška každým dějem zvlášť. Skibus přijel $60 : 3 = 20$ krát a přivezl $20 \cdot 12 = 240$ lyžařů. Kabina odjela $60 : 4 = 15$ krát a odvezla $15 \cdot 14 = 210$ lyžařů. $20 + 240 - 210 = 50$ . Sedí.
b) Nejvíc v kole. V tabulce kola čeká nejvíc lyžařů ve 3. minutě, o 12 víc než na začátku kola. Každé další kolo je o 6 výš, nejvýš je tedy poslední, 5. kolo.
b) 5. kolo. Začíná po 48. minutě. Na jeho začátku čeká $20 + 4 \cdot 6 = 44$ lyžařů, ve 3. minutě kola $44 + 12 = 56$ . Je to minuta $48 + 3 = 51$ .

OdpověďNa konci 60. minuty čeká 50 lyžařů. Nejvíc jich čeká v 51. minutě, a to 56.

Časté chyby

Počítáš s průměrem půl lyžaře za minutu. Na konci 22. minuty pak odhadneš 31 lyžařů místo 34 a víc než 38 lyžařů až ve 37. minutě místo ve 27.
Průměr platí jen na konci celých kol. Uvnitř kola počítej skutečné okamžiky.
Počet výskytů zaokrouhlíš nahoru. Z $22 : 4 = 5{,}5$ usoudíš, že kabina odjela šestkrát, a vyjde ti 20 lyžařů místo 34.
Počítej, kolikrát se perioda celá vejde: $22 = 5 \cdot 4 + 2$ . Šestá kabina odjede až ve 24. minutě.
Na otázku „víc než 38“ odpovíš okamžikem, kdy je ve frontě přesně 38 lyžařů. To je 15. minuta místo 27.
Víc než 38 znamená 39 a víc.
Započítáš i okamžiky, kdy se děj sejde s jiným. U zahradnice počítáš všechna zalévání: 21. zalévání vyjde na 63. den a odpovíš „neděle“ místo „čtvrtek“.
Rozepiš jedno kolo a vyškrtni okamžiky, kdy se děje sejdou.
Najdeš okamžik, ale odpovíš jím, i když se ptají na něco jiného. U zahradnice napíšeš 81 místo čtvrtka. V testu 2026 A 16 dal klíč za okamžik místo stavu jen 1 bod ze 2.
Před odpovědí si otázku přečti znovu: „kolik“ chce stav, „kdy“ chce okamžik.

Zkus si

Z nádraží vyjedou současně dva autobusy. První pak vyjíždí každých 12 minut, druhý každých 18 minut. Za kolik minut vyjedou znovu současně? Kolikrát vyjedou současně během dalších 3 hodin, včetně odjezdu přesně na jejich konci?

Ukaž řešení

Násobky většího čísla. 18 není dělitelné 12, 36 ano. Nejmenší společný násobek je 36.
Kolikrát za 3 hodiny. 3 hodiny jsou $3 \cdot 60 = 180$ minut a $180 = 5 \cdot 36$ . Současně vyjedou pětkrát, naposledy přesně ve 180. minutě.

VýsledekZa 36 minut, za 3 hodiny pětkrát.

Zahradnice z příkladu zalévá každý 3. den a hnojí každý 4. den, 1. den je pondělí. Kolikátý den poprvé zalévá i hnojí v neděli?

Ukaž řešení

Oba úkoly. Zalévá i hnojí každý 12. den: 12., 24., 36. … den.
Neděle. 1. den je pondělí, neděle je 7., 14., 21. … den, tedy každý 7. den.
Kdy se sejdou. Hledáš nejmenší společný násobek čísel 12 a 7. Násobky dvanácti 12, 24, 36, 48, 60 a 72 dělitelné sedmi nejsou, $84 = 12 \cdot 7$ ano. Je to 84. den.

Výsledek84. den

Procvič si to

Pět úloh tohoto typu, pokaždé s jinými čísly. Opraví se samy a u chyby uvidíš postup.