Číselné řady: skupiny a místa

Řada čísel, ve které se pravidelně opakuje stejný vzor. Naučíš se zjistit, které číslo stojí na padesátém místě, kde se dané číslo objeví a co stojí před ním nebo za ním. Pomůže rozdělit řadu na skupiny, jako jsou sedadla v kině rozdělená do řad.

V testuČíselná řada byla úlohou 16 v testu 2025 B 16 za 4 body. Je bez obrázku: zadání popíše pravidlo slovy a vypíše začátek řady. Podúlohy se ptaly, co stojí mezi dvěma čísly, co stojí těsně před druhým výskytem čísla a které největší číslo se v začátku řady objeví dvakrát.

Co potřebuješ znát

Sedadla v kině: řada a místo

Představ si malé kino, kde má každá řada 6 sedadel. Sedadla jsou očíslovaná po sobě: v 1. řadě 1 až 6, ve 2. řadě 7 až 12 a tak dál. Kde sedí člověk s lístkem 17?

Lístek 17 je ve 3. řadě na 5. místě. Lístek 18 je na posledním místě téže řady.

Sedadla nemusíš počítat po jednom. Vyděl číslo lístku počtem sedadel v řadě a zapiš, kolik zbude:

17 = 2 \cdot 6 + 5

Dvě celé řady jsou plné a zbývá 5 sedadel. Lístek 17 je ve 3. řadě na 5. místě.

Pozor na lístek 18. Dělení vyjde beze zbytku:

18 = 3 \cdot 6

Tři celé řady a nic nezbývá. Lístek 18 je na posledním místě 3. řady, ne ve 4. řadě.

TipZbytek 0 znamená poslední místo skupiny. Nejde o „nulté místo další skupiny“. Zkontroluj si to: 3. řada končí sedadlem $3 \cdot 6 = 18$ .

Vzor, který se opakuje dokola

Nejjednodušší řada jen opakuje stejná čísla. Na displeji se pořád dokola střídají čísla 6, 1, 8. Vznikne řada 6, 1, 8, 6, 1, 8, 6, … Opakuje se po třech číslech, tři čísla tvoří jednu skupinu. Které číslo je na 50. místě?

50 = 16 \cdot 3 + 2

16 celých skupin a 2. místo 17. skupiny. Na 2. místě je vždy 1.

Na 60. místě je zbytek 0, protože $60 = 20 \cdot 3$ . Je to poslední číslo 20. skupiny, tedy 8.

Obráceně: na kterém místě stojí 35. jednička? V každé skupině je jedna jednička, na 2. místě. 35. jednička je tedy ve 35. skupině a před ní je jen 34 celých skupin, to je $34 \cdot 3 = 102$ míst. Jednička stojí na místě $102 + 2 = 104$ .

Dvě řady ve skupinách

Těžší řada se skládá ze dvou řad. Píšeme čísla 1, 2, 3, … a za každé třetí z nich vložíme další číslo z odpočítávání 100, 95, 90, … (tučně). Řada skončí, když odpočítávání dojde k nule.

1, 2, 3, 100, 4, 5, 6, 95, 7, 8, 9, 90, 10, …

Vzor se opakuje po čtyřech číslech: tři počítaná čísla a jedno číslo z odpočítávání. Zapiš řadu do tabulky, každou skupinu na jeden řádek, jako řady sedadel v kině.

Každý řádek je jedna skupina. Každý sloupec je vlastní řada s vlastním pravidlem.

V $k$ -té skupině jsou počítaná čísla $3k - 2$ , $3k - 1$ a $3k$ . Odpočítávání ubere v každé další skupině 5. Mezi 1. a $k$ -tou skupinou je jen $k - 1$ kroků, proto $100 - 5(k - 1)$ .

Které číslo stojí na daném místě

Které číslo je na 50. místě? Postupuj jako s lístkem v kině. Každá skupina má 4 čísla:

50 = 12 \cdot 4 + 2

12 celých skupin a ještě 2 čísla. 50. číslo je na 2. místě 13. skupiny.

13. skupina je 37, 38, 39 a $100 - 5 \cdot 12 = 40$ . Na 2. místě je 38.

A na 48. místě? $48 = 12 \cdot 4$ , zbytek 0: je to poslední číslo 12. skupiny. To je číslo z odpočítávání $100 - 5 \cdot 11 = 45$ . Ne 37, to stojí až na 49. místě jako první číslo 13. skupiny.

Kde se číslo objeví: prověř obě řady

Obráceně: na kterém místě stojí číslo 41? V odpočítávání jsou jen násobky pěti, 41 tam není. Je tedy mezi počítanými čísly. Hledáš mezi nimi, a těch je v každé skupině tři. Proto teď dělíš třemi, ne čtyřmi:

41 = 13 \cdot 3 + 2

13 celých skupin a 41 je 2. počítané číslo 14. skupiny.

Místo v řadě ale počítáš po čtyřech, protože každá celá skupina zabere 4 místa. Před 14. skupinou je $13 \cdot 4 = 52$ míst, číslo 41 stojí na místě $52 + 2 = 54$ .

Číslo 60 je v obou řadách. Najdi oba výskyty a seřaď je podle místa:

V odpočítávání: $(100 - 60) : 5 = 8$ kroků, je to 9. číslo odpočítávání. Stojí na konci 9. skupiny, na místě $9 \cdot 4 = 36$ .
Mezi počítanými: $60 = 20 \cdot 3$ je poslední počítané číslo 20. skupiny. Před 20. skupinou je $19 \cdot 4 = 76$ míst, 60 stojí na místě $76 + 3 = 79$ .

Číslo 60 se objeví poprvé na 36. místě a podruhé na 79. místě. Velká čísla přijdou nejdřív z odpočítávání, malá nejdřív z počítání.

Před a za: pozor na hranici skupiny

Otázky „co stojí hned za“ a „co stojí bezprostředně před“ jsou nejzrádnější. Na hranici skupiny totiž sousedem není číslo o jedna větší nebo menší, ale číslo z odpočítávání.

Hned za 36: $36 = 12 \cdot 3$ je poslední počítané číslo 12. skupiny. Za ním skupina ještě nekončí, stojí tam číslo z odpočítávání 45. Číslo 37 přijde až potom.
Bezprostředně před 37: $37 = 12 \cdot 3 + 1$ je první číslo 13. skupiny. Před prvním číslem skupiny stojí vždy poslední číslo předchozí skupiny. Tady je to 45, ne 36.

Kolem 48. místa vypadá řada takto: …, 34, 35, 36, 45, 37, 38, …

TipVypiš si kousek řady kolem hledaného místa, dvě čísla před a dvě za. Chybu na hranici skupiny odhalí hned.

Skupiny po dvou: liché a sudé místo

Když má skupina dvě čísla, řady se jen střídají. V řadě 5, 100, 8, 96, … je na 30. místě 15. číslo sudých míst ( $30 = 15 \cdot 2$ ): $100 - 14 \cdot 4 = 44$ . Lichá a sudá místa podrobně vysvětluje kapitola Střídání.

Jak na to

Najdi, po kolika číslech se vzor opakuje, a napiš si tři skupiny pod sebe do tabulky.
Najdi pravidlo každého sloupce. Každý sloupec je vlastní řada.
Místo → číslo: vyděl místo délkou skupiny, urči skupinu a místo ve skupině. Pozor na zbytek 0.
Číslo → místo: zjisti, do kterých sloupců číslo patří, a z každého urči skupinu a místo v řadě.
Zkouška: dosaď do nakresleného nebo vypsaného případu.
Odpověz přesně na otázku: místo, nebo číslo? Před, nebo za? Poprvé, nebo podruhé?

Řešené příklady

Příklad 1: Tréninky a zápasy

Oddíl má každý týden tři tréninky a pak jeden zápas. Tréninky i zápasy čísluje zvlášť. Akce jdou za sebou takto: 1. trénink, 2. trénink, 3. trénink, 1. zápas, 4. trénink, …

a) Kolikátá akce v pořadí je 50. trénink?

b) Co je 70. akce v pořadí?

c) Co je bezprostředně před 25. tréninkem?

Řešení

Skupiny. Skupina je jeden týden: 4 akce, z toho 3 tréninky a 1 zápas. V $k$ -tém týdnu je $k$ -tý zápas a tréninky $3k - 2$ , $3k - 1$ a $3k$ .
a) 50. trénink. Tréninky jsou v týdnu tři, proto děl třemi: $50 = 16 \cdot 3 + 2$ . Je to 2. trénink 17. týdne. Před ním je 16 celých týdnů, to je $16 \cdot 4 = 64$ akcí. 50. trénink je akce číslo $64 + 2 = 66$ .
b) 70. akce. Akce jsou v týdnu čtyři, proto děl čtyřmi: $70 = 17 \cdot 4 + 2$ . Je to 2. akce 18. týdne, tedy trénink. Za 17 týdnů bylo $17 \cdot 3 = 51$ tréninků, tohle je trénink číslo $51 + 2 = 53$ .
c) Před 25. tréninkem. $25 = 8 \cdot 3 + 1$ , je to první trénink 9. týdne. Před ním je poslední akce 8. týdne: 8. zápas, ne 24. trénink.
Zkouška. Vypiš konec 8. týdne a začátek 9. týdne: 22., 23. a 24. trénink, 8. zápas, 25. trénink. Sedí.

OdpověďTrénink číslo 50 je 66. akce, 70. akce je 53. trénink a bezprostředně před 25. tréninkem je 8. zápas.

Příklad 2: Dvě řady, které se kříží

V řadě 4, 80, 7, 75, 10, 70, … jsou na lichých místech čísla 4, 7, 10, … (každé o 3 větší) a na sudých místech čísla 80, 75, 70, … (každé o 5 menší).

a) Které číslo je na 26. místě?

b) Na kterých dvou místech stojí číslo 40?

c) Která čísla se mezi prvními 30 čísly řady objeví dvakrát?

Řešení

Skupiny. Skupina je dvojice: jedno liché a jedno sudé místo. Ve $j$ -té dvojici je $4 + 3(j - 1)$ a $80 - 5(j - 1)$ .
a) 26. místo. $26 = 13 \cdot 2$ , je to sudé místo 13. dvojice: $80 - 5 \cdot 12 = 20$ .
b) 40 na lichém místě. Od 4 je to $(40 - 4) : 3 = 12$ kroků, tedy 13. číslo lichých míst. Stojí na místě $2 \cdot 13 - 1 = 25$ .
b) 40 na sudém místě. Od 80 je to $(80 - 40) : 5 = 8$ kroků, tedy 9. číslo sudých míst. Stojí na místě $2 \cdot 9 = 18$ .
c) Co je mezi prvními 30 čísly. $30 = 15 \cdot 2$ , to je 15 dvojic. Na lichých místech je 4 až $4 + 3 \cdot 14 = 46$ , na sudých 80 až $80 - 5 \cdot 14 = 10$ .
c) Co je v obou řadách. Dvakrát se objeví jen číslo z obou řad. Na sudých místech jsou násobky pěti od 10 do 80. Mezi čísly 4, 7, 10, …, 46 jsou násobky pěti jen 10, 25 a 40.
Zkouška. 55 je v obou řadách, ale na lichých místech je až 18. číslo, na 35. místě. Mezi prvními 30 čísly je jen jednou.

OdpověďNa 26. místě je 20, číslo 40 stojí na 18. a 25. místě a mezi prvními 30 čísly se dvakrát objeví 10, 25 a 40.

Časté chyby

Při zbytku 0 skočíš do další skupiny. 48. číslo řady 1, 2, 3, 100, 4, … určíš jako první číslo 13. skupiny (37) místo posledního čísla 12. skupiny (45).
Zbytek 0 znamená poslední místo skupiny. Zkontroluj, že skupina $k$ končí na místě $k \cdot s$ , kde $s$ je délka skupiny.
Posuneš se o jednu skupinu. 35. jedničku z řady 6, 1, 8 hledáš na místě $35 \cdot 3 + 2 = 107$ a zapomeneš, že celých skupin je před ní jen 34.
Ptej se, kolik celých skupin je před hledanou. Zkus to na první jedničce: musí vyjít 2. místo.
Při hledání počítaného čísla dělíš délkou celé skupiny. Číslo 41 pak hledáš na 41. místě, ale tam stojí 31.
Mezi počítanými čísly děl jejich počtem ve skupině (tady 3). Po čtyřech počítej až místa v řadě.
Na hranici skupiny přehlédneš číslo z odpočítávání. Odpovíš, že bezprostředně před 37 stojí 36, ale stojí tam 45.
U otázek „před“, „za“ a „mezi“ si vypiš kousek řady kolem místa. Před prvním číslem skupiny stojí poslední číslo předchozí skupiny.
Číslo, které je v obou řadách, najdeš jen jednou. Nebo vezmeš první výskyt, i když se ptají na druhý.
Prověř obě řady zvlášť a výskyty seřaď podle místa.

Zkus si

V řadě 2, 60, 6, 57, 10, 54, … se střídají dvě řady. Které číslo stojí na 35. místě?

Ukaž řešení

Dvě řady. Na lichých místech je 2, 6, 10, … (každé o 4 větší), na sudých 60, 57, 54, … (každé o 3 menší).
Které místo. $35 = 17 \cdot 2 + 1$ , je to první číslo 18. dvojice, tedy 18. číslo lichých míst.
Číslo. Od 2 se přidává sedmnáctkrát po 4: $2 + 17 \cdot 4 = 70$ .

Výsledek70

Vezmi řadu z výkladu: 1, 2, 3, 100, 4, 5, 6, 95, … Které číslo stojí na 60. místě? Na kterém jiném místě řady stojí stejné číslo?

Ukaž řešení

60. místo. $60 = 15 \cdot 4$ , zbytek 0: poslední číslo 15. skupiny. Je z odpočítávání: $100 - 5 \cdot 14 = 30$ .
30 mezi počítanými. $30 = 10 \cdot 3$ je poslední počítané číslo 10. skupiny. Před 10. skupinou je $9 \cdot 4 = 36$ míst, 30 stojí na místě $36 + 3 = 39$ .

Výsledek30, také na 39. místě

Procvič si to

Pět úloh tohoto typu, pokaždé s jinými čísly. Opraví se samy a u chyby uvidíš postup.