Délka, obvod a obsah z dílků

Obrazce z dílků, které se zmenšují. Jak velký je dílek, jak dlouhý je obrazec, jaký má obvod a o kolik se zvětší jeho obsah.

V testuDélky, obvod a obsah z dílků byly v testu 2026 C 16 za 4 body (1 + 1 + 2). Podúlohy chtěly stranu prvního obrazce z délky jiného obrazce, rozdíl obsahů dvou sousedních obrazců a obvod obrazce, který už nebyl nakreslený. Dílčí body klíč nedával.

Co potřebuješ znát

Stejné dílky vyplní známou délku

Zeď je dlouhá 60 cm a stavíme ji po řadách. V 1. obrazci je jedna cihla přes celou délku. Každý další obrazec přidá navrch řadu, ve které je o cihlu víc. Cihly v řadě jsou stejně dlouhé a řada vyplní celých 60 cm.

Zeď z cihel. Všechny řady jsou dlouhé 60 cm a vysoké 10 cm.

Ve 2. řadě jsou 2 cihly, každá má polovinu délky. Ve 3. řadě 3 cihly, každá třetinu. Když $k$ stejných dílků vyplní známou délku, má každý dílek tu délku vydělenou $k$ :

60 : 4 = 15

Cihla ve 4. řadě je dlouhá 15 cm.

Stejně u čtverců: když tři stejné čtverce pod sebou vyplní výšku 36 cm, má každý stranu $36 : 3 = 12$ cm.

Když přibude víc dílků najednou

O kolik se zvětší obsah, když ze 3. obrazce uděláš 4.? Nepočítej oba obsahy. Rozdíl je obsah toho, co přibylo. Přibyla celá 4. řada: 4 cihly, každá 15 cm × 10 cm.

4 \cdot 15 \cdot 10 = 600

Obsah se zvětší o 600 cm².

Jiný pohled: celá řada je obdélník 60 cm × 10 cm, $60 \cdot 10 = 600$ cm². Sedí. Kdo počítá jen jednu cihlu, dostane 150 cm², a to je málo.

Když se dílky zmenšují: délka ze zlomků

Ve schodech stojí čtverce vedle sebe na jedné čáře. Druhý má polovinu strany prvního, třetí třetinu, čtvrtý čtvrtinu a tak dál.

Schody ze čtverců. Všechny čtverce stojí na stejné čáře.

Jak dlouhá je spodní hrana 3. obrazce, když má první čtverec stranu 36 cm? Strany jsou 36 cm, $36 : 2 = 18$ cm a $36 : 3 = 12$ cm.

36 + 18 + 12 = 66

Spodní hrana 3. obrazce měří 66 cm.

Totéž zlomky: strana prvního čtverce je celek a spodní hrana je $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ celku.

1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{6}{6} + \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{11}{6}

\begin{aligned} 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} &= \frac{6}{6} + \frac{3}{6} + \frac{2}{6} \\ &= \frac{11}{6} \end{aligned}

Zlomek pomůže obráceně. Když spodní hrana 3. obrazce měří 66 cm, je to jedenáct šestin strany. Jedna šestina je $66 : 11 = 6$ cm, celá strana $6 \cdot 6 = 36$ cm.

TipVelikost dílků zjisti z obrázku, nehádej. Polovina, třetina, čtvrtina dají jiný součet než polovina, čtvrtina, osmina.

Obvod je jen okraj

Vodorovné kousky nahoře dají dohromady spodní hranu. Svislé kousky vpravo dají dohromady výšku prvního čtverce.

Čáry uvnitř, kde se dílky dotýkají, se do obvodu nepočítají. U schodů pomůže trik: posuň v představě vodorovné kousky schodů nahoru a svislé doprava. Vznikne obdélník kolem schodů (čárkovaně) a délka okraje se nezmění.

2 \cdot 66 + 2 \cdot 36 = 204

Obvod 3. obrazce je 204 cm.

S obsahem to nejde, obdélník má větší obsah než schody. Obsah sečti po dílcích: $36^2 + 18^2 + 12^2 = 1\,296 + 324 + 144 = 1\,764$ cm².

Jak na to

Z obrázku zjisti, jak velký je každý dílek: polovina, třetina … čeho?
Zapiš velikosti dílků do tabulky a sečti je, zlomky na společném jmenovateli.
Obvod spočítej jen z okraje, rozdíl obsahů z toho, co přibylo.
Zkouška: dosaď do nakresleného nebo vypsaného případu.
Odpověz přesně na otázku: délka, nebo počet? Obvod, nebo obsah?

Řešené příklady

Příklad 1: Zeď z cihel

Zeď je dlouhá 84 cm a stavíme ji jako na obrázku: v $k$ -té řadě je $k$ stejných cihel, které vyplní celou délku. Každá řada je vysoká 5 cm.

a) Jak dlouhá je cihla v 7. řadě?

b) Kolik cihel má 7. obrazec?

c) O kolik cm² má 7. obrazec větší obsah než 6. obrazec?

Řešení

a) Délka cihly. 7 stejných cihel vyplní 84 cm: $84 : 7 = 12$ cm.
b) Tabulka. V 1. až 7. řadě je 1, 2, 3 … 7 cihel. Počty cihel v obrazcích jsou 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28: 7. obrazec má $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28$ cihel.
c) Co přibylo. Ze 6. obrazce na 7. přibude celá 7. řada: 7 cihel, každá 12 cm × 5 cm.
c) Obsah. $7 \cdot 12 \cdot 5 = 420$ cm².
Zkouška. Řada je obdélník 84 cm × 5 cm: $84 \cdot 5 = 420$ cm². Sedí.

OdpověďCihla v 7. řadě je dlouhá 12 cm. 7. obrazec má 28 cihel a jeho obsah je o 420 cm² větší.

Příklad 2: Schody ze čtverců

Schody ze čtverců jako na obrázku: druhý čtverec má polovinu strany prvního, třetí třetinu, čtvrtý čtvrtinu.

a) Spodní hrana 3. obrazce měří 88 cm. Jakou stranu má první čtverec?

b) Jaký obvod má 4. obrazec?

Řešení

a) Zlomky. Strana prvního čtverce je celek. Spodní hrana 3. obrazce je $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{11}{6}$ celku.
a) Strana. Jedenáct šestin je 88 cm. Jedna šestina je $88 : 11 = 8$ cm, celá strana $8 \cdot 6 = 48$ cm. Zkouška: $48 + 24 + 16 = 88$ .
b) Spodní hrana 4. obrazce. Čtverce mají strany 48, 24, 16 a $48 : 4 = 12$ cm: $48 + 24 + 16 + 12 = 100$ cm.
b) Obvod. Stejný jako obvod obdélníku kolem schodů: $2 \cdot 100 + 2 \cdot 48 = 296$ cm.
Zkouška. Obvody všech čtverců dají $4 \cdot 100 = 400$ cm. Levá hrana každého menšího čtverce přiléhá ke čtverci vlevo a počítá se dvakrát: $400 - 2 \cdot (24 + 16 + 12) = 296$ . Sedí.

OdpověďPrvní čtverec má stranu 48 cm. Obvod 4. obrazce je 296 cm.

Časté chyby

Pravidlo zmenšování odhadneš podle dvou dílků: druhý čtverec má polovinu strany, tak bereš každý další jako polovinu předchozího.
Porovnej v obrázku aspoň tři dílky. Třetina a čtvrtina dají jiný součet než čtvrtina a osmina. V testu 2026 C 16 na tuhle chybu čekala první podúloha.
Na otázku „o kolik se liší obsahy“ odpovíš obsahem celého obrazce, nebo jen jednoho dílku, i když jich přibylo víc.
Rozdíl obsahů je obsah všeho, co přibylo: kolik dílků a jak velký je každý.
U obsahu čtverce zapomeneš umocnit. Čtverec o straně 12 cm nemá $12 \cdot 4 = 48$ cm², to je jeho obvod v cm.
Obsah čtverce je strana krát strana: $12^2 = 144$ cm².
Do obvodu sečteš i čáry uvnitř obrazce, počítáš obvod jiného obrazce, nebo zvětšíš i stranu, která se nemění.
Obtáhni prstem jen okraj. Napiš si, kolikátý obrazec počítáš a jaké má strany.

Zkus si

Zeď dlouhá 60 cm jako ve výkladu. Ve které řadě jsou cihly dlouhé 5 cm?

Ukaž řešení

Počet cihel v řadě. Cihly po 5 cm vyplní 60 cm: $60 : 5 = 12$ cihel.
Řada. V $k$ -té řadě je $k$ cihel, je to tedy 12. řada.

Výsledekve 12. řadě

Schody ze čtverců jako na obrázku. První čtverec má stranu 24 cm. Jaký obvod má 4. obrazec?

Ukaž řešení

Spodní hrana. Strany čtverců jsou 24, 12, 8 a 6 cm: $24 + 12 + 8 + 6 = 50$ cm.
Obvod. Stejný jako obvod obdélníku kolem schodů: $2 \cdot 50 + 2 \cdot 24 = 148$ cm.
Zkouška. Obvody všech čtverců dají $4 \cdot 50 = 200$ cm. Levá hrana každého menšího čtverce přiléhá ke čtverci vlevo a počítá se dvakrát: $200 - 2 \cdot (12 + 8 + 6) = 148$ . Sedí.

Výsledek148 cm

Procvič si to

Pět úloh tohoto typu, pokaždé s jinými čísly. Opraví se samy a u chyby uvidíš postup.